商區(qū)ms網(wǎng)點的優(yōu)化設計

1、商區(qū) MS 網(wǎng)點的優(yōu)化設計，摘要本問題是一育館周邊超市（MS）網(wǎng)的優(yōu)化設計問題。首先對問卷結果進行科學的統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)了觀眾出行、餐飲和購物的穩(wěn)定性規(guī)律，給出了反映該規(guī)律的百分比矩陣。按最短路原則，構建了觀眾的出行矩陣，既而導出了場館各通道人流分布的人流矩陣，再結合百分比矩陣，在等概率假設的基礎上，給出了各商區(qū)不同檔次的人流量分布，如下表所示：A17.80%A24.04%A34.21%A44.74%A55.26%A610.02%A74.90%A84.38%A94.21%A104.40%B14.97%B24.44%B35.84%B44.44%B54.97%B68.47%C12.41%C22.59%C

2、35.42%C42.49%在探討 MS 網(wǎng)如何設置時，用偏系數(shù)法構造了能夠綜合反映MS 網(wǎng)經(jīng)濟效益、潛在效益和就業(yè)效益的綜合效益函數(shù)： j6i20i20F k ( n c x c y c) k (1 ecj /r ) k S (x c y d )ij jiiii123i1j1i1并以該函數(shù)的最大為目標，建立了一個單目標非線性規(guī)劃模型。用計算機分析與實際情況相結合的方法調試模型中的參數(shù)，當 a=2000,b=12000, k1 1 ，k2 0 ， k3 1， c 10000, c 200000，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =1024，t=2， b1 1， b2 10 ，對應

3、的最優(yōu)解如下表所示：隨后建立了包含 6 個定義、6 個引理及其推論的商區(qū) MS 網(wǎng)規(guī)劃理論體系，并以引理 5 和引理 6 作為理論依據(jù)，建造了商區(qū)布局規(guī)劃模型，并用有的模擬退火算法，通過編程得到了近似最優(yōu)解。又將該模型與球裝箱進行比較，給出可對模型進行方便求解的磁性球裝箱理論。最后從“ 值對顧客的影響”、“消費檔次的穩(wěn)定性”、“商區(qū)的后期利用”、“商區(qū)內 MS 數(shù)量與商區(qū)內流量的關系”等幾個方面對模型做了進一步的討論，并提出了以后的研究方向，還對的方法和模型進行了科學性分析，并做了與實際情形的對比，此外還對模型進行了優(yōu)缺點分析，并給出了模型的使用說A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小

4、MS大 MS4530334040324040333064445185444B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS303032303039303037203343383352明。一、問題的提出1. 背景2008 年奧運會的建設工作已經(jīng)進入全面設計和實施階段。奧運會期間，在比賽主場館的周邊地區(qū)需要建設由小型商亭構建的臨時商業(yè)網(wǎng)點，稱為迷你超市（Mini Supermarket, 以下記做 MS）網(wǎng)，以滿足觀眾、游客、等在奧運會期間的購物需求，主要經(jīng)營食品、奧運紀念品、旅游用品、文體用品和小日用品等。在比賽主場館周邊地區(qū)設置這種 MS，在地點、大小類型和總量方面有三個基本要求：

5、滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。2. 問題已知比賽主場館的規(guī)劃簡圖，如圖 1 所示，作為保留了與本問題有關的地區(qū)及相關部分：道路、圖的簡化，在圖中僅車站、地鐵站、出租車站、私車停車場、餐飲部門等,其中標有 A1-A10、B1-B6、C1-C4 的區(qū)域是規(guī)定的設計 MS 網(wǎng)點的 20 個商區(qū)。為簡化起見，假定國家體育場（鳥巢）容量為 10 萬人，國家體育館容量為 6 萬人，國家游泳中心（水立方）容量為 4 萬人。三個場館的每個看臺容量均為 1 萬人，出口對準一個商區(qū)，各商區(qū)面積相同。圖 1比賽主場館的規(guī)劃簡圖為了得到人流量的規(guī)律，一個可供選擇的方法，是在已經(jīng)建設好的某運動場通

6、過對預演的運動會的問卷，了解觀眾（購物主體）的出行和用餐的需求方式和購物。假設在某運動場舉辦了三次運動會，并通過對觀眾的問卷調查了相關數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在需要按以下步驟對圖 1 的 20 個商區(qū)設計 MS 網(wǎng)點：1根據(jù)問卷數(shù)據(jù)，找出觀眾在出行、用餐和購物等方面所反映的規(guī)律。2假定奧運會期間（指某一天）每位觀眾平均出行兩次，一次為進出場館，一次為餐飲，并且出行均采取最短路徑。依據(jù) 1 的結果，測算圖 2 中 20個商區(qū)的人流量分布（用百分比表示）。如果有兩種大小不同規(guī)模的 MS 類型供選擇，給出圖 2 中 20 個商區(qū)內 MS網(wǎng)點的設計方案（即每個商區(qū)內不同類型 MS 的個數(shù)），以滿足上述三個基本要求。闡

7、明方法的科學性，并說明結果是貼近實際的。二、問題的基本假設、名詞約定及符號說明1. 基本假設（amption）各個場館相互獨立，它們的看臺館都爆滿。一個觀眾某一天出行的路徑為“車站場館餐廳或商場場館車站”，所以從車站到場館之間的人流總量是從車站到場館之間的總人數(shù)的兩倍，從場館到餐廳或商場之間的人流總量是從場館到餐廳或商場的總人數(shù)的兩倍。同時也是出口，并且奧運會期間各場（3）對預演運動會的問卷及其消費水平。能夠反映運動會期間人流的實際分布情況MS 分布均衡是指各商區(qū)的 MS 的數(shù)量相等或近似相等。這是由于各商區(qū)的面積相等，顧客量近似相等，且 MS 分布均衡在整體上有助于體育館的美觀。每個商區(qū)內設

