專題2-統(tǒng)計決策

1、第9章 統(tǒng)計決策9.1 統(tǒng)計決策的基本概念 9.2 完全不確定型決策9.3 一般風(fēng)險型決策19.1 統(tǒng)計決策的基本概念一、什么是統(tǒng)計決策二、統(tǒng)計決策的基本步驟三、收益矩陣表2一、什么是統(tǒng)計決策 狹義的統(tǒng)計決策方法是一種研究非對抗型和非確定型決策問題的科學(xué)的定量分析方法。3二、統(tǒng)計決策的基本步驟一個完整的統(tǒng)計決策過程，包括以下幾個基本步驟：（一）確定決策目標(biāo) 決策目標(biāo)應(yīng)根據(jù)所研究問題的具體特點(diǎn)確定。反映決策目標(biāo)的變量，稱為目標(biāo)變量。（二）擬定備選方案 目標(biāo)確定之后，需要分析實現(xiàn)目標(biāo)的各種可能途徑。這就是所謂擬定備選方案。（三）列出自然狀態(tài) 所謂自然狀態(tài)(簡稱狀態(tài))，是指實施行動方案時，可能面臨的

2、客觀條件和外部環(huán)境。某種狀態(tài)是否出現(xiàn)，事先一般是無法確定的。各種狀態(tài)不會同時出現(xiàn)，也就是說，它們之間是互相排斥的。所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)的集合稱為狀態(tài)空間，而相應(yīng)的各種狀態(tài)可能出現(xiàn)的概率的集合稱為狀態(tài)空間的概率分布。4二、統(tǒng)計決策的基本步驟（四）測算結(jié)果 不同方案在各種狀態(tài)下可能實現(xiàn)的目標(biāo)變量值，即不同方案在各種狀態(tài)下的結(jié)果，所有的結(jié)果構(gòu)成結(jié)果空間。（五）選擇“最佳”或“滿意”的方案（六）實施方案 所選擇的方案是否真正合適，還需要通過實踐的檢驗。同時，還應(yīng)將實施過程中的信息及時反饋給決策者。如果實施結(jié)果出乎意料，或者自然狀態(tài)發(fā)生重大變化，應(yīng)暫停實施，并及時修正方案，重新決策。 5三、收益矩陣表 收

3、益矩陣表是求解統(tǒng)計決策問題的重要工具。其基本形式如表9-1所示。 收益矩陣表由以下幾部分組成：（一）行動空間（二）狀態(tài)空間（三）狀態(tài)空間的概率分布（四）收益矩陣 收益矩陣的元素qij反映在狀態(tài)j下，采用行動方案ai得到的收益值（結(jié)果）。這里所說的收益是廣義的，凡是能作為決策目標(biāo)的指標(biāo)都可以稱為收益。收益是行動方案和自然狀態(tài)的函數(shù)，可用下式表示：qij = Q (ai , j ) i =1,2,m; j=1,2,n (9.1) 67 【例9-1】一家釀酒廠就是否推出一種新型啤酒的問題進(jìn)行決策分析。擬采取的方案有三種：一是進(jìn)行較大規(guī)模的投資，年生產(chǎn)能力為2500萬瓶，其每年的固定成本費(fèi)用為300萬

4、元；二是進(jìn)行較小規(guī)模的投資，年生產(chǎn)能力1000萬瓶，其每年的固定成本費(fèi)用為100萬元 ；三不推出該種啤酒。假定在未考慮固定費(fèi)用的前提下，每售出一瓶酒，均可獲純利0.3元。據(jù)預(yù)測，這種啤酒可能的年銷售量為：50萬瓶、1000萬瓶和2500萬瓶，這三種狀況發(fā)生的概率分別為：0.2、0.3、0.5。 試編制該問題的收益矩陣表。 8 解：首先分別計算不同狀態(tài)下采用不同方案可能帶來的收益。例如，當(dāng)需求量大（年銷售2500萬瓶）時，方案一的收益為： 0.3*2500-300=450萬元；方案二的收益為： 0.3*1000-100=200萬元；方案三的收益為： 0其他狀態(tài)的收益計算方法相同，過程不一一列出。

5、在以上計算的基礎(chǔ)上，可編制如下收益矩陣表。 99.2 完全不確定型決策 一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則二、各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場合10一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則（一）最大的最大收益值準(zhǔn)則 該準(zhǔn)則又稱“樂觀準(zhǔn)則”或“好中求好”準(zhǔn)則。其特點(diǎn)是決策者對未來形勢比較樂觀。在決策時，先選出各種狀態(tài)下每個方案的最大收益值，然后再從中選擇最大者，并以其相對應(yīng)的方案作為所要選擇的方案。該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (9.2)式中，a* 是所要選擇的方案。 11一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則（二）最大的最小收益值準(zhǔn)則 該準(zhǔn)則又稱“悲觀準(zhǔn)則”或“壞中求好”準(zhǔn)則。它正好與樂觀準(zhǔn)則相反，決策者對未來形勢比較悲觀。在決策時，先選出各

