高中數(shù)學(xué)必修二 6.3.2-6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示（第1課時(shí)）學(xué)案

1、 6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示（第1課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素 養(yǎng) 目 標(biāo)學(xué) 科 素 養(yǎng)1.理解向量正交分解以及坐標(biāo)表示的意義。（重點(diǎn)）2.掌握兩個(gè)向量的和、差及向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則。（重點(diǎn)）3.應(yīng)用向量運(yùn)算解決相關(guān)問題。1.數(shù)學(xué)運(yùn)算;2.直觀想象;3.數(shù)學(xué)抽象。【自主學(xué)習(xí)】一平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為 的向量，叫做把向量正交分解二平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使axiyj，我們把有序?qū)崝?shù)對

2、叫做向量a的坐標(biāo)，記作a ，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)在向量的直角坐標(biāo)中i，j，0的坐標(biāo)分別為i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，則ab ；ab ；a (2)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的 坐標(biāo)減去 坐標(biāo)注意：(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)(2)已知向量eq o(AB,sup6()的起點(diǎn)A(x1，y1)，終點(diǎn)B(x2，y2)，則eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)【小試牛刀】1.思維辨析(對的打“”，錯(cuò)的打“”)(1)存在唯一的一對實(shí)數(shù)x

3、，y，使得a(x，y)()(2)若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，則x1x2，且y1y2.()(3)若x，yR，a(x，y)，且a0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O.()(4)若x，yR，a0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a(x，y)()2.已知A(3，1)，B(2，1)，則eq o(BA,sup6()的坐標(biāo)是()A(2，1)B(2，1)C(1，2) D(1，2)【經(jīng)典例題】題型一 平面向量的坐標(biāo)表示點(diǎn)撥： (1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐

4、標(biāo)例1 分別用基底 i，j 表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標(biāo)。【跟蹤訓(xùn)練】1 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq o(OA,sup6()|4eq r(3)，xOA60，（1）求向量eq o(OA,sup6()的坐標(biāo)；（2）若B(eq r(3)，1)，求eq o(BA,sup6()的坐標(biāo) 【跟蹤訓(xùn)練】3題型二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)撥： (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行例2 已知a(2,1)，b(3，4)，求ab， ab，

5、3a4b坐標(biāo)?！靖櫽?xùn)練】2（1）已知A，B，C的坐標(biāo)分別為(2，4)，(0，6)，(8，10)，則eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()_，eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()_題型三 向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用例3.已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(2,1)，(1,3)，(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()求解，解法2利用向量的加法求解想一想還有別的方法嗎？ 【跟蹤訓(xùn)練】3已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及eq o(OP,

6、sup6()eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6().(1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第二象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq o(OA,sup6()4i2j，eq o(OB,sup6()3i4j，則2eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()的坐標(biāo)是()A(1，2)B(7,6) C(5,0) D(11,8)2.已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，則b()A(1，2) B(1,2) C(5,6

7、) D(2,0)3已知eq o(MA,sup6()(2，4)，eq o(MB,sup6()(2，6)，則eq f(1,2)eq o(AB,sup6()等于()A(0，5) B(0，1) C(2，5) D(2，1)4.在ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq o(AD,sup6()(1,2)，則eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()()A(2,4) B(4,6) C(6，2) D(1,9)5.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，0)，D(x，y)，且eq o(AC,sup6()2eq o(BD,sup6()，則xy_6.已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)e

8、q o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(CA,sup6()c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n的值【課堂小結(jié)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧:(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】兩個(gè)互相垂直 (x，y) (x，y) (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x1，y1) 終點(diǎn) 起點(diǎn)【小試牛刀】1. (1)(2)(3)(4)2.C【經(jīng)典例題】例1 解：由圖可知

9、a2i3j(2，3)，b2i3j(2，3)，c2i3j(2，3)，d2i3j(2，3).【跟蹤訓(xùn)練】1解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x4eq r(3)cos 602eq r(3)，y4eq r(3)sin 606，即A(2eq r(3)，6)，eq o(OA,sup6()(2eq r(3)，6)(2) eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(2eq r(3)，6)(eq r(3)，1)(eq r(3)，7).例2解：a(2,1)，b(3，4)，ab(2,1) (3，4)(1，5)，ab(2,1) (3，4)(5，3)，3a4b3(2,1) 4(3，