8、有“大小”兩種規(guī)則的 MS，并且相同型號的 MS 造價相同。各商區(qū)的 MS 的利率均相等，這是由市場宏觀調控決定的。（7）人們的消費2. 符號說明與其心理消費檔次和當前 MS 的利率有關。為了便于描述問題的表達和研究用一些符號來代替問題中涉及的一些基本變量，如表 1.所示。其他的一些變量將在文中陸續(xù)說明。表 1符號說明一覽表符號意義xii商區(qū)內小MS的個數(shù)個yia bc jc cNii商區(qū)內大MS的個數(shù)小 MS 的標準容量大 MS 的標準容量j檔的平均消費額小 MS 的造價大 MS 的造價 MS 的利率i商區(qū)一天內的總顧客數(shù)個人人元元元百分比人次3. 名詞約定MS 的標準容量：通常情況下 MS

9、 在一天內可以寬松接待的顧客總人次。潛在效益：建立 MS 網(wǎng)點潛在或長遠的收益。就業(yè)效益：建立 MS 網(wǎng)點在緩解社會就業(yè)壓力方面而產(chǎn)生的社會效益。商圈1 ：商圈也稱商勢圈，它是指MS 吸引游客的范圍，如某店能吸引多遠距離的游客來店購物，這一顧客到MS 的距離范圍，就稱為該 MS 的商圈。因此，現(xiàn)代市場把商圈定義為：在現(xiàn)代市場中，零售企業(yè)進行銷售活動的空間范圍，它是由消費者的行為和零售企業(yè)的經(jīng)營能力所決定的。（5）觀眾：在體育館比賽的所有人群。三、問題的分析與模型的準備通過對問題的分析發(fā)現(xiàn)確定每個商區(qū)內不同規(guī)模的 MS 的個數(shù)是研究的重點問題，而 MS 的設置應滿足奧運會期間的購物要求，分布基本

10、均衡和商業(yè)上贏利三個基本條件，但事實上除了要滿足以上三個基本條件，還要考慮一些其他方面的，如潛在的社會效益和這些 MS 在解決失業(yè)帶來的社會效益等。分析至再就業(yè)問題而此就可感覺到這道問題可以用目標規(guī)劃方法來建立問題求解的數(shù)學模型。進一步分析可知建立規(guī)劃模型需要知道 20 個商區(qū)的人流量分布，而人流量分布又可根據(jù)問卷反映的觀眾在出行、用餐和購物等方面反映的規(guī)律得到，于是就找到了求解問題的思路。1. 基本思路（1）根據(jù)問卷結果，分類統(tǒng)計出觀眾出行、用餐和消費檔次的規(guī)律，這主要包括經(jīng)過每個點的觀眾在總觀眾中的比率及這些觀眾中各消費檔次的人群在總人群中所占的比率。在滿足最短路原則的條件下，根據(jù)得到的規(guī)

11、律，按比例計算不同規(guī)模體育館周圍各點的人流量分布，確定經(jīng)過各商區(qū)的觀眾人次及其平均消費檔次。建立以 xi ， yi 為規(guī)劃變量的目標規(guī)劃模型，并求解之。分析模型求解的結果與實際情況的差別，如發(fā)現(xiàn)不妥，則進一步改進模型，以使其現(xiàn)實意義更大。有了以上的思路，現(xiàn)在來集中分析如何建立這個規(guī)劃模型。2. 基本數(shù)學表達式的構建（1）購物要求各商區(qū)首先應該滿足奧運會期間的購物需求，即一方面為觀眾提供方便的購物環(huán)境，另一方面增加商區(qū)的收益。用下式來描述購物需求關系：Ni xia yib tNii 1, 2, 20式中， a 為小 MS 的標準容量， b 為大 MS 的標準容量， t 表示一限制因子。該式的意義

12、是各商區(qū)的大小 MS 所能接納的標準顧客總和應大于等于該商區(qū)的總顧客數(shù)，同時也不能太大，以免資源浪費，對商區(qū)造成 影響，故用限制因子t 乘以 Ni 來限制。t 的值依據(jù)經(jīng)驗來確定，（2）分布均衡要求認為t =2。這里的分布均衡指各商區(qū)的 MS 的個數(shù)近似相等，也就是要求 20 個商區(qū)的個數(shù)的方差盡可能小，其數(shù)學表達式為：i20i20min : x y (x y ) / 202iiiii1i1（3）經(jīng)濟效益以各商區(qū)所有 MS 的總利潤為研究對象，利潤應與總銷售額與利率有關，此外，還應考慮各 MS 的折舊費用，應盡量讓利潤最大，以提高 MS 的經(jīng)濟效益，于是得到利潤最大化的數(shù)學表達式：j6i20M

13、ax : profit (nijc jxic yic)i1j1式中表示率， c,c表示小和大兩種規(guī)模 MS 的折舊費用。（4）潛在效益建立任何商業(yè)設施都應考慮當前的收益和潛在的收益，包括顧客對該項服務的滿意程度和因此而引起的潛在收益。這里用潛在效益來描述 MS 這些方面的社會效益，且這主要由顧客的滿意程度決定。顧客的滿意度主要與 MS 的利率 有關，并認為當 =0 時，滿意度最大，其值為 1，為此結合顧客的平均消費水平，及顧客的消費心理特征構建了如下的潛在效益的數(shù)學表達式： underlyingbenefit 2 ecj / r其中， cj picj 為（5）就業(yè)效益當前就業(yè)問題已是比較嚴重的

14、社會問題，如果多設一個 MS，就會相應地增加就業(yè)機會，從而有助于緩解緊張的就業(yè)壓力，單從這個角度講應該是多設置一些 MS 點。 用下式來表達所有 MS 的就業(yè)效益。20平均消費水平， r 為修正因子。obtainemploymentbenefit s (xic yid )i1式中 s 為一個人就業(yè)的社會效益值， c ， d 分別為的個數(shù)。3. 商區(qū)內 MS 布局的原則MS 可提供的就業(yè)崗位商區(qū)內 MS 布局的設計可以參照零售引力法則。零售引力法則也稱則，是由總結的，其中心觀點是：“具有零售中心的兩個城市，從位于它們中間的某一分界點處，所吸引的交易量與各自城市的而與分界點到市場距離的自乘成反比例

