等積法求體積點到面距離教師版

1、等積法求體積點到面距離教師版等積法求體積點到面距離教師版等積法求體積點到面距離教師版等法求三棱的體【教版】2014/10/14由于三棱錐是由4個三角形圍成的周圍體，任何一個三角形都能夠看作其底面。但在求體積時需要選擇合適的底和高，這就需要靈便換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四棱錐求體積就不能夠隨意換底，不能夠用等積法求體積。別的，等積法的優(yōu)越性還表現(xiàn)在求“點到平面的距離”中?！咀⒁狻康确e法求體積時，要切記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再計算三棱錐的體積。例1例2（2011佛山一中三?？迹┤纾阎?/p>

2、三棱ABPC中，APPC，ACBC，MAB中點，DPB中點，且PMB正三角形。（）求：DM平面APC；（）求：平面ABC平面APC；（）若BC4，AB20，求三棱DBCM的體例2解：（）由已知得，MD是ABP的中位MDAP2分MD面APC4分（）PMB正三角形，DPB的中點，MDPB，5分APPB6分又APPC,PBPCPAP面PBC7分又BCAC,ACAPABC面APC9分BC面ABC平面ABC平面APC10分（）MD面PBC，MD是三棱MDBC的高，且MD5311分又在直角三角形PCB中，由PB10，BC4，可得PC22112分于是SBCD1SBCP221，13分2VDBCMVMDBC1S

3、h10714分3例3（茂名2010二模）如，在底面是菱形的四棱SABCD中，SA=AB=2，SBSD22.1）證明：BD平面SAC；2）問：側(cè)棱SD上可否存在點E，使得SB/平面ACE？請證明你的結(jié)論；3）若BAD1200，求幾何體ASBD的體積。例3解：（1）Q四棱錐SABCD底面是菱形，BDAC且AD=AB，又SA=AB=2，SBSD22.SAAB,SAAD，又ABADA，2分SA平面ABCD，BD平面ABCD，從而SABD3分又SAACA，BD平面SAC。4分2）在側(cè)棱SD上存在點E，使得SB/平面ACE，其中E為SD的中點6分證明以下：設(shè)BDACO，則O為BD的中點，又E為SD的中點，

4、連接OE，則OE為SBD的中位線。7分OE/SB，又OE平面AEC，SB平面AEC8分SB/平面ACE10分（3）當(dāng)BAD1200時，SABD1ABADsin12001223312分222幾何體ASBD的體積為VASBDVSABD1SABDSA13223.14分333點到面的距離一、知識點（求點到面的距離主要方法：）（1）直接法：由定義作出垂線段并計算，用線面和面面垂直的判斷及性質(zhì)來作；（2）轉(zhuǎn)移法：若直線AB/平面，則直線AB上隨意一點到平面的距離相等；（3）等體積法：用同一個三棱錐選不同樣底計算體積，再求高，即點到面的距離。二、基礎(chǔ)熱身1、在棱長為a的正方體AC1中找出表示以下距離的垂線段

5、:直接法：1）點A到面BCC1B1的距離；2）B1D1到面ABCD的距離；3）點A到面BDD1B1的距離求C到平面BDC1的距離。A1C轉(zhuǎn)移法：棱長為1的正方體ABCDABCD中，E,F分別是棱AA,BB中點，求點B到平面DEF的距離提示：由于AB/平面，所以點B到平面DEF的距離即為點A到平面DEF的距離。作AHED，證明AH平面DEF。AH5。5【活學(xué)活用】3、在棱長為1的正方體ADE的距離。ABCDABCD中,E,F分別為棱BB和CD的中點,求點F到平面提示：法一直接法：將三角形擴(kuò)大到平行四邊形，高FH平面ADGE。取CC的中點G，連接DG、EG，過F作垂線FHDG。能夠證得EG/AD，

6、所以平面ADGE，即平面ADE。能夠證得EG平面DCCD，所以EGFH由FHDG、EGFH，EG?DG?=?G?可知FH平面ADGE所以FH即F到平面ADE距離。依照勾股定理能夠求得：DG21(1)25，DG5242又知：FDG的面積?=?S四邊形DCCD?-?SDDF?-?SDCG?-?SFGC1113，F(xiàn)H2335。184488DG10DCABDFCQEAPB法二：轉(zhuǎn)移法：FP/平面ADE，作PQAE。等積法求點到面的距離：已知在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求點B到平面AECF的距離。等積法VBAEFVFAEB三、知識運用例1：如圖四棱錐SABCD，

7、ABAD,AB/CD,CD3AB,面SAD面ABCD,M是線段AD上一點，ABAM1,DMDC,SMAD.證明：BM面SMC求點C到面SMB的距離。EX1如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，ABC60,PC面ABCD，E,F是PA和AB的中點。P1）求證：EF/平面PBC;（）求E到平面的距離。E2PBC提示：由（1）知EF/平面PBC，所以E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離DCFHBC，F(xiàn)Ha即為所求。AFB2例2：（2010江蘇卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD0平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90。求點A到平面PBC的距離。剖析（方法一）分別

8、取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，由于PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=22，故點A到平面PBC的距離等于2。（方法二）等體積法：連接AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。00由于ABDC，BCD=90，所以ABC=90。從而AB=2，BC=1，得ABC的面積SABC1。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積V1SABCPD1。33由于PD平面ABCD，DC平

9、面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以PCPD2DC22。由PCBC，BC=1，得PBC的面積SPBC2。2由VAPBCVPABC，1ShV1，得h2，VPBC33故點A到平面PBC的距離等于2。EX2:（2010廣東文數(shù)）如圖4，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三均分點，平面AEC外一點F滿足FC平面BED,FB=5a1）證明：EBFD2）求點B到平面FED的距離.【剖析】（1）證明：點B和點C為線段AD的三均分點，點B為圓的圓心又E是弧AC的中點，AC為直徑，BCEB即BDEBFC平面BDE，EB平面BDE，F(xiàn)CEB又BD平面FBD

10、，F(xiàn)C平面FBD且BDFCCEB平面FBD又FD平面FBD，EBFD（2）解：設(shè)點B到平面FED的距離（即三棱錐BFED的高）為h.FC平面BDE,FC是三棱錐F-BDE的高，且三角形FBC為直角三角形由已知可得BCa，又FB5aFC(5a)2a22a在RtBDE中，BD2a,BEa，故SBDE12aaa2,1122VFBDESBDEFCa22aa3,333又EB平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE為直角三角形,EF6a,DE5a，在RtFCD中，F(xiàn)D5a,SFED21a2,2VFBDEVBFED即121a2h2a3，故h421a,32321即點B到平面FED的距離為h421a.21備用題

11、：、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PD底面ABCD，PD=DC=BC=，AB，AB1CD,ABC。，求點D到平面PAB的距離1=2.=902、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AB=6，分別求點C與點D到平面PAB的距離.3、如圖幾何體是由正方體11111111ABCD-ABCD與四棱錐E-ABCD第2題組成，E為CC的延長線上一點，1且EC1=CC1，AB=2，M為EB1的中點，求點M到平面ACD1的距離.第3題、如圖BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD4平面BCD，AB平面BCD，求點A到平面MCD的距離.PG5、圓錐PO如圖5所示，圖6是它的正(主)視圖已知圓O的直徑為AB，C是?的中點，D為的中點ABACDCAEOBD第4題A圖6BC圖5F第6題1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）證明：AC平面POD；3）求點O到平面PAC的距離6、如圖，ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點，GC垂直于ABCD所在的平