電子的準(zhǔn)經(jīng)典運動

1、5-5-5 ) 5-5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運動前面給出了晶體中電子的能量本征值及相應(yīng)的本征態(tài)，這是研究晶體中電子運動的基礎(chǔ)。例如，當(dāng)給 出電子的能量本征值，我們便可以了解晶體中電子系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)。又如，當(dāng)我們研究晶體的光吸收和電 子散射問題時，也都需要先了解電子的本征值和本征態(tài)。但是，并非所有關(guān)于電子運動的問題都必須應(yīng)用量子力學(xué)方法來處理，晶體中許多電子運動問題是可 以近似當(dāng)作經(jīng)典運動來處理的。例如，在電、磁場中晶體的輸運問題就屬于這一類型。本節(jié)討論的中心是 在一定條件下，將晶體中電子當(dāng)作經(jīng)典粒子處理的方法。5. 5. 1 準(zhǔn)經(jīng)典近似當(dāng)我們討論外場作用下晶體電子的運動規(guī)律時，我們首先要知道電子在任意波

2、矢k狀態(tài)的平均運動速度，根據(jù)量子力學(xué)，電子在晶體中平均速度為：h _ * _ -v k k k kd (5-5-1 )2m其中k是描述k態(tài)的電子波函數(shù)，它具有布洛赫函數(shù)形式，經(jīng)過較復(fù)雜的計算，可以證明k態(tài)電子的平均速度為：1_ .v k - kE k (5-5-2 )h因此，對于晶體中的電子，我們無需嚴格地根據(jù)量子力學(xué)方法，而只要已知E(k)函數(shù)，就可得到電子在晶體中運動的平均速度。應(yīng)當(dāng)指出，上述結(jié)論并不是偶然的， 因為一定的條件下，晶體中的電子可以近似當(dāng)作經(jīng)典粒子來處理，量子力學(xué)告訴我們， 晶體中處于 狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下其平土速度相當(dāng)于以k0為中心的由布洛赫波組成的波包的速度。5. 5

3、. 2 波包與電子平均速度討論一維情況，設(shè)波包是由以 ko為中心，波矢范圍為 A k的布洛赫波組成。僅當(dāng) k = 2 /a時，才能把電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子(后面將給出證明)O在這個條件下，描寫波包的函數(shù)為:x,tk0kok2i(kx t)j2 Uk(x)e2dk; Uko(x)k0 J i(kx t)2 e dkk0 T5-5-3 )5-5-4 )作變數(shù)變換，令kko()%于是得到：i (koxx,tUko(x)et)s得x +)/ 1x (該波包所描寫的粒子的幾率分布為: x,tUko(x)k d ,2 X jx ( )kot2 dk 0k25-5-6 )如圖5-5-1所示。由此可見，波包中心位

4、于:5-5-7 )d x= dk ko上式表明，若把波包看作一個準(zhǔn)經(jīng)典粒子，則其運動速度為:v(ko)ddk1 dE5-5-8 )h dkko我們再來看看能把波包看成準(zhǔn)粒子的條件是什么？ 一個布里淵區(qū)內(nèi)包含所有的狀態(tài)k,而由于布洛赫波存在色散，一個穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍必須是一個很小的量，若把Ak大小與布里淵區(qū)的線度相比較，顯然應(yīng)有：(5-5-9 )另一方面，由式(5-5-6 )或圖5-5-1可見，波包在空間集中 在22 x kk(5-5-10 )范圍內(nèi)。通常用 Ax表示波包的大小。因此，由式(5-5-9 )可知，應(yīng)有：A xa。也就是說，如果波包大小比原胞的線 度大得多，則晶體中電子的運

5、動可以用波包運動的規(guī)律來描 述，即波包中心的速度等于粒子處于波包中心那個狀態(tài)所具 有的平均速度。例如，在輸運過程中，只有當(dāng)自由程遠遠大 于原胞線度的情況下，才可以把電子看作是一個準(zhǔn)經(jīng)典運動 的粒子。圖5-5-2( a)和(b)分別給出E(k), v(k)在簡約布里淵區(qū) 內(nèi)作為k的函數(shù)曲線?？梢姡谀軒У椎哪軒ы斕?，即E(k)的極值點處，電子速度為零，而在d2E/dk2 0處電子速度的數(shù)值最大。這種情況與自由粒子速度隨能量E單調(diào)增大是顯然不同的。將上述結(jié)果推廣到三維情況為：1 Lv - k Eh(5-5-11 )圖5-5-1(6-20)描述電子準(zhǔn)經(jīng)典運動的波包5. 5. 3外力作用下電子狀態(tài)的變