15、?！逼鋽?shù)學表達式如下：比例，DxyD yP1 xPy式中， Dy 表示 x, y 兩城市間的分界點 D 區(qū)距 y 市的距離， Dxy 為兩城市之間的距離， Px 為 x 城市（數(shù)， Py 為 y 城市（多的城市）的少的城市）的數(shù)。研究與研究不是完全相同，但有相似的地方。通過比較發(fā)現(xiàn)，多的城市相當于大 MS，其數(shù)相當于大 MS 的標準容量，少的城市相當MS，其數(shù)相當于小 MS 的標準容量。對上式進行改進，得到適用于本題的則：DxyD yb 1 a 此時， Dy 表示小 MS 的商圈半徑。以上表達式純粹是從空間距離上理解商圈的概念，這對于確定商區(qū)內各MS 的選址和布局是有利的，但也可以把商圈理解為

16、 MS 在人群中的覆蓋范圍，這反映了 MS 對人們的，這種既包括距離（空間商圈），又包太多，問題的復雜度括消費者對 MS 的傾向性和認同感。因為這樣考慮涉及變大，而又對研究 MS 的選址和布局的意義不大，所以這里不再具體考圈的意義，事實上給出的 MS 的標準容量也在一定程度上反映了慮人群商圈這層次的含義。MS 的選址和布局除了根據(jù)MS 分布不宜過度集中。銷售異型商品的 MS 可以則以外，還要考慮一些其他方面的：，這種MS 間不會產(chǎn)生競爭，而回對 MS帶來更強的市場。3）有補充關系的 MS 可以，所謂補充關系是指兩個以上的 MS 經(jīng)營的商品互相補充，以滿足消費者的要求作為目的。這是種多功能的，有

17、利于產(chǎn)生放大的效應，從而有效地擴大該商區(qū)的購物與服務商圈。四、各商區(qū)人流量分布規(guī)律的研究1. 觀眾出行、用餐、購物的規(guī)律為了研究問題的方便，稱，如下所述：為各個車站、餐廳、商場以及場館賦予了新的名a.東站記為站 1，西站記為站 2，私車站記為站 3，地鐵東站記為站 4，地鐵西站記為站 5，出租車站記為站 6，站 8；南站記為站 7，北站記為b.西餐廳記為廳 1，中餐廳記為廳 2，商場（餐飲）記為廳 3；c.A 區(qū)國家體育場（鳥巢）記為場 1，B 區(qū)國家體育館記為場 2，C 區(qū)國家游泳中心（水立方）記為場 3，A 區(qū)的北通道記為道 1，A 區(qū)的南通道記為道2，B 區(qū)的北通道記為道 3，B 區(qū)的南

18、通道記為道 4，C 區(qū)的北通道記為道 5，C 區(qū)的南通道記為道 6。問題一主要要求統(tǒng)計題目中給出的問卷數(shù)據(jù)，從而找出能夠反映觀眾在出行、用餐和購物等方面所反映的規(guī)律。在此過程中，下兩條結論：首先總結出了以結論 1（互斥性）：從數(shù)據(jù)庫表格中，發(fā)現(xiàn)一個觀眾只能選擇多種用餐方式中的一種用餐方式，多種出行方式中的一種出行方式和多種消費檔次中的一種消費檔次?；コ庑噪m然對問題的解決沒有幫助，但是它卻能夠檢驗數(shù)據(jù)的正確性，因為互斥事物的百分數(shù)之和一般為 100%，這個結論查詢得到，不需要證明?？梢酝ㄟ^數(shù)據(jù)的結論 2（穩(wěn)定性）：從數(shù)據(jù)庫表格中，還發(fā)現(xiàn)一條重要的規(guī)律，那就是數(shù)據(jù)所占比例的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性的存在并不

19、是偶然的，雖然無法證明，但是它早已成為一種經(jīng)驗理論了。在題目的數(shù)據(jù)庫中發(fā)現(xiàn)了很多類似現(xiàn)象的存在，它的存在使比例系數(shù)。下面性的研究大大簡化，因為解決穩(wěn)定性問題的最終目標就是找到那些首先來研究這些數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，然后再來尋找那些比例系數(shù)。穩(wěn)定主要采取的是圖象比較法。一般情況下，這類問題比例系數(shù)的尋找是采用均值法，所以也采取均值法。（1）從場館到各個車站的觀眾數(shù)量/場館觀眾的數(shù)量=恒定值。對數(shù)據(jù)庫中表示觀眾出行的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得到如表 2 所示的結果，它們對應的圖象如圖 2 所示。表 2 從場館到各個車站的觀眾數(shù)量和其占場館觀眾數(shù)量的百分比（三次）第一次數(shù)量 6125986803086456573500

20、百分比第二次數(shù)量 5385585952946056103200百分比第三次數(shù)量 6246727353567567573900百分比南北）東西）出租私車地鐵（東）地鐵（西）匯總17.4857%17.0857%19.4286%8.8%18.4286%18.7714%100%16.8125%17.4375%18.5938%9.1875%18.9063%19.0625%100%16.0000%17.2308%18.8462%9.1282%19.3846%19.4103%100%圖 2 從場館到各個車站的觀眾數(shù)量占場館觀眾數(shù)量的百分比圖（三次）通過對圖 2 的觀察，發(fā)現(xiàn)三次的百分比基本是重合的，所以認為

21、“從場館到各個車站的觀眾數(shù)量/場館觀眾的數(shù)量=恒定值”。通過均值法求解的百分比矩陣如下：k0,01,0k0,11,19.04%18.91%19.08%18.96%k0,21,2kkk 9.04%9.04% k 18.91%18.91%19.08%19.08%18.96%18.96%kkk6,06,16,2k7,0k7,1 17.25%k7,2其中 k0,0 k1,0 k0,1 k1,1 k0,2 k1,2j 1到站i 1 的， k 的含義是從場ki , jk k k kk 16.77%6,07,06,17,16,27,2觀眾數(shù)量占場 j 1觀眾總量的百分比。（2）從場館到各個餐廳或商場的觀眾數(shù)