6、種狀態(tài)下每個方案的最小收益值，然后再從中選擇最大者，并以其相對應(yīng)的方案作為所要選擇的方案。該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (9.3) 12 【例9-2】 假設(shè)例9-1中,有關(guān)市場狀態(tài)的概率完全不知道，試根據(jù)最大的最大收益值準(zhǔn)則和最大的最小收益值準(zhǔn)則進(jìn)行決策。 解：（1）例9 - 1中，方案一在各種狀態(tài)下的最大收益為450萬元，方案二在各種狀態(tài)下的最大收益為200萬元，方案三在各種狀態(tài)下的最大收益為0，根據(jù)最大的最大收益值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案一。（2）例9 - 1中，方案一在各種狀態(tài)下的最小收益為-285萬元，方案二在各種狀態(tài)下的最小收益為-85萬元，方案三在各種狀態(tài)下的最小收益為0，根據(jù)最大的最小收益值準(zhǔn)

7、則，應(yīng)選擇方案三。 13（三）最小的最大后悔值準(zhǔn)則 后悔值又稱機(jī)會損失值，即由于決策失誤而造成的其實際收益值與最大可能的收益值的差距。方案ai在狀態(tài)j下的后悔值，可按下式計算：(9.4) 式中，Q (ai ,j )是在第j種狀態(tài)下，正確決策有可能得到的最大收益，qij是收益矩陣的元素。一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則14一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則 如果實際選擇的方案正好是這種狀態(tài)下的最優(yōu)方案（有可能帶來最大收益的方案），則后悔值為0；如果實際選擇的方案不如最優(yōu)方案，決策者就會感到后悔。后悔值越大表明所選的方案與最優(yōu)方案差距越大。顯而易見，rij0 。 最小的最大后悔值準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (9.5)

8、15【例9-3】 假設(shè)例9-1中,有關(guān)市場狀態(tài)的概率完全不知道，試求出后悔矩陣并根據(jù)最小的最大后悔值準(zhǔn)則進(jìn)行決策。解：(1)在市場需求大的情況下,采用方案一可獲得最大收益,故有: 在市場需求中的情況下，采用方案二可獲得最大收益，故有:在市場需求小的情況下，采用方案三可獲得最大收益，故有: 將其代入(9.4)式，可求得以下后悔矩陣（參見表9-3）。(2)由表9-3可知：方案一的最大后悔值為285萬元，方案二的最大后悔值為250萬元，方案三的最大后悔值為450萬元。根據(jù)最小的最大后悔值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案二。 1617（四）折衷準(zhǔn)則該準(zhǔn)則認(rèn)為，對未來的形勢既不應(yīng)該盲目樂觀，也不應(yīng)過分悲觀。主張根據(jù)經(jīng)驗

9、和判斷確定一個樂觀系數(shù)（01），以和1-分別作為最大收益值和最小收益值的權(quán)數(shù)，計算各方案的期望收益值E(Q(ai)(9.6)以期望收益值最大的方案作為所要選擇的方案。該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(9.7)一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則18【例9-4】 假設(shè)例9-1中,有關(guān)市場狀態(tài)的概率不知，根據(jù)經(jīng)驗判斷的樂觀系數(shù)為0.6,試根據(jù)折衷準(zhǔn)則進(jìn)行決策。解： 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（9.6）式，可得：E(Q(a1) = 0.6450 +(10.6)(-285)= 156E(Q(a2) = 0.6200 +(10.6)(85)= 86E(Q(a3) = 0.60 +(10.6)0 = 0因為在可選擇的方案中，方案一的期望

10、收益值較大，所以根據(jù)折衷原則，應(yīng)選擇方案一。 19（五）等可能性準(zhǔn)則 該準(zhǔn)則認(rèn)為：既然我們不知道未來各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性有多大，那么不妨假定其發(fā)生的概率相等。在此基礎(chǔ)上求各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的方案作為所要選擇的方案。該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： a* =Max E(Q(ai) (9.8) (i =1,2,-,m) (9.9)一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則20【例9-5】 假設(shè)例9-1中,有關(guān)市場狀態(tài)的概率不知，試根據(jù)等可能性準(zhǔn)則進(jìn)行決策。解： 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（9.9）式，可得：E(Q(a1) =1/3(450 + 0 - 285)=55 E(Q(a2) =1/3( 200 + 200