6、化晶體中的電子在外力作用下其狀態(tài)是怎樣變化的？當(dāng)將電子看作準(zhǔn)經(jīng)典粒子時，這個問題是不難用經(jīng) 典力學(xué)方法解決的。根據(jù)功能原理，在外力 F作用下，單位時間內(nèi)電子能量的增加應(yīng)為：dEdt Fv5-5-12 )由于電子能量E取決于狀態(tài)波矢k,因而在外力作用下，電子的波矢k必然發(fā)生相應(yīng)的變化，并由此引起電子能量的變化，即：dE dE dk vd(hk)dt dk dtdt5-5-13 )比較(5-5-12 )和(5-5-13 )式，得至IJ:她F 5-5-14 )dt式(5-5-14 )即為外力作用時，電子狀態(tài)變化的基本方程。它和牛頓定律具有相似的形式，只是以？k代替了經(jīng)典力學(xué)中粒子的動量，故稱？k為電

7、子的準(zhǔn)動量。在電子的準(zhǔn)經(jīng)典運動以及其它一些物理過程中，?k具有動量的性質(zhì)。在三維情況下,當(dāng)有外電場E外和磁場B存在時,F e(E 外 vB)5-5-15 )因而有：d(hk) e(E 外dtv B)5-5-16 )5. 5. 4晶體中電子的有效質(zhì)量dv dt晶體中電子在外力作用下的加速度可根據(jù)式(5-5-8 )式來求:(1dE) 1 (dE)dt h dk h dk dt由(5-5-12 )式有：5-5-17 )呢( dt于是有:FvF 1dE h dk5-5-18 )dvdt1 dEdk( h2 dk)1 d2ET-T F h2 dk25-5-19 )5-5-20 )5-5-20 )代入(5

8、-5-19)式，則我們可以定義:1 d2Eh2 dk2這是由 0k函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)決定的，稱為晶體中電子的有效質(zhì)量。將( (5-5-19 )式的形式可以寫成與牛頓定律相似的形式：dv 1. *dt m可以表明，有效質(zhì)量 m是晶體中電子對外力 F的影響。晶體中的電子同時受到外力F和內(nèi)部相互作用力F1的綜合作用，即dv 15-5-21 )(F F|)dt m引入m ,則有5-5-22 )dv1 廠/F (dt m也就是說，5-5-23 )F Fl顯然，外力與加速度的關(guān)系不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入有效質(zhì)量的概念，它包括了內(nèi)力的作用，即 m*包含了晶格周期場的作用，晶體中的電子對外力的響應(yīng)

9、，好比具有質(zhì)量為m*的自由電子。對于三維情況，經(jīng)過類似的推導(dǎo)可以得到dv dth2k kE F5-5-24 )將上式寫成張量形式為dvx dt dvdvydtdtdvzdt2E2Ek2kx ky4tf m12E2Eh2ky kxky2e2ekz kxkz ky2Ekx kz2Eky kz2ek2FyFz5-5-25 )與牛頓定律相比，現(xiàn)在以一個張量代替了1/m,我們稱其為有效質(zhì)量倒易張量(1/m*),如選坐標(biāo)軸沿2E kx2E2e2E k200kx kykx kz112E2E2e102e0*mh2ky kxk2ky kzh2k22e2e2E002ekz kxkz kyk2k2張量的主軸方向，則

10、只有a = B的分量不為0,這時有可以簡寫為:5-5-26 ),(i,j x, y,z)5-5-27 )112E()ij - m h k kj若選kx,ky,kz為張量主軸，其中5-5-28 )2E0,()k k 0() 所以在主軸坐標(biāo)系中可以定義有效質(zhì)量張量為:* mx*mmy*mzhh2/25-5-29 )h22E k2由式(5-5-29 )可見，有效質(zhì)量不是一個常數(shù)，是波矢k的函數(shù)(如圖5-5-2 (c)所示)，而且是個張重，mx,my,mz可以不相等；有效質(zhì)量不僅可以取正值,也可取負值。應(yīng)該指出，能帶底和能帶頂為E(k)函數(shù)的極小和極大，分別具有正值和負值的二級微商。 而在一個能帶頂附近，有效質(zhì)量總是負的。因此，在一個能帶底附近， 有效質(zhì)量總是正的;例如，對于立方對稱的晶體，其 x, V，z軸是完全等價的,緊束縛近似所得到的簡立方晶格情況，其能帶函數(shù)E(k)如式有效質(zhì)量的主軸就是x, v, z軸，則對于(5-4-18 )所