有關(guān)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

1、有關(guān)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型及其求解中的幾個問題1 建立正確的數(shù)學(xué)模型，是解決最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的關(guān)鍵?？偟恼f來對數(shù)學(xué)模型的基本要求為： 1)數(shù)學(xué)模型能正確地表達(dá)設(shè)計(jì)問題，準(zhǔn)確可靠地保證設(shè)計(jì)問題所要達(dá)到的目的和滿足所受的各種限制條件。 2)建立的數(shù)學(xué)模型要容易處理，總的推備時間較少，計(jì)算過程穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果可靠。2設(shè)計(jì)變量的選取 設(shè)計(jì)變量是在設(shè)計(jì)過程中需要進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)。雖然凡能影響設(shè)計(jì)質(zhì)量或結(jié)果的可變參數(shù)均可作為設(shè)計(jì)變量，但設(shè)計(jì)變量太多，會增加計(jì)算的難度和工作量，且會由于問題過份復(fù)雜而失去實(shí)際意義。設(shè)計(jì)變量太少，則減小了設(shè)計(jì)自由度，難以甚至無法得到較佳的優(yōu)化結(jié)果?？偟脑瓌t應(yīng)該在確保優(yōu)

2、化效果的前提下，盡可能地減少設(shè)計(jì)變量。3 在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對某一種參數(shù)是否作為設(shè)計(jì)變量，必須考察這種參數(shù)是否能夠控制，實(shí)行起來是否便利，制造加工成本如何，以及允許調(diào)整范圍等實(shí)際問題。要把有關(guān)參數(shù)中對優(yōu)化目標(biāo)影響最大的那些獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，此外應(yīng)力求選取容易控制調(diào)整的參數(shù)(如連桿機(jī)構(gòu)中的桿件長度)作為設(shè)計(jì)變量。對有關(guān)材料的機(jī)械性能，由于可供選用的材料往往是有限的，而且它們的機(jī)械性能又常常需要采用試驗(yàn)的方法來確定，無法直接控制，所以作設(shè)計(jì)常量處理較為合理。4 那些根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)或資料可確定的參數(shù)，受工廠條件限制無法隨意變動的參效，也都應(yīng)取作設(shè)計(jì)常量，對于應(yīng)力、應(yīng)變、壓力、撓度、功率、溫度等等設(shè)

3、計(jì)者不能直接判斷，而是一些具有一定函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出的因變量，當(dāng)它們在數(shù)學(xué)上易于消去時，也可不定為設(shè)計(jì)變量。但如果避免這種參數(shù)在數(shù)學(xué)上有因難測也可取為設(shè)計(jì)變量。 總之對影響設(shè)計(jì)質(zhì)量的各種參數(shù)要認(rèn)真分析，慎重合理地選取設(shè)計(jì)變量。5目標(biāo)函數(shù)的建立 目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用來評價設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。 對于不同的機(jī)械設(shè)計(jì)有不同的衡量評價標(biāo)準(zhǔn)。從使用性能出發(fā)，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，測量或運(yùn)動傳遞誤差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，盡可能滿足某動力學(xué)參數(shù)要求等等。從結(jié)構(gòu)型式出發(fā)，有要求重量最輕，體積最小等等。也有從經(jīng)濟(jì)性考慮，有要求

4、成本最低，工時最少，產(chǎn)值最大等等。而且往往要求同時兼顧幾方面的要求。6 一般說來，目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計(jì)結(jié)果越趨完善，但優(yōu)化設(shè)計(jì)的難度也相應(yīng)增加。實(shí)際使用中應(yīng)盡量控制目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，抓問題的主要矛盾，針對影響機(jī)械設(shè)計(jì)的質(zhì)量和使用性能最重要、最顯著的問題來建立目標(biāo)函數(shù)，保證重點(diǎn)要求的實(shí)現(xiàn)，其余的要求可處理成設(shè)計(jì)約束來加以保證。7約束條件的確定 設(shè)計(jì)約束是考慮邊界和性能對設(shè)計(jì)變量取值的限制條件，邊界約束規(guī)定設(shè)計(jì)變量的取值范圍，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，先對每個設(shè)計(jì)變量都給出明確的上、下界限約束是完全可能的，實(shí)踐證明也是很有益的。盡管其中某些約束會由于引入其它約束條件成為不起作用的消極約束，但對求解中確定計(jì)算初