11、85)= 105E(Q(a3) =1/3( 0 + 0 + 0)= 0因為，按(9.9)式計算的方案二的期望收益值最大，所以按等可能性準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案二。 21二、各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場合由于完全不確定型決策問題相當(dāng)復(fù)雜，而決策者掌握的信息又非常有限，因此，在實際決策時，決策準(zhǔn)則的選擇往往取決于決策者的偏好，也就是說對準(zhǔn)則的選擇仍帶有相當(dāng)程度的主觀隨意性。為了提高決策的科學(xué)性，減少盲目性，在選用準(zhǔn)則時，應(yīng)注意分析各種準(zhǔn)則隱含的假定和決策時的各種客觀條件?？陀^條件越接近于某一準(zhǔn)則的隱含假定，則選用該準(zhǔn)則進(jìn)行的決策結(jié)果就越正確。最大的最大收益值準(zhǔn)則只有在客觀情況確實很樂觀，或者即使決策失誤，也完全

12、可以承受損失的場合才采用。 最大的最小收益值準(zhǔn)適用于對未來的狀態(tài)非常沒有把握，或者難以承受決策失誤損失的場合。22最小的最大后悔值準(zhǔn)則適用于不愿放過較大的獲利機(jī)會，同時又對可能出現(xiàn)的損失有一定承受力的場合。折衷準(zhǔn)則事實上是假定未來可能發(fā)生的狀態(tài)只有兩種：即最理想狀態(tài)和最不理想狀態(tài)。前者發(fā)生的概率是，后者發(fā)生的概率是(1-)。當(dāng) =1時，該準(zhǔn)則等價于樂觀準(zhǔn)則，而當(dāng) =0時，該準(zhǔn)則等價于悲觀準(zhǔn)則。實際應(yīng)用該準(zhǔn)則時，應(yīng)根據(jù)風(fēng)險的大小、對未來狀態(tài)的預(yù)計以及對決策失誤的承受力，調(diào)整的賦值。等可能性準(zhǔn)則事實上是假定各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。該準(zhǔn)則只適用于對未來各種狀態(tài)發(fā)生的可能性完全心中無數(shù)的場合。 239

13、.3 一般風(fēng)險型決策 一、自然狀態(tài)概率分布的估計二、風(fēng)險型決策的準(zhǔn)則三、利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險型決策24一、自然狀態(tài)概率分布的估計一般風(fēng)險型決策中，所利用的概率包括客觀概率與主觀概率?？陀^概率是一般意義上的概率可來源于頻率估計，通常是由自然狀態(tài)的歷史資料推算或按照隨機(jī)實驗的結(jié)果計算出來的。例如，購買體育彩票的中獎概率就屬于客觀概率。主觀概率是基于自身的學(xué)識、經(jīng)驗做出的對某一事件發(fā)生的可能性的主觀判斷。 25二、風(fēng)險型決策的準(zhǔn)則 （一）期望值準(zhǔn)則 以各方案收益的期望值的大小為依據(jù)，來選擇合適的方案。(i =1,2,-,m) (9.10)（二）變異系數(shù)準(zhǔn)則 當(dāng)出現(xiàn)兩個方案收益的期望值相差不大的情況時，

14、可以進(jìn)一步用變異系數(shù)作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)，以變異系數(shù)較低的方案作為所要選擇的方案。變異系數(shù)準(zhǔn)則必須在期望值達(dá)到一定數(shù)額的前提下，才能運(yùn)用，否則可能得出不正確的結(jié)論。 方差Var(ai)和變異系數(shù)V的計算公式如下：(i =1,2,m) (9.11)(i =1,2,m) (9.12) 26【例9-6】試?yán)美?-1中給出的收益矩陣表的資料，根據(jù)期望值準(zhǔn)則和變異系數(shù)準(zhǔn)則選擇最佳的投資方案。 解：（1）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（9.10）式，可得：E(Q(a1) = 4500.5 + 00.3 2850.2 = 168E(Q(a2) = 2000.5 + 2000.3 850.2 = 143 E(Q(a3) =

15、0 0.5 + 00.3 + 00.2 = 0（2）E(Q(a3)=0，可以從備選方案中排除。方案一和方案二的期望值雖有差別，但差別不是很大，所以再計算變異系數(shù)，幫助判斷。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（9.11）和（9.12）式，可得： Var(a1) = (450-168)20.5+(0-168)20.3+(-285-168) 20.2=89271Var(a2) = (200-143)20.5+(200-143)20.3+(-85-143) 20.2=12996所以，如果單純根據(jù)收益期望值大小為標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)選擇方案一；如果將收益的期望值和方差結(jié)合在一起考慮，選擇方案二比較合適。27二、風(fēng)險型決策的準(zhǔn)則（三）最

