小學(xué)生找出“較復(fù)雜圖形中線段”的解題策略研究

1、PAGE 1PAGE 10小學(xué)生找找出“較復(fù)雜雜圖形中中線段”的解題題策略研研究學(xué)生問問題解決決的案例例分析報報告杭州市上上城區(qū)教教師進修修學(xué)校 朱樂樂平問題的提提出 許多數(shù)數(shù)學(xué)教師師都有這這樣的經(jīng)經(jīng)驗：解解決一個個數(shù)學(xué)問問題學(xué)生生常常有有自己的的解題策策略，對對同一年年齡段的的學(xué)生來來說，他他們的解解題策略略既有共共性又有有個性。但當(dāng)學(xué)學(xué)生去解解決某一一個數(shù)學(xué)學(xué)問題時時，他們們到底會會運用怎怎么樣的的解題策策略，采采用不同同策略的的學(xué)生人人數(shù)各有有多少，這些問問題并不不十分清清楚。為為此，筆筆者給出出一個幾幾何問題題，讓小小學(xué)四、五、六六年級的的學(xué)生找找出“較復(fù)雜雜圖形中中的線段段”，試圖圖

2、從學(xué)生生的解題題中，發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)生生的解題題策略，并分析析學(xué)生解解題策略略的心理理特征。 二二、測試試的問題題、對象象和過程程測試的問問題。觀察下面面的圖形形，圖中中一共有有多少條條線段？請把圖圖形中的的線段都都寫出來來。（請請盡可能能詳細的的寫出過過程）如果你認(rèn)認(rèn)為解題題已經(jīng)完完成，請請選擇：你認(rèn)為這這個題目目：很有有趣；比比較有趣趣；沒有有趣。你認(rèn)為這這個題目目：很難難； 比比較難； 不難難。測試的對對象。按照現(xiàn)行行的小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教材，本本地區(qū)四四年級及及以上的的學(xué)生已已經(jīng)學(xué)過過了線段段的概念念，知道道了線段段的表示示方法。因此，測試的的對象選選擇了小小學(xué)四、五、六六年級的的學(xué)生各各一個班班。

3、年齡齡分別是是11，12，13歲歲。人數(shù)數(shù)分別為為50、49、51人人。測試和訪訪談過程程。20011年5月月17日日上午，在學(xué)生生不知情情的情況況下，由由班主任任協(xié)助組組織進行行測試。在試測測前，沒沒有給學(xué)學(xué)生任何何的解題題提示，也沒有有讀題，直接讓讓學(xué)生獨獨立地解解答，并并自我記記錄做題題時間。如果學(xué)學(xué)生自己己認(rèn)為解解題已經(jīng)經(jīng)完成，就把測測試卷交交給老師師，學(xué)生生在解題題過程中中，沒有有任何的的討論與與交流，整個測測試過程程基本反反映了學(xué)學(xué)生獨立立地在自自然情景景下解答答這一幾幾何問題題的水平平。測試試后我們們對學(xué)生生的解題題情況進進行初步步整理，在整理理的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，選選擇了部部分學(xué)生生一

4、一進進行訪談?wù)?。測試試與訪談?wù)勗谕灰粋€上午午完成。三、測試試結(jié)果 1、四、五年級級有半數(shù)數(shù)以上的的學(xué)生能能正確解解答這個個幾何問問題，六六年級學(xué)學(xué)生解答答這個題題目的正正確率超超過800。對學(xué)生的的解題試試卷進行行批改和和統(tǒng)計后后，我們們發(fā)現(xiàn)：四、五五、六年年級學(xué)生生解答這這個幾何何題的正正確率分分別是552、54和844.3。有一一部分學(xué)學(xué)生不能能正確的的數(shù)出圖圖中的線線段數(shù)，四、五五、六年年級的學(xué)學(xué)生在數(shù)數(shù)線段時時有遺漏漏（少數(shù)數(shù)線段）的學(xué)生生比例分分別是118，18和7.8。數(shù)出的的線段有有重復(fù)（多數(shù)線線段）的的人數(shù)比比例四、五、六六年級學(xué)學(xué)生分別別是300、228和和7.99。重重復(fù)

