2022屆天津市南開中學(xué)高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆天津市南開中學(xué)高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】D【解析】分別求解集合再求交集即可.【詳解】因為,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了指數(shù)與二次方程的求解以及并集的運算,屬于基礎(chǔ)題.2已知命題：，則為（）A，B，C，D，【答案】C【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，按照“一改量詞，二改結(jié)論”，可得答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故

2、選：C.3函數(shù)的大致圖像為（ ）ABCD【答案】D【分析】通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，排除B和C；當(dāng)時，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.4要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度【答案】B【分析】用誘導(dǎo)公式把兩個函數(shù)的名稱化為相同，再湊配成圖形變換的形式【詳解】由，則，解得，則只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移變換，解題時要注意兩函數(shù)名稱必須化為相同，才便于求解5已知

3、，則、的大小關(guān)系是（）ABCD【答案】C【分析】先與0比較，c小于0，再a與b比較，即可判斷大小.【詳解】，因此故選：C.【點睛】本題考查比較大小、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6設(shè)為正項等比數(shù)列的前項和，成等差數(shù)列，則的值為（）ABC16D17【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，q0，運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求值【詳解】正項等比數(shù)列an的公比設(shè)為q，q0，a5，3a3，a4成等差數(shù)列，可得6a3a5+a4，即6a1q2a1q4+a1q3，化為q2+q60，解得q2（3舍去），則1+q

4、41+1617故選D【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，等差數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題7雙曲線C：的左、右焦點分別|為、，點P在C上，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】B【分析】要求離心率，即求系數(shù)a，c間的關(guān)系，因此只需用系數(shù)將題目已知的條件表示出來即可本題涉及到了焦點弦問題，因此注意結(jié)合定義求解【詳解】解：由雙曲線的定義得：|PF1|PF2|2a，（不妨設(shè)該點在右支上）又|PF1|+|PF2|3b，所以，兩式相乘得結(jié)合c2a2+b2得故e故選B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，離心率的求法主要是根據(jù)已知條件找到a，b，c之間的關(guān)系化簡即可8已知

5、可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)當(dāng)時，則不等式的解集為（）ABCD【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解不等式的解集.【詳解】當(dāng)時，則則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則有，解之得故選：D9設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【詳解】令,則，設(shè)，令， ，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即應(yīng)選答案D點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化

6、歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)， 的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即使得問題獲解二、填空題10已知，為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則的值為_【答案】-2【詳解】為實數(shù)，則.【解析】 復(fù)數(shù)的分類【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可復(fù)數(shù)，當(dāng)時，為虛數(shù)，當(dāng)時，為實數(shù)，當(dāng)時，為純虛數(shù).11的展開式中的系數(shù)為_【答案】【分析】根據(jù)二項定理展開通項，求得的值，進(jìn)而求得系數(shù)【詳解】根據(jù)二項定理

7、展開式的通項式得 所以 ，解得 所以系數(shù)故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12盒中有大小相同的6個紅球，4個白球，現(xiàn)從盒中任取1球，記住顏色后再放回盒中，連續(xù)摸取4次設(shè)表示連續(xù)摸取4次中取得紅球的次數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望_【答案】或（2.4）【分析】依據(jù)二項分布去求的數(shù)學(xué)期望.【詳解】采用有放回的取球，每次取得紅球的概率都相等，均為，取得紅球次數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4.則隨機(jī)變量服從二項分布，則故答案為：13如圖，在中，與交于點，則的值為_.【答案】2【分析】令，利用平面向量的基本定理知：，將其轉(zhuǎn)化為的線性關(guān)系，可求，再由已知條件，應(yīng)用數(shù)量積的運算律求即可.【詳解】

8、令，而，得，又，.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)，應(yīng)用平面向量基本定理求的線性關(guān)系求參數(shù)，利用向量數(shù)量積的運算律求.14設(shè)，則的最小值為_【答案】.【分析】兩次運用“1”進(jìn)行整體代換，結(jié)合基本不等式，即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，故答案為：.15已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是_.【答案】【分析】化簡變形，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的零點，根據(jù)條件得出區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，再根據(jù)可得為或的子集，從而得出的范圍【詳解】令，可得，令，解得，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)又，又，或或，解得或的取值范圍是，故答案為【點睛】本題主要考查了通過降冪公式化

9、簡三角函數(shù)，正弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點的計算，解題的關(guān)鍵是將題意轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，得到不等關(guān)系，屬于中檔題三、解答題16已知數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍【答案】(1)最小正周期為，增區(qū)間為(2)【分析】（1）先對函數(shù)化簡變形，得，從而可求出函數(shù)的最小正周期，由，可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）將利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，化簡可求得，則，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案【詳解】(1)，所以的最小正周期為，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，(2)因為，所以由正弦定理得,所以,所以,因為，所以，因為，所以，所以，因為