5、始點(diǎn)，估計(jì)可行區(qū)域，判斷結(jié)果合理性等都會帶來好處。8 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對于一個性能指標(biāo)，可以取為目標(biāo)函數(shù)，也可對定為設(shè)計(jì)約束(或稱為性能約束)。例如機(jī)械設(shè)計(jì)中的強(qiáng)度條件、剛度條件、穩(wěn)定性條件、援動穩(wěn)定性條件等等。從計(jì)算角度上講，約束函數(shù)的檢驗(yàn)相對容易處理，因此可利用目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)約束可以相互置換的特點(diǎn)，根據(jù)需要靈活使用。 在確定設(shè)計(jì)約束時，一般可以比常規(guī)設(shè)計(jì)考慮更多方面的要求，例如工藝、裝配、各種失效形式、費(fèi)用、性能要求等等。只要某種限制能夠用設(shè)計(jì)變量表示為約束函數(shù)包括經(jīng)驗(yàn)公式、近似表達(dá)式等等)，都可以確定為約束條件。 當(dāng)然不必要的限制，不僅是多余的，還將使設(shè)計(jì)可行區(qū)域縮?。聪拗屏嗽O(shè)計(jì)空間)，

6、進(jìn)而會影響最優(yōu)結(jié)果的獲得。9數(shù)學(xué)模型的尺度變換 數(shù)學(xué)模型的尺度變換，就是指改變各個坐標(biāo)的比例，從面改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)的一種技巧。設(shè)計(jì)變量的尺度變換 在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，有時各設(shè)計(jì)變量的量綱不同且量級相差很大，使運(yùn)算過程中各個設(shè)計(jì)變量的靈敏度差別很大，從而造成計(jì)算過程的不穩(wěn)定和收斂性很差，乃至出現(xiàn)“病態(tài)現(xiàn)象”，這時可通過尺度變換使設(shè)計(jì)變量無量綱化和量級規(guī)格化來加以消除。10目標(biāo)函數(shù)的尺度變換 目標(biāo)函數(shù)尺度變換的目的，以二維問題為例，就是通過尺度變換使它的等值線盡可能接近于同心圓或同心橢圓族，減小原目標(biāo)函數(shù)的偏心度、畸變度，以加快優(yōu)化搜索的收斂速度。但在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中因函數(shù)復(fù)雜，要實(shí)現(xiàn)理想的變換困難很

7、多，目前一般還僅僅限于用通過設(shè)計(jì)變量尺皮變換，使各坐標(biāo)軸的刻度規(guī)格化，進(jìn)而對目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)產(chǎn)生一些好的影響。11約束條件的尺度變換 在優(yōu)化約束條件數(shù)很多時，常會造成約束函數(shù)值的數(shù)量級相差很大，有可能使計(jì)算結(jié)果誤入歧途。為避免這種不正常情況，可將各約束條件式各自除以一個常數(shù)，使各約束函數(shù)的值均在（0，1）之間，稱為約束規(guī)格化。以減小各約束條件與設(shè)計(jì)變量變化時的靈敏度差距，使問題得到一定程度的改善。12 但如果一個不等式約束條件是兩個設(shè)計(jì)變量之間的比值函數(shù)，那么就沒有一個合適的常數(shù)作為除數(shù)，在這種情況下，可以用變尺度后的設(shè)計(jì)變量來建立約束條件，或用一個可以改變其數(shù)值的變量來除此式，但千萬注意不能因

8、此而改變約束條件的性質(zhì)。 實(shí)踐證明，設(shè)計(jì)變量的無量綱化、目標(biāo)函數(shù)性態(tài)的改善和約束條件的規(guī)格化，會加快收斂速度，提高計(jì)算的穩(wěn)定性和數(shù)值變化的靈敏性，且為使用般的通用程序帶來方便。13數(shù)據(jù)表和線圖的處理 在機(jī)械優(yōu)化沒計(jì)中，當(dāng)需要引用各種圖表給出的數(shù)據(jù)時，需編制查找和檢取這些數(shù)據(jù)的專門子程序聯(lián)入優(yōu)化程序。常用的處理方法有： 1)當(dāng)原數(shù)據(jù)出自理論計(jì)算公式時，可直接按原計(jì)算公式來編制程序。 2)當(dāng)原數(shù)據(jù)雖沒有理論公式，但有一定的函數(shù)關(guān)系并以一些離散點(diǎn)的函數(shù)值形式給出時，可用質(zhì)值或曲線擬合的方法編制一個子程序。必要時為提高精度或簡化函數(shù)表達(dá)式，可逐段進(jìn)行擬合。14 3) 當(dāng)原數(shù)據(jù)給出的是一組無一定函數(shù)關(guān)系