5、數(shù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)明明顯地比比少數(shù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)要要多。2、四、五、六六年級學(xué)學(xué)生的解解題策略略已呈現(xiàn)現(xiàn)出多樣樣性，學(xué)學(xué)生認(rèn)知知圖形存存在著結(jié)結(jié)構(gòu)性心心理特征征。通過對四四、五、六年級級學(xué)生的的測試卷卷分析，我們發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)生生的解題題策略是是多樣的的，學(xué)生生在解決決上述的的測試題題時，主主要有以以下幾種種策略： 策略略一：“順序”型。按按字母順順序數(shù)出出所有線線段。即即先數(shù)出出以A點點作為一一個端點點的所有有線段，再分別別數(shù)出以以B、CC、D點點作為一一個端點點的所有有線段，除去重重復(fù)的線線段。A點：AAB, AO, ACC, AAD；共共四條線線段。B點：BBC, BO, BDD；共三三條線

6、段段。C點：CCO, CD；共兩條條線段。D點：DO一一條線段段。一共有44+3+2+11=100條線段段。下面面是一個個四年級級學(xué)生的的解答：ABCD這種答案案是按照照的“順序序”得出的的，在被被測試的的學(xué)生中中采用這這種策略略的學(xué)生生四年級級有322，五五年級有有24，六年年級有550。 策策略二：“由外到到內(nèi)”型 。先找四四邊形外外圍線段段，再找找內(nèi)部線線段。即即分別寫寫出：AAB，BBC，CCD，DDA； ACC，BDD；AO，BBO，CCO，DDO。下面是一一個五年年級學(xué)生生的解答答： 在被測測試的學(xué)學(xué)生中，采用這這種策略略的五年年級學(xué)生生有166，六六年級學(xué)學(xué)生有223，而四年年級

7、采用用這種策策略的學(xué)學(xué)生只有有4。策略三：“由內(nèi)向向外”型。這這類學(xué)生生的解題題思路正正好與上上面策略略二的解解題思路路相反。即先數(shù)數(shù)出圖形形中內(nèi)部部的線段段，再數(shù)數(shù)外部的的線段。在被測測試的學(xué)學(xué)生中，采用這這種策略略的四、五、六六年級學(xué)學(xué)生分別別有122，66和44。策略四：“對稱”型。按按照圖形形中各線線段的某某種“對稱”位置找找出所有有線段。找出線線段的順順序可以以是：AC，BBD。AB，DDC，AAD，BBC；AO，OOC，BBO，OOD；下面是一一個五年年級學(xué)生生的解答答：在被測試試的學(xué)生生中，采采用這種種策略的的四、五五、六年年級學(xué)生生分別是是：6，88和110。 這是一個學(xué)生用“

8、三角”型法找出線段的解題過程，盡管結(jié)果正確，但思考的過程有錯誤。策略五：“三角”型。把把要數(shù)線線段的這這個圖形形分解為為幾個三三角形，然后數(shù)數(shù)出每一一個三角角形的線線段數(shù)，再去掉掉重復(fù)的的線段，就得到到要數(shù)的的線段數(shù)數(shù)。下面面是幾個個六年級級學(xué)生的的解答： 上下兩個學(xué)生的解答過程都說有14條重復(fù)線段，但他們數(shù)的三角形的個數(shù)是不一樣的，筆者尚不清楚他們是怎樣得到“重復(fù)線段是14條”這個結(jié)論的。采用這種種“三角”型法的的四年級級學(xué)生只只有1人人采用這這種策略略，占做做對人數(shù)數(shù)的3.8，五年級級沒有學(xué)學(xué)生采用用這一策策略，六六年級學(xué)學(xué)生有55人采用用這一策策略，占占做對人人數(shù)的111.66。除了上述

9、述策略外外，還有有一些學(xué)學(xué)生是運運用了上上面兩種種策略的的組合，下面是是一個六六年級的的學(xué)生運運用“對稱”和“順序”的策略略解決問問題的過過程：從以上的的幾種解解題策略略中，我我們可以以看到，小學(xué)生生在觀察察和分析析復(fù)合圖圖形時，認(rèn)知結(jié)結(jié)構(gòu)上具具有“順序”、“對稱”、“封閉”及其組組合的某某種認(rèn)知知特征。3、四、五、六六年級學(xué)學(xué)生數(shù)線線段時已已有一定定程度的的規(guī)律性性。能正確找找出圖中中10條條線段的的學(xué)生中中，四、五、六六年級分分別有668%、75和888.4的學(xué)生生解答有有規(guī)律，26%、188和77的學(xué)學(xué)生解答答有部分分規(guī)律，僅僅66%、55和44.6的學(xué)生生，筆者者沒有發(fā)發(fā)現(xiàn)明顯顯規(guī)律。