22、量/場館觀眾的數(shù)量=恒定值的情況。 對數(shù)據(jù)庫中表示觀眾餐飲或和購物的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得到如表 3 所示的結果，它們對應的圖象如圖 3 所示。表 3 從場館到各個餐廳或商場的觀眾數(shù)量和其占場館觀眾數(shù)量的百分比（三次）25.00%25.00%20.00%20.00%15.00%15.00%10.00%10.00%5.00%5.00%0.00%0.00%123456出行方式第一次第二次第三次第一次數(shù)量 78318378803500百分比第二次數(shù)量 72416728043200百分比第三次數(shù)量 87520589673900百分比中餐西餐商場（餐飲）匯總22.3714286%52.4857143%25.14

23、28571%100%22.625%52.25%25.125%100%22.4358974%52.7692308%24.7948718%100%圖 3 從場館到各個餐廳或商場的觀眾數(shù)量占場館觀眾數(shù)量的百分比圖（三次調查）通過對圖 3 的觀察發(fā)現(xiàn)，三次的百分比基本是相同的，所以認為“從場館到各個餐廳或商場的觀眾數(shù)量/場館觀眾的數(shù)量=恒定值”。通過均值法求解的百分比矩陣如下：52.50%52.50%52.50%p 22.48%22.48%22.48%25.02%25.02%25.02%j 1到廳 k 1 的觀眾數(shù)量占場 j 1觀眾總量的百分比。其中 pk , j 表示從場（3）從場館到各個車站、餐廳

24、或商場的觀眾數(shù)量中各種消費檔次的觀眾所占的比例是恒定值它的數(shù)據(jù)庫查詢結果和百分比計算結果如附錄一（表 1表 6）所示。附錄表 2、4、6 的圖形化如圖 4 所示。統(tǒng)計的次數(shù)中餐百分比西餐百分比商場百分比圖 4 從場館到各個車站、餐廳或商場的觀眾數(shù)量中各種消費檔次的觀眾所占的比例（三次）通過對圖 4 的觀察發(fā)現(xiàn)，三次的百分比圖基本是相同的，所以認為“從場館到各個車站、餐廳或商場的觀眾數(shù)量中各種消費檔次的觀眾所占的比例是恒定值”。通過均值法求解的系數(shù)表如表 4 所示。表 4 從場館到各個車站、餐廳或商場的觀眾數(shù)量中各種消費檔次的觀眾所占的百分比系數(shù)表檔次 12.9723%3.2757%3.5374

25、%1.7434%3.9149%4.0063%4.8739%8.9016%5.6745%檔次 23.8522%4.6591%4.5692%2.1502%4.7695%4.8093%6.6435%11.994%6.1720%檔次 37.3061%7.1151%8.2982%4.0205%8.6664%8.6468%9.3024%24.892%9.8585%檔次 41.6556%1.6906%2.1886%0.9899%1.3288%1.3666%1.4772%5.5831%2.1501%檔次 50.5630%0.3532%0.2203%0.0588%0.1595%0.1451%0.1215%0.8

26、040%0.5745%檔次 60.4169%0.1577%0.1425%0.0854%0.0674%0.1073%0.0589%0.3267%0.5915%匯總(南北)(東西)出租私車 地鐵(東)地鐵(西)中餐 西餐商場(餐飲)100%100%2. 商區(qū)的人流量分布首先對題目中的“出行均采取最短路徑”給出自己的理解，這個理解同時也是以后在計算 20 個商區(qū)的人流量分布時進行“等概率假設”的原因。觀眾在運動會期間某一天的行走路徑為“車站場館餐廳或商場場館車站”，其中觀眾在場館的行走路徑為“場館通道商區(qū)場館看臺商區(qū)場館通道”，那么為了使總路徑最短，須使觀眾在場館的行走路徑與“車站場館餐廳或商場場館

27、車站”路徑之和最短。但是經(jīng)過對題目中給出的奧運場館平面圖的比例分析，發(fā)現(xiàn)觀眾在場館的行走路徑相對于“車站場館餐廳或商場場館車站”來說是比較小的，所以可以只先考慮觀眾在場館外部的行走路徑的長度。經(jīng)過上面對最短路徑的描述通過對人行道距離的換算比較找到了各個車站、餐廳或商場到各個場館的最短路徑，具體情況如下所述：丙（A 區(qū)）甲（C 區(qū)）區(qū)）圖 5 各個車站、餐廳以及商場距離場館的最短路徑簡化圖乙（Ba.各個車站、餐廳以及商場距離國家體育場（鳥巢）的最短距離如圖 5（丙）中紅線所示，具體陳述如下：從東站、西站、私車站、出租車站下車的觀眾從 A 區(qū)的北通道進入；從地鐵東站、地鐵西站、入；南站、北站下車的

28、觀眾從 A 區(qū)的南通道進觀眾通過 A 區(qū)的北通道去中餐廳，通過 A 區(qū)的南通道去西餐廳，而去商場的觀眾有可能通過 A 區(qū)的北通道，也有可能通過A 區(qū)的南通道。b.各個車站、餐廳以及商場距離國家體育館的最短距離如圖 5（乙）中紅線所示，具體陳述如下：從東站、西站、私車站、出租車站下車的觀眾從 B 區(qū)的北通道進入；從地鐵東站、地鐵西站、入；南站、北站下車的觀眾從 B 區(qū)的南通道進觀眾通過 B 區(qū)的北通道去中餐廳，通過B 區(qū)的南通道去西餐廳或商場。c.各個車站、餐廳以及商場距離國家游泳中心（水立方）的最短距離如圖 5（甲）中紅線所示，具體陳述如下：從東站、西站、出租車站下車的觀眾從C 區(qū)的北通道進入

29、，而從私車站下車的觀眾有可能從 C 區(qū)的北通道進入，也有可能從 C 區(qū)的南通道進入；從地鐵東站、地鐵西站、入；南站、北站下車的觀眾從 C 區(qū)的南通道進所有的觀眾都通過 C 區(qū)的南通道去中餐廳、西餐廳或商場。在上面描述最短路徑的三點中，可以發(fā)現(xiàn)“去商場的觀眾有可能通過 A區(qū)的北通道，也有可能通過 A 區(qū)的南通道”和“從私車站下車的觀眾有可能從 C區(qū)的北通道進入，也有可能從 C 區(qū)的南通道進入”兩條“可能”“也有可能”之類的語句，這兩句話都是在選擇最短路徑的過程中產(chǎn)生的，產(chǎn)生的根本原因是場館觀眾的行走路徑對最短路徑的選擇產(chǎn)生了影響，不可忽略。具體說來就是當觀眾處于場館內不同的看臺位置時，他們的最短