16、大可能準(zhǔn)則該準(zhǔn)則主張以最可能狀態(tài)作為選擇方案時考慮的前提條件。所謂最可能狀態(tài)，是指在狀態(tài)空間中具有最大概率的那一狀態(tài)。按照最大可能準(zhǔn)則，在最可能狀態(tài)下，可實現(xiàn)最大收益值的方案為最佳方案。最大可能準(zhǔn)則是將風(fēng)險條件下的決策問題，簡化為確定條件下的決策問題。只有當(dāng)最可能狀態(tài)的發(fā)生概率明顯大于其他狀態(tài)時，應(yīng)用該準(zhǔn)則才能取得較好的效果。 28【例9-7】 試?yán)美?-1中給出的收益矩陣表的資料，根據(jù)最大可能準(zhǔn)則選擇最佳的投資方案。 解： 該例的各種自然狀態(tài)中，“市場需求大”的概率最大，因此，該狀態(tài)為最可能狀態(tài)。在市場需求大的狀態(tài)下，方案一可以獲得最大的收益。所以，根據(jù)最大可能準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案一。29（四

17、）滿意準(zhǔn)則利用這一準(zhǔn)則進(jìn)行決策，首先要給出一個滿意水平。所謂滿意水平，是指決策者認(rèn)為比較合理、可以接受的目標(biāo)值。然后，將各種方案在不同狀態(tài)下的收益值與目標(biāo)值相比較，并以收益值不低于目標(biāo)值的累積概率為最大的方案作為所要選擇的方案a*。該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：a* = Max P Q (ai,j )A (9.13)（i =1,2,m； j=1,2,.n）式中，A是給定的滿意水平， Q (ai,j )是i方案在j狀態(tài)下的收益， P Q (ai,j )A 是各方案收益值不低于目標(biāo)值狀態(tài)的累積概率。利用該準(zhǔn)則的決策結(jié)果，與滿意水平的高低有很大關(guān)系。滿意水平一旦改變，所選擇的方案也將隨之改變。 二、風(fēng)險型

18、決策的準(zhǔn)則30【例9-8】 試?yán)美?-1中給出的收益矩陣表的資料，根據(jù)滿意準(zhǔn)則選擇滿意的投資方案，假定給出的滿意水平有200萬元和400萬元兩種。解：(1) P Q (a1,j )200 = 0.5P Q (a2,j )200 = 0.5+0.3 = 0.8P Q (a3,j )200 = 0在備選方案中，方案二達(dá)到滿意水平的累積概率最大，所以選擇方案二。P Q (a1,j )400 = 0.5P Q (a2,j )400 = 0P Q (a3,j )400 = 0在備選方案中，方案一達(dá)到滿意水平的累積概率最大，所以選擇方案一。 31三、利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險型決策決策樹是求解風(fēng)險型決策問題的重

19、要工具，它是一種將決策問題模型化的樹形圖。決策樹由決策點(diǎn)、方案枝、機(jī)會點(diǎn)、概率枝和結(jié)果點(diǎn)組成。利用決策樹對方案進(jìn)行比較和選擇，一般采用逆向分析法，即先計算出樹形結(jié)構(gòu)的末端的條件結(jié)果，然后由此開始，從后向前逐步分析。與本章第一節(jié)介紹過的收益矩陣表相比，決策樹的適應(yīng)面更廣，它并不要求所有的方案具有相同的狀態(tài)空間和概率分布。它特別適用于求解復(fù)雜的多階段決策問題。32【例9-9】某汽車配件廠擬安排明年某零部件的生產(chǎn)。該廠有兩種方案可供選擇：方案一是繼續(xù)利用現(xiàn)有的設(shè)備生產(chǎn)，零部件的單位成本是0.6萬元。方案二是對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行更新改造，以提高設(shè)備的效率。更新改造需要投資100萬元（假定其全部攤?cè)朊髂甑某杀荆?，成功的概率?.7。如果成功，零部件不含上述投資費(fèi)用的單位成本可降至0.5萬元；如果不成功，則仍用現(xiàn)有設(shè)備生產(chǎn)。另據(jù)預(yù)測，明年該廠某零部件的市場銷售價格為1萬元，其市場需求有兩種可能：一是2000件，二是3000件，其概率分別為0.45和0.55。試問：（1）該廠應(yīng)采用何種方案？（2）應(yīng)選擇何種批量組織生產(chǎn)？ 33 解：在本例中，首先要解決的問題是對生產(chǎn)方案的選擇，但