10、學(xué)生呈呈現(xiàn)答案案的規(guī)律律性與結(jié)結(jié)論的正正確性有有著十分分密切的的關(guān)系。一般來來說，答答案呈現(xiàn)現(xiàn)的規(guī)律律性越強強，答案案的正確確性就越越高。具具有“順序”、“對稱”、“封閉”及其組組合的認(rèn)認(rèn)知特征征，對學(xué)學(xué)習(xí)效果果起著積積極的作作用。4、題目目的有趣趣性、難難度和答答題的正正確率之之間有著著比較密密切的關(guān)關(guān)系；對小學(xué)四四、五和和六年級級的學(xué)生生來說，他們對對這個幾幾何題有有趣程度度、難度度的認(rèn)定定以及客客觀上他他們對這這個題目目解答的的正確程程度存在在著一個個有趣的的關(guān)系。表一：各各年級學(xué)學(xué)生對題題目有趣趣程度認(rèn)認(rèn)定的比比例 項項目年級很有趣比較有趣趣沒有趣四年級64360五年級5140.888

11、.2六年級156025表二：各各年級學(xué)學(xué)生認(rèn)定定題目難難度的比比例和實實際答題題的正確確率 項目目年級學(xué)生認(rèn)定定的題目目難度學(xué)生答題題的正確確率很難比較難不難四年級8%84%8%52五年級049654六年級039784.33從上面的的表一可可知，四四、五年年級的學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個幾幾何題有有趣的程程度遠遠遠超過了了六年級級的學(xué)生生。我們們在對四四年級學(xué)學(xué)生的個個別訪談?wù)勚邪l(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)生生認(rèn)為有有趣的主主要原因因是因為為題目有有一定的的難度，題目有有一定的的挑戰(zhàn)性性，如問問四年級級學(xué)生為為什么說說題目有有趣時，一個學(xué)學(xué)生說：“這個題題可以考考考我們們的智商商，而且且還可以以看看我我們的眼眼力好不不好

12、?！绷硪粋€個學(xué)生的的回答是是：“就是它它上面有有很多線線段，讓讓我們找找有幾條條線段，多的話話，有點點眼花繚繚亂，那那么找起起來就很很好玩的的。”聯(lián)系表表一和表表二可以以看出，1000的四四年級學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個題題目比較較有趣或或者很有有趣，認(rèn)認(rèn)為這個個題目比比較難或或很難的的學(xué)生占占了922。所所以，筆筆者認(rèn)為為，這個個幾何題題比較適適合四年年級（111歲）的學(xué)生生進行學(xué)學(xué)習(xí)。一一方面多多數(shù)學(xué)生生覺得比比較有趣趣，覺得得有一定定的難度度，另一一方面又又有522%的學(xué)學(xué)生運用用不同的的策略解解決了這這個問題題，如果果我們在在教學(xué)中中，讓學(xué)學(xué)生在獨獨立解決決問題的的基礎(chǔ)上上，進行行討論與與交流，

13、那么學(xué)學(xué)生就能能相互啟啟發(fā)，從從而促進進他們較較大的發(fā)發(fā)展。我們在對對六年級級學(xué)生的的個別訪訪談中發(fā)發(fā)現(xiàn)，六六年級的的學(xué)生（特別是是數(shù)學(xué)能能力比較較強的學(xué)學(xué)生）基基本上都都認(rèn)為這這個題目目“沒有趣趣”，問他他們?yōu)槭彩裁凑f這這個題目目沒有趣趣時，回回答都是是“題目太太容易”，有些些學(xué)生還還說，這這個題目目對于二二、三年年級的同同學(xué)可能能會比較較有趣 。由此此我們是是否可以以認(rèn)為，對小學(xué)學(xué)生來說說，一個個題目的的有趣程程度與這這個題目目的難度度，與題題目的挑挑戰(zhàn)性有有很大的的關(guān)系，對數(shù)學(xué)學(xué)能力比比較強的的學(xué)生來來說，當(dāng)當(dāng)題目有有一定的的難度，具有一一定的挑挑戰(zhàn)性時時，他們們會認(rèn)為為題目比比較有趣趣

14、，從這這個意義義上說，這部分分學(xué)生更更愿意“爬坡”，而不不愿意“走平路路”。從上面的的表二可可知，對對于五、六年級級的學(xué)生生來說，沒有學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個題題目很難難，認(rèn)為為比較難難的學(xué)生生也分別別只有44和33，換換句話說說，五、六年級級的學(xué)生生幾乎都都認(rèn)為這這個題目目是容易易的，但但實際答答題的正正確率五五年級卻卻只有554，六年級級也只有有84.3，由此我我們是否否可以認(rèn)認(rèn)為，對對這樣的的開放性性問題，由于學(xué)學(xué)生在解解題時比比較容易易入手，很容易易找到幾幾條線段段，所以以學(xué)生會會認(rèn)為題題目比較較容易。但他們們沒有比比較清晰晰的認(rèn)識識到題目目的要求求是要找找出所有有的線段段，事實實上，如如果不