30、路徑是不同的。如果暫時撇開上述兩句“可能”“也有可能”的話，那么就可以做出“從某個場館通道進入的觀眾進入場館各個看臺的概率是相同的”的假設，因為，無論觀眾進入哪個看臺，其總路徑都是最短的。經(jīng)過上述的分析建立了觀眾從車站到場館的出行矩陣：111000013 50111110010000011011111 2 00100001 211011a 25100其中 ai, j 表示從站i +1 下車轉移到道 j +1 的觀眾占從站i +1 下車轉移到場( j 1) 2 的觀眾的比例。比如說， a0,0 =1 表示所有從站 1 下車的觀眾都是通過道 1 進入到場 1 的。其中 a4,0 =2/5， a4,

31、1 =3/5 等非 0 且非 1 值都是應證了“可能”（概率為 2/5）“有可能（概率為 3/5）”的語句。接著，建立了觀眾從餐廳或商場到場館的出行矩陣：0103 50101010001b 112 51其中bk , j 表示從廳 k +1 出來轉移到道 j +1 的觀眾占從廳k +1 出來轉移到場( j 1) 2 的觀眾的比例。比如說， b0,0 =0 表示沒有從廳 1 出來通過道 1 從而到達場 1 的觀眾。其中， b2,0 =2/5 等非 0 且非 1 值也是同樣的應證了“可能”“有可能”的語句。再進一步的來建立人流總量矩陣：CA k0,0CB k0,1CC k0,2 CkC kC kC1

32、,2 A1,0B1,1CA k2,0CB k2,1CC k2,2 C pC pC pCkC kC kA0,0B0,1C0,2 c A3,0B3,1C3,2e C pC pC pCkC kC kA1,0B1,1C1,2CA4,0B4,1C4,2 pC pC pC2,2 C kC kC kA2,0B2,1A5,0B5,1C5,2CkC kC kC6,2 A6,0B6,1CA k7,0CB k7,1CC k7,2 其中， ci, j 表示從站i +1 轉移到場 j +1 的人數(shù)， ek , j 表示從廳 k +1 轉移到場 j +1把上述 c 矩陣擴充成ci ,2 ，把上述e 矩陣擴充成的人數(shù)。由于

33、解題需要，d ci ,0ci ,0ci ,1ci ,1ci ,2f ek ,0ek,0ek,1ek,1ek ,2ek ,2 建立的這兩個擴充流量矩陣沒特殊的意義，所以也就不需要為了解題的方便。大費周章的去解釋什么，它的建立，只是純粹的上述矩陣的建立是解決第二個問題的基石，有了基石模型就不會，所以現(xiàn)在首先根據(jù)就來建立第二題的模型。建立的矩陣來計算進入各個通道人數(shù)的表達式為：7n入，j (ai, j di, j )i 0式中 n入，j 表示進入道 j +1 的人數(shù)， ai, j 表示從站i +1.車轉移到道 j +1 的觀眾占從站 i +1 下車轉移到場 ( j 1) 2 的觀眾的比例， di,

34、j 表示從站 i +1 轉移到場( j 1)2 的人數(shù)，其中 表示向上取整。n入，1 CA (k0,0 k1,0 k2,0 2 5 k4,0 k5,0 )n C (k 3 5 kkk)入，2A3,04,06,07,0n C (k k k k )具體為B0,11,12,15,1入，3n C (k k k k)入，4B3,14,16,17,1n C (k k1 2 kk)入，5C0,21,22,25,2n入，6 CC (12 k2,2 k3,2 k4,2 k6,2 k7,2 )走出各個通道的人數(shù)計算的表達式為：2n出，j (bk , j fk , j )k 0式中 n出，j 表示走出道 j +1

35、的人數(shù)， bk , j 表示從廳 k +1 出來轉移到道 j +1 的觀眾占從廳 k +1 出來轉移到場 ( j 1) 2 的觀眾的比例， fk , j 表示從廳k +1 轉移到場 ( j 1) 2 的人數(shù)。 CA ( p1,0 2 5 p2,0 )n出，1n C ( p 3 5 p)出，2A0,02,0n C p具體為出，3B1,1n C ( p p )B0,12,1出，4n 0 CC ( p0,2 p1,2 p2,2 )出，5n出，6雖然已經(jīng)能夠計算出 n入，j 和 n出，j 了，但是經(jīng)過各個通道的總人數(shù)并沒有被完全求解出來，能夠被完全求解出來的只有 B 區(qū)。這是因為，觀眾可以連續(xù)的經(jīng)過幾

36、個通道，譬如圖 5（甲）中，觀眾連續(xù)的經(jīng)過了通道 2，通道 1 和通道 6，正是因為這種情況的存在，才導致了其它區(qū)通道的總人數(shù)沒有被完全求解出來。所以就應該再列出路過各個通道的人數(shù)計算的表達式：n路，1 CC (k3,2 k6,2 k7,2 )n C (kkk)路，2C3,26,27,2n 2 5C (kp) 路，3A4,02,0n 2 0 05 C (kp)路，4A4,02,0n路，5n路，6于是便得到了計算經(jīng)過各個通道總人數(shù)的表達式n總，j = n入，j n出，j n路，j 。研究了通過各個場館南、北通道的總觀眾人數(shù)以后，接下來是“游客是怎樣從南北通道經(jīng)過各個商區(qū)從而進入對應看臺的需要分析