9、的具體數(shù)字時，可把表中的數(shù)據(jù)以數(shù)組形式來標(biāo)識存儲。如齒輪的標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)系列，是一維數(shù)表，可用一維數(shù)組來標(biāo)識存儲。數(shù)組括號中的標(biāo)量就是相應(yīng)模數(shù)的代碼，如J3時，標(biāo)識M25MM。在優(yōu)化設(shè)計(jì)時，只要給定標(biāo)識符的標(biāo)量值，即可由直接拾取齒輪的模數(shù)數(shù)值。 4)對于線圖資料，可用上述的方法2)或3)中的任一種來處理在可能的情況下，宜采用方法2)為好。 在使用圖表資料引入近似公式時，要待別注意其數(shù)值應(yīng)用范圍，必須引入相應(yīng)的可靠的約束條件，以保證計(jì)算機(jī)在優(yōu)化始終是在有意義的范圍內(nèi)查找和檢取數(shù)據(jù)。15最優(yōu)化方法的選擇 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中常用的一些優(yōu)化方法，前面幾章已作介紹，各種方法都有其待點(diǎn)和一定的適用范圍。 選擇優(yōu)化方

10、法應(yīng)綜合考慮： 1)設(shè)計(jì)變量是連續(xù)的還是離散的以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結(jié)構(gòu)簡單易于編程的方法維數(shù)高的則應(yīng)選擇收斂速度較快的方法。 2)目標(biāo)函數(shù)是單目標(biāo)還是多目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在以及是否易于求得，對于求導(dǎo)困難或?qū)?shù)不存在的應(yīng)避免求導(dǎo)而采用直接法。16常用優(yōu)化方法的特點(diǎn)和應(yīng)用范疇17 3)有無約束，約束條件是不等式約束，還是等式約束，還是兩者同時兼有。如具有等式約束，顯然不能直接采用復(fù)合形法，內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法。 隨著近年來優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展，國外已建立各種優(yōu)化方法的程序包，在國內(nèi)也不準(zhǔn)找到一些通用的優(yōu)化程序。評價優(yōu)化程序的準(zhǔn)則主要有： 1)通用性。在合理的精度要求下，

11、在一定的計(jì)算時間內(nèi)，能求解出各種不同類型的優(yōu)化問題的成功率。 2)有效性。對同一問題在同一精度同一初始條件下，求解優(yōu)化問題所用計(jì)算時間的多少。18 3)簡便性。指人們所需要準(zhǔn)備的工作量大小、包括學(xué)習(xí)使用程序，編制針對具體優(yōu)化問題的輔助子程序，程序中所需調(diào)用參數(shù)的多少，調(diào)試操作復(fù)雜程度，輸入、輸出控制方式等等。 實(shí)際使用中，除了個別簡單問題和學(xué)習(xí)需要外，一般應(yīng)盡量選用現(xiàn)有優(yōu)化程序。因?yàn)槭褂猛ㄓ脙?yōu)化程序，對不同類型的具體優(yōu)化問題僅僅只要按規(guī)定格式編寫目標(biāo)函數(shù)相約束條件子程序。19計(jì)算結(jié)果的分析與處理 由于機(jī)械設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜性，或建模中可能的失誤，對優(yōu)化計(jì)算得到的結(jié)果要進(jìn)行仔細(xì)的分析，有時還需要進(jìn)行

12、適當(dāng)?shù)奶幚恚员ＷC設(shè)計(jì)的合理性。 對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行過尺度變換或離散型變量作為連續(xù)型變量來計(jì)算的，則需對其計(jì)算結(jié)果相應(yīng)進(jìn)行反變換和圓整為離散值的處理。 目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值是對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析的重要依據(jù)，將它與原始方案的目標(biāo)函數(shù)值作比較，可看出優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。若給幾個不同的初始點(diǎn)進(jìn)行計(jì)從其結(jié)果可以大致判斷出全局最優(yōu)解。20 對計(jì)算結(jié)果得到的最優(yōu)解，需要檢查它們的可行性和合理性。 對于大多數(shù)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。最優(yōu)解往往位于一個或幾個不等式約束的界面上，其約束函數(shù)值應(yīng)等于或接近于零。若約束函數(shù)值全部不接近于零，即其所有的約束條件都不起作用，這時隨一步研究所給約束條件對該設(shè)計(jì)問題是否完善、所取得的最優(yōu)解是否正確。21 對各設(shè)計(jì)變量還可進(jìn)一步作關(guān)于該設(shè)計(jì)方案的敏感度分析通過對某設(shè)計(jì)變量加、減一個小量后，計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值，從其變比可看出此設(shè)計(jì)變量在該設(shè)計(jì)方案中的地位與作用。通過