無(wú)窮小與無(wú)窮大,極限運(yùn)算法則

1、第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小二、無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2022/8/301一、無(wú)窮小1. 定義 (無(wú)窮小): 如果函數(shù) f (x)當(dāng) xx0 (或x )時(shí)的極限為零, 則稱函數(shù) f (x) 當(dāng) xx0 (或 x)時(shí)為無(wú)窮小.2022/8/302例如,注意（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2022/8/3032、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:意義將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小).2022/8/304二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.2022/8/305特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大注意（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無(wú)

2、窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2022/8/306證2022/8/307三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理2 在自變量的同一過(guò)程中, 如果 f (x) 為無(wú)窮大, 則 1/f (x) 為無(wú)窮小; 如果 f (x)為無(wú)窮小, 且 f(x)0, 則1/f (x) 為無(wú)窮大.意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.2022/8/308問(wèn)題兩個(gè)無(wú)窮小的和，差，積，商是否仍為無(wú)窮小。兩個(gè)無(wú)窮大的和，差，積，商是否仍為無(wú)窮大。2022/8/309四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義; 兩個(gè)定理.2、注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的. 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混

3、淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù).2022/8/3010作業(yè):習(xí)題1-5 (第39頁(yè)) 8.2022/8/3011第五節(jié) 極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)二、極限運(yùn)算法則三、求極限方法舉例2022/8/3012一、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理1 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.2022/8/3013定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小2022/8/3014二、極限運(yùn)算法則定理32022/8/3015證(1)有界，

4、(3)2022/8/3016定理4那末如果2022/8/3017推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論22022/8/3018三、求極限方法舉例例1解2022/8/3019小結(jié):2022/8/3020解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例22022/8/3021解例3(消去零因子法)2022/8/3022例4解無(wú)窮小因子分出法分子,分母的極限均為無(wú)窮大. 方 法先用去除分子分母,分出無(wú)窮小,再求極限.先將分子、分母同除以x 的最高次冪,無(wú)窮小分出法以分出再求極限.求有理函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限時(shí),無(wú)窮小,2022/8/3023小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.2022/8/3024例5解先變形再求極限.2022/8/3025意義：2022/8/3026四、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的