37、的的”。為此，做出“從某個場館通道進入的觀眾進入場館各個看臺的概率是相同的”的假設（文已經(jīng)分析過它的局限性，只要稍加分類，利用這個假設，是的）其中下文中的 pA 1 10 ， pB 1 6 ， pC 1 4 。能夠很好的解決下面為了簡化例：，做出了幾條更重要的假設，陳述如下，以 C 區(qū)為a.游客從C 區(qū)北通道進入時，如果游客進入 C1 看臺，那么游客必經(jīng)過C1，C2 商區(qū)。如果游客進入 C2 看臺，那么游客必經(jīng)過 C2 商區(qū)。如果游客進入 C3 看臺，那么游客必經(jīng)過 C2，C3 商區(qū)，如果游客進入C4 看臺，那么游客要么經(jīng)過 C2、C1、C4 商區(qū)，要么經(jīng)過 C2、C3、C4 商區(qū)。b.游客從

38、C 區(qū)南大門進入時，如果游客進入 C1 看臺，那么游客必經(jīng)過C1，C4 商區(qū)。如果游客進入C2 看臺，那么游客要么經(jīng)過C4，C1，C2商區(qū)，要么經(jīng)過 C4，C3，C2 商區(qū)。如果游客進入C3 看臺，那么游客必經(jīng)過 C4，C3 商區(qū)。如果游客進入C4 看臺，那么游客必經(jīng)過C4 商區(qū)。同理 A 區(qū)和 C 區(qū)也如此假設。由以上的整個推導過程可以給出以下計算各個商區(qū)人數(shù)的表達式： 3 2 pB n總 5 2 pB n總，4 5 2 p n 3 2 p nB總pB n總，4B總，4 n總B 區(qū)各個商區(qū)經(jīng)過的人數(shù)為 5 2 p n 3 2 p nB總B總，4 3 2 pB n總 5 2 pB n總，4 p

39、B n總，3 n總，4C 區(qū)各個商區(qū)經(jīng)過的人數(shù)為2 pC (n總，5 C1 3 C k2,2C2 n總，5 pC C k2,2C3 3 2 pC (n總，5 C k2,2C np n1 2 Ck (1 p )4總，6C總，5C2,2CA 區(qū)各個商區(qū)經(jīng)過的人數(shù)為 A1 npA A (k4,0 p2,0 )總，1 A2 9 p n 3 2 pA A (k4,0 p2,0 )2 A總，1 A 7 2 p n 5 2 p (kp)3AAA4,02,0總，1總， A 5 2 p n 7 2 p (kp)AAA4,02,04總，1 A5 3 2 pA n 9 總，12 pA A (k4,0 p2,0 )

40、A p n(kp)6AA4,02,0總，1總， A 3 2 p n 9 2 p (kp)7AAA4,02,0總，1 A 5 2 p n 7 2 p (k p)8AAA4,02,0總，1總， A9 9 2 pA n 3 2 pA A (k4,0 p2,0 )A (k4,0 p2,0 )能夠計算出各個商區(qū)的總人流量（總總，1A 9 2 pA n 3 2 pA 10總，1得到各個商區(qū)經(jīng)過的總人數(shù)以后，人流量是總人數(shù)的 2 倍），再根據(jù)在問題一中得到的兩個結論，尤其是穩(wěn)定性結論，就能用表 7 所示。計算出各個商區(qū)不同檔次的人流量，如表 5，表 6，表 5 A 場館周圍各個商區(qū) 6 種不同消費水平的人流

41、量分布（百分比）A場 館 商區(qū) 12345678910檔次 1檔次 2檔次 3檔次 4檔次 5檔次 6匯總1.56330%0.78792%0.80718%0.90543%1.00360%1.89450%0.92465%0.82640%0.80718%0.86691%2.0255%1.0319%1.0531%1.1638%1.2746%2.3952%1.1850%1.0742%1.0531%1.1215%3.3346%1.7586%1.8575%2.1075%2.3575%4.5274%2.2065%1.9565%1.8575%1.9096%0.71232%0.37636%0.39447%0.4

42、4131%0.48811%0.93285%0.45943%0.41259%0.39447%0.40504%0.099801%0.054593%0.060917%0.073076%0.085276%0.168310%0.079400%0.067200%0.060917%0.060468%0.067282%0.033539%0.036518%0.045208%0.053899%0.105590%0.048228%0.039496%0.036518%0.039251%7.80%4.04%4.21%4.74%5.26%10.02%4.90%4.38%4.21%4.40%表 6 B 場館周圍各個商區(qū) 6

43、 種不同消費水平的人流量分布（百分比）B場 館 商區(qū) 123456123456匯總1.00000%0.90176%1.18140%0.90176%1.00000%1.67260%1.2236%1.1129%1.4987%1.1129%1.2236%2.0526%2.1670%1.9170%2.4955%1.9170%2.1670%3.7454%0.43899%0.39219%0.52414%0.39219%0.43899%0.75826%0.078543%0.066344%0.078747%0.066344%0.078543%0.139620%0.059040%0.050349%0.05687

44、8%0.050349%0.059040%0.100370%4.97%4.44%5.84%4.44%4.97%8.47%表 7 C 場館周圍各個商區(qū) 6 種不同消費水平的人流量分布（百分比）C場 檔次 1檔次 2檔次 3檔次 4檔次 5檔次 6匯總館 商區(qū) 12340.46906%0.49847%1.06030%0.48326%0.5986%0.64838%1.34110%0.61615%1.0621%1.1291%2.4002%1.0949%0.22155%0.25346%0.48240%0.22963%0.036477%0.039006%0.082460%0.036966%0.023583%

45、0.023991%0.054348%0.024277%2.41%2.59%5.42%2.49%五、設置MS 網(wǎng)點數(shù)學模型的建立與求解1. 模型的建立通過以上的分析知道對商區(qū)內 MS 網(wǎng)點的設計有多個目標和多個限制條件，為便于建立一個規(guī)劃模型，現(xiàn)在首先來確定問題所涉及的幾個目標函數(shù)。在對問題的分析中，已構建了幾個描述問題目標和限制條件的數(shù)學表達式，很容易發(fā)現(xiàn)設置 MS 網(wǎng)點的經(jīng)濟效益、潛在效益和就業(yè)效益可以作為目標函數(shù)，而且三個目標函數(shù)都要求最大化，即目標函數(shù)分別為：j6i20Max : profit ( nijc j xicyic )i1j120Max : obtainemploymentbe