10、4)(6,3) (12，16)(6,19)。【跟蹤訓(xùn)練】2（1）(18，18)(3，3) 解析：因?yàn)锳(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，所以eq o(AB,sup6()(2，10)，eq o(BC,sup6()(8，4)，eq o(AC,sup6()(10，14)，所以eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()(18，18)，eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()(3，3)（2）已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,su

11、p6()，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)（2）解解法一：A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，eq o(CA,sup6()(2,4)(3，4)(1,8)，eq o(CB,sup6()(3，1)(3，4)(6,3)eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，eq o(CM,sup6()3(1,8)(3,24)，eq o(CN,sup6()2(6,3)(12,6)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，eq o(CM,sup6()(x13，y14)(3,24)，eq o(CN,sup6()(x23，y24)(12,6)，eq blcr

12、c (avs4alco1(x133，,y1424，)eq blcrc (avs4alco1(x2312，,y246.)解得eq blcrc (avs4alco1(x10，,y120，)eq blcrc (avs4alco1(x29，,y22.)M(0,20)，N(9,2)解法二：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，可得eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2

13、(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OM,sup6()3eq o(OA,sup6()2eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6().eq o(OM,sup6()3(2,4)2(3，4)(0,20)，eq o(ON,sup6()2(3，1)(3，4)(9,2)M(0,20)，N(9,2)例3 解：方法1(利用平行四邊形對邊對應(yīng)的向量相等，即eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()如圖，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，在ABCD中，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup

14、6()，又eq o(AD,sup6()(x2，y1)，eq o(BC,sup6()(4,1)，(x2，y1)(4,1)，即eq blcrc (avs4alco1(x24，,y11，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y2，)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)方法2(利用向量加法)如圖，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，并連接OA，OD，則eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AD,sup6().eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()，(x，y)(2,1)(4,1

15、)(2,2)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)方法3(利用向量減法)如圖，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，并連接OA，OD，則eq o(OD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AO,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AO,sup6()，(x，y)(4,1)(2，1)(2,2)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)方法4(利用中點(diǎn)的向量表達(dá)式)如圖，在ABCD中，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M也是BD的中點(diǎn)eq o(OM,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()

16、eq f(1,2)(eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()(2,1)(3,4)(1,3)(2,2)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)【跟蹤訓(xùn)練】3【解】(1)eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6()(1，2)t(3，3)(13t，23t)若點(diǎn)P在x軸上，則23t0，所以teq f(2,3).若點(diǎn)P在y軸上，則13t0

17、，所以teq f(1,3).若點(diǎn)P在第二象限，則eq blc(avs4alco1(13t0，,23t0，)所以eq f(2,3)teq f(1,3).(2)eq o(OA,sup6()(1，2)，eq o(PB,sup6()(33t，33t)若四邊形OABP為平行四邊形，則eq o(OA,sup6()eq o(PB,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(33t1，,33t2，)該方程組無解故四邊形OABP不能為平行四邊形【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.D 解析：選D因?yàn)閑q o(OA,sup6()(4,2)，eq o(OB,sup6()(3,4)，所以2eq o(OA,sup6()eq o(OB

18、,sup6()(8,4)(3,4)(11,8)故選D.2.A 解析：選Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)故選A3.D解析：選D.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(MB,sup6()eq o(MA,sup6()eq f(1,2)(2，6)eq f(1,2)(2，4)(2，1)4.A 解析：在ABCD中，因?yàn)锳(1,2)，B(3,5)，所以eq o(AB,sup6()(2,3)又eq o(AD,sup6()(1,2)，所以eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(1,5)，eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()(3，1)，所以eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()(2,4)，故選A5. eq f(11,2) 解析：因?yàn)閑q o(AC,sup6()(2，0)(1，2)(1，2)，eq o(BD,sup6()(x