10、所以，因為，所以，所以，即，所以，所以的取值范圍為17如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過可證得結(jié)論；（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；（3）利用共線向量和向量線性運算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長即為所求結(jié)果.【詳解】（1）以為原點可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系則，（2）由（1）知：，平面，平面又，平面，平面平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量則，令

11、，則，二面角的正弦值為（3）由（1）知：，設(shè)，平面，平面又，平面，平面平面的一個法向量為設(shè)為直線與平面所成角則，解得：則，即的長為【點睛】本題考查空間向量法解決立體幾何中的垂直關(guān)系證明、二面角的求解、根據(jù)線面角求解其他量的問題；考查學(xué)生對于空間向量法的掌握情況，屬于常考題型.18已知數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）記是數(shù)列的前項和：求；求滿足的所有正整數(shù).【答案】（1）證明見詳解；（2）；滿足的所有正整數(shù)有和.【解析】（1）設(shè)，推導(dǎo)出，由此能證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）推導(dǎo)出 ，由，得 ， ，從而；：由的求和式子由此能求出滿足Sn0的所有正整數(shù)n的值【詳解】（1）設(shè)，因為 ，所以數(shù)列

12、是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得 ，即，由，得 ，所以 ， ，顯然當(dāng)時，單調(diào)遞減，又當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，； ，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，綜上，滿足的所有正整數(shù)為和.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿足數(shù)列的前n項和的正整數(shù)的最大值的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出， ，考查等比數(shù)列、分組求和法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想19橢圓C：的離心率為，以橢圓C的上頂點T為圓心作圓T：，圓T與橢圓C在第一象限交于點A，在第二象限交于點B(1)求橢圓C的方程；(2)求的最小值，并求出此時圓T的方程；(3)設(shè)點P是橢圓C上異于A，B的一點，且直線P

13、A，PB分別與y軸交于點M，N，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值【答案】(1)(2)，(3)證明見解析【分析】（1）求出的值，根據(jù)，從而求出橢圓的方程即可；（2），求出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值，從而求出點坐標(biāo)；（3）設(shè)，則PA的方程為，分別求出 ，的值，從而證明為定值.【詳解】(1)解：由題意知，所，得，故橢圓C的方程為(2)點A與點B關(guān)于y軸對稱，設(shè)，由點A在圓C上，則，因為，得，所以，由題意得當(dāng)時，取最小值，此時，故，又點A在圓T上，代入圓的方程，得故圓T的方程是(3)證明：設(shè)，則PA的方程為令，得，同理故，因為P，A都在橢圓C上所以，代入可得：，即得20已知函數(shù)f（x）=（2a

14、）（x1）2lnx，g（x）= （aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）在 上無零點，求a的最小值；（）若對任意給定的x0（0，e，在（0，e上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍【答案】(1) f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2，單調(diào)增區(qū)間為2，+）；(2) 函數(shù)f（x）在 上無零點，則a的最小值為24ln2；（3）a的范圍是.【詳解】試題分析：（）把a=1代入到f（x）中求出f（x），令f（x）0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f（x）0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（）f（x）0時不可能恒成立，所以要使

15、函數(shù)在（0，）上無零點，只需要對x（0，）時f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個函數(shù)的最大值即可得到a的最小值；（）求出g（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出g（x）的值域，而當(dāng)a=2時不合題意；當(dāng)a2時，求出f（x）=0時x的值，根據(jù)x（0，e列出關(guān)于a的不等式得到，并根據(jù)此時的x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到和，令中不等式的坐標(biāo)為一個函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出恒成立和解出得到，聯(lián)立和即可解出滿足題意a

16、的取值范圍試題解析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x12lnx，則f（x）=1，由f（x）0，得x2；由f（x）0，得0 x2故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2，單調(diào)增區(qū)間為2，+）；（2）因為f（x）0在區(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)上無零點，只要對任意的，f（x）0恒成立，即對恒成立令，則，再令，則，故m（x）在上為減函數(shù)，于是，從而，l（x）0，于是l（x）在上為增函數(shù)，所以，故要使恒成立，只要a24ln2，+），綜上，若函數(shù)f（x）在 上無零點，則a的最小值為24ln2；（3）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x，當(dāng)x（0，1）時，g（x）0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（1，e時，g（x）0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函數(shù)g（x）在（0，e上的值域為（0，1當(dāng)a=2時，不合題意；當(dāng)a2時，f（x）=，x（0，e當(dāng)x=時，f（x）=0由題意得，f（x）在（0，e上不單調(diào)，故，即此時，當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下：x（0，） （，ef（x）0+f（