46、nefit S (xic yid )i1先用偏系數(shù)多目標不利于問題的求解，于是化為單目標問題，其表達式為：法將多目標問題轉 j6i20i20max : F k ( n c x c y c) k (1 ecj / r ) k S (x c y d )ij jiiii123i1j1i1這里目標函數(shù) F 綜合體現(xiàn)了經(jīng)濟效益、潛在效益和就業(yè)效益，稱之為綜合效益。這里 k1, k2和k3 有兩方面的含義，一是作為偏系數(shù)，同時它們也充當系數(shù)的作用，以保證經(jīng)濟效益、潛在效益和就業(yè)效益三個目標函數(shù)的量化值在數(shù)值上近似相等。至此建立了以下的單目標規(guī)劃模型：關于約束條件的說明：1）條件（1）（2）是為了分別滿足觀

47、眾的購物需求和各商區(qū) MS 分布均勻的要求，這里引入了一個限制方差上限的 I 以調節(jié)各商區(qū) MS 分布的均勻程度， I 值越大，表明對 MS 分布均勻程度的限制越寬松， I 越小則對這種均勻程度要求越高，特殊的是當 I 為 0 時表明各商區(qū)的 MS 數(shù)必須相當?？紤]實際情況，盡管各商區(qū)的面積都相等，但由于地理、交通等，各商區(qū)的商圈還是有點不同，正如題目要求的各商區(qū)的 MS 分布只是基本均衡。條件（5）（6）是為了給出各商區(qū)內大小兩種 MS 數(shù)量的上限，以便于計算機求解。條件（7）給出了兩種 MS 數(shù)量的比例關系，所以給出了它們比例的上下限。一般來講，一個商區(qū)內的小 MS 的數(shù)量都要比大 MS

48、的數(shù)量大，所以讓b1 1，同時這種比例也不宜太大，所以定這個上限b2 10 。2. 模型的求解（1）模型求解的理論分析該模型是一個多變量非線性單目標規(guī)劃模型，模型是否有解主要取決于限制條件。分析模型的限制條件會發(fā)現(xiàn)（1）和（2）了兩個方程多個解的二元方程組，而其他的一些約束條件則在一定程度上限定了一些解，再由目標函數(shù)則可很快找到最優(yōu)解，基于這樣的分析（2）問題中一些參數(shù)的確定k1, k2 , k3和S認為該模型有相對最優(yōu)解。k1, k2 , k3 分別為經(jīng)濟效益、潛在效益和就業(yè)效益的因子，這三個子目標函數(shù)中經(jīng)濟效益最重要，而且它有明確意義的數(shù)值概念，即是以收入的貨幣（元）來衡量的，所以學表達式

49、可以發(fā)現(xiàn)當潛在效益和就業(yè)效益也轉化為經(jīng)濟效益。由潛在效益的數(shù)率為定值時，潛在效益也為定值，潛在效益僅是率的函數(shù)，這樣為了便于問題的求解，就令 k2 0 ，需要的說明的是這不是說對潛在效益不重視，只是僅為了便于問題的求解。個人的就業(yè)效益值可以他的工資來衡量，并認為一位100 元，即S=100 。此時可以簡便地令 k1 k3 1。和r各商區(qū)各 MS 的率 應該相等， 值大 MS 的一天的工資為額就高，但 值過大效應，暫且規(guī)定 10% 。會產(chǎn)生很多 c / r根據(jù)已統(tǒng)計的結果可以很快計算出cj 202 ，當 1時令 2 e j 0 ，即可解得r=140。a,b,c和d基于對附近小 MS 每天人流量的

50、和體育館周邊商區(qū)的商圈大小，我們認為小 MS 的標準容量 a 1000 ，大 MS 的標準容量 b 8000 ，小 MS 可以提供的就業(yè)崗位c 20 ，大 MS 可以提供的就業(yè)崗位 d 100 。c和cMS 的天折舊費用，考慮實際情況，暫令 c 10000,這兩個參數(shù)分別為c 200000。（3）模型求解的結果通過分析可以知道，該模型是一個非線性整數(shù)規(guī)劃問題。其中，約束條件(3)、 (4)要求 a xi Ni 和b yi Ni ，這和約束條件(1) Ni a xi b yi 在一定程度上是的，導致大大縮小了解空間；約束條件(2)要求各商區(qū) MS 總數(shù)的方差要在一定范圍內，但是由于各商區(qū)的總人流

51、量不等，最大的是 278096，最小的僅 60000，因此要同時滿足約束條件(1)、(2)，解空間就會變得很不規(guī)則，所以這個問題的求解是比較在實際求解中，找到最優(yōu)解非常的。采用的是 LINGO，通過幾次程序運行發(fā)現(xiàn)，要，有時需要連續(xù)計算一個以上，而找到可行解則花費的時間比較少，并且迭代一段時間之后，目標函數(shù)值僅在一個較小的區(qū)域內發(fā)生變化，并且和最優(yōu)的目標函數(shù)值相差無幾，通過中斷求解過程發(fā)現(xiàn)這時的解和最優(yōu)解差別也不大，所以認為采用得到可行解后迭代至目標函數(shù)變化不明顯時的解來代替最優(yōu)解是合理的，可以接受的。下面一小部分解及目標函數(shù)值就是在這種情況下得到的。k1 1 ， k3 1， c 10000,

52、首先在一組假設的初始條件：a=1000,b=8000,c 200000 ，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =800，t=1.5， b 1， b 6 下12求得的最優(yōu)解見表 8。表 8 MS 網(wǎng)點設計布局方案表為了給出一種比較好的 MS 網(wǎng)絡設計方案，對幾個重要參數(shù)t、cb、b2 ，分別賦予不同的值求解以進行比較，比較的結果見下圖：圖 6 目標函數(shù)值對不同參數(shù)的靈敏度圖(注：雖然這幾張圖的趨勢還在不斷上升中，但出于符合實際情況的考慮，僅把參數(shù)限制在這樣的范圍內，不再擴大調整范圍。)從上圖可知，幾種變化趨勢大體上都是目標函數(shù)值隨自變量增加而增加的。選擇使目標函數(shù)最大的一組參數(shù) a

53、=2000,b=12000, k1 1 ， k3 1 ，所以，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小 MS大 MS663842476047604742371289101029101098B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS34354436346130305330768671455105c 10000, c 200000，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =1024，t=2， b 1，1b2 10 ，對應的最優(yōu)解見表 9。表 9 目標函數(shù)值最大時是對應的MS 設置方案六、MS 網(wǎng)點設置定義 1：以各商區(qū)的大小兩種 MS 的數(shù)量A (xi , yi )

54、 i 1, 2, 20定義 2：以下條件統(tǒng)稱為商區(qū)設置條件：Ni xia yib tNi的建立的集合稱之為商區(qū)設置集合，即2i20(xi yi ) i10 xy i1 I ii20 i1 x , y 0ii定義 3：滿足商區(qū)設置條件的商區(qū)設置集合稱為商區(qū)設置的解集（解空間），即：s (xi , yi ),i 1, 2, 20 (xi , yi )滿足商區(qū)設置條件解空間中使目標函數(shù)最大的解稱為最優(yōu)解集。引理 1：商區(qū)的人流密度與人們消費檔次的密度態(tài)分布。引理 2：最優(yōu)解集具有固定性，不具有對稱性和輪換性，當且僅當各商區(qū)的所有，主要是人流密度相同時，此時的具有對稱性和輪換性。證明：假設解集 x1，

55、y1 x2，y2 是以下規(guī)劃函數(shù)的最優(yōu)解：maxn1c x1c y1c n2c x2c y2cx1a y1b n1s.t x2a y2b n2n n 12對上述目標函數(shù)的解作輪換后，假如可行，那么目標函數(shù)值不變，則有：A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小 MS大 MS4530334040324040333064445185444B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS303032303039303037203343383352x1a y1b n1x a y b n222此時會有（a x2 x1） （b y2 y1） 0（a x1 x2） （b y1 y2） 0于是得

56、到x2 x1 ， y2 y1這就意味著原解集中的解都相等。所以當這些解不相等時，這種輪換是不合理的。引理 3：若小 MS 的標準容量為 a ，大商圈的標準容量為b ，則大小 MS 商圈的b半徑之比為。a3 則知，小 MS 的商圈半徑為證明：由DxyD xba1 則大 MS 的商圈半徑為baD1xyD D（1 ）yxybaba1 1 則Dx Dyba根據(jù) MS 職能及分布規(guī)律，可對 MS 進行性質上的分類。定義 4：全能 MS 是指那些經(jīng)營商品類型齊全，品種多的 MS，用U 表示。定義 5：互補 MS 指 MS 具有互補性的兩個或多個無競爭 MS，用V 表示。定義 6：互斥 MS 指商品相同或相

57、近的兩個或多個具有競爭性的 MS，用W 表示。引理 4：設Ui ，Vi ，Wi ， i 1，2，分別表示一個商區(qū)內全能、互補、互斥 MS 的商圈半徑， D（A，B）表示 A、B 兩 MS 的圓心距。則合理的商圈布置的充要條件是：2Ui d Ui，Uj 2Vi d Vi，Vj d Wi，Wj 2WiUi Vi d Ui，Vi Ui d Ui，Wi WiV W d V，W iiii以上的引理是基于 MS 的布局原理而得到的，椐此引理還到以下幾個推論。推論 1：同性 MS 必為互斥 MS。大 MS 一般經(jīng)營商品的品種齊全，所以大 MS 都為全能 MS，為此得到推論2。推論 2：大 MS 必為互斥 M

58、S，大小 MS 必為互斥 MS，小 MS 間既可以是互補MS，也可以是互斥 MS。引理 5：商區(qū)內 MS 布局的最優(yōu)方案應滿足所有大 MS 的間距盡可能大，它們的商圈無重合；大 MS 和小 MS 的商圈無重合；小 MS 的商圈可以有一定程度的重合。引理 6：最優(yōu)的布局中，各大 MS 的空間距離及圓心間的距離相等。證明：現(xiàn)設某商區(qū)的總商圈大小為 s ，由于大商圈的商圈規(guī)劃在很大程度上體現(xiàn)了整個商圈的規(guī)劃水平，所以忽略小 MS 的存在，假定商區(qū)各大 MS 的商圈為 si ，則有都是大 MS，設si由重要不等式得 sin當且僅當 s1 s2 sn 時等式才成立。由于幾何平均值可以表示各 MS 的綜合

59、效益，所以當各值相等，也就是各大 MS 的商圈效益最大，此時商區(qū)內任何兩個大 MS 的圓心距都相等。相等時，各大 MS 的綜合七、商區(qū)布局規(guī)劃的數(shù)學模型1. 模型的建立基于以上的理論發(fā)現(xiàn)對商區(qū)內 MS 的布局也可以建立規(guī)劃模型來求解。設長方形商區(qū)的長為l ，寬為l ，且以長方形的左下角為圓心建立坐標系，并記 MS 的圓心坐標為 （li，li），如圖 7 所示?，F(xiàn)在問題可簡述為在如圖 7 的長方形區(qū)域內，有 xi 個半徑為 r 的小圓，有 yi個半徑為 R 的大圓，現(xiàn)將這些圓放在長方形區(qū)域內，使各大圓之間的圓心距近似相等且盡可能地大，且使小圓與大圓之間無重合。圖 7商區(qū)布局示意圖定義：l2 il

60、 l l l 2 iil l l l 2 i222l l lg y1y2y1y2y1y3y1y3y2y3y2y3以 g 為目標函數(shù)的好處是既滿足各大圓之間的圓心距近似相等也滿足讓它以 g 的最大為目標函數(shù)建立以下的規(guī)劃模型：們都盡可能地大，所以max：gR lyi l RR l l Ryir l l rxis.t r lyi l rl l l l 2R，i j22yiyjyiyjl l l l R F22xiyjxiyj2. 模型的求解方案一：有的模擬退火算法在本方案中，為了簡化問題，首先僅考慮大商圈的布局問題，之后可以根據(jù)小商店所經(jīng)營的商品類型在與大商圈相切的進行安排，以滿足適度的聚集放大效