15、是是有序的的去思考考這個問問題，要要想把所所有的線線段都找找出來是是有一定定的難度度的。從從這個意意義上說說，這個個年齡階階段的學(xué)學(xué)生對于于解決這這個幾何何問題尚尚處于不不知“天高地地厚”的階段段。四、對小小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)的的啟示從上面這這個幾何何題的測測試和分分析中，我們可可以得到到對小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教學(xué)的幾幾點啟示示： 1、小學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)內(nèi)容的的選擇要要適合學(xué)學(xué)生的年年齡特征征，選擇擇的數(shù)學(xué)學(xué)問題要要具有挑挑戰(zhàn)性，以激發(fā)發(fā)學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)的興趣趣。 22、小學(xué)學(xué)生解決決數(shù)學(xué)問問題的策策略具有有多樣性性，無論論是思考考問題的的順序，還是表表現(xiàn)的形形式都具具有極強強的個性性。小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教育要提提

16、倡解決決問題策策略的多多樣化。要存認(rèn)認(rèn)學(xué)生的的差異，尊重學(xué)學(xué)生的個個性，促促進每一一個學(xué)生生在原來來的基礎(chǔ)礎(chǔ)上發(fā)展展。 3、要重視視學(xué)生有有序的考考慮問題題和解決決問題的的能力的的培養(yǎng)。 4、在教學(xué)學(xué)中適度度地引進進開放題題，對培培養(yǎng)學(xué)生生學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)學(xué)的興興趣將有有一定的的幫助。 五五、討論論的問題題1、為什什么部分分學(xué)生不不能按照照他們選選定的規(guī)規(guī)律找出出所有的的線段？為什么么出現(xiàn)有有重復(fù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)比比有遺漏漏線段的的學(xué)生數(shù)數(shù)要多？ 從上面的的結(jié)論中中可知，對四、五級的的學(xué)生來來說，分分別有448和和46的學(xué)生生不能正正確的解解答這個個幾何題題，筆者者對這部部分學(xué)生生的試卷卷作了分分析后

17、發(fā)發(fā)現(xiàn)：有有許多學(xué)學(xué)生在開開始呈現(xiàn)現(xiàn)答案時時，表現(xiàn)現(xiàn)出很強強的規(guī)律律性，如如不能完完整解答答此題的的五年級級學(xué)生中中，有445的的學(xué)生開開始呈現(xiàn)現(xiàn)答案時時表現(xiàn)出出“順序”型的結(jié)結(jié)構(gòu)，但但這部分分學(xué)生不不能一直直按這一一規(guī)律寫寫出所有有答案。常常在在最后出出現(xiàn)重復(fù)復(fù)或者遺遺漏。四四、五、六年級級的學(xué)生生在數(shù)線線段時有有遺漏（少數(shù)線線段）的的學(xué)生比比例分別別是188，118和和7.88。數(shù)數(shù)出的線線段有重重復(fù)（多多數(shù)線段段）的人人數(shù)比例例四、五五、六年年級學(xué)生生分別是是30、288和77.9。重復(fù)復(fù)數(shù)線段段的學(xué)生生數(shù)明顯顯地比少少數(shù)線段段的學(xué)生生數(shù)要多多。為什么部部分學(xué)生生不能按按照他們們選定的的

18、規(guī)律找找出所有有的線段段？為什什么出現(xiàn)現(xiàn)有重復(fù)復(fù)的學(xué)生生數(shù)比有有遺漏線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)要要多？這這些問題題都需要要作進一一步的研研究。筆筆者認(rèn)為為，產(chǎn)生生這種現(xiàn)現(xiàn)象可能能與這部部分學(xué)生生的短時時記憶能能力有關(guān)關(guān)，也可可能與學(xué)學(xué)生對這這一種數(shù)數(shù)學(xué)模型型掌握的的牢固程程度有關(guān)關(guān)。如果果短時記記憶的能能力比較較弱，那那么在找找線段的的過程中中，就可可能“忘記”了原來來的規(guī)律律；如果果對具備備某種規(guī)規(guī)律的數(shù)數(shù)學(xué)模型型掌握得得不夠牢牢固，也也可能在在找線段段的過程程中，模模糊了這這種結(jié)構(gòu)構(gòu)，從而而產(chǎn)生了了重復(fù)或或者遺漏漏的現(xiàn)象象。又由由于學(xué)生生在直覺覺上可能能會感覺覺到這個個圖形中中線段很很多，從從而他們們可能會會認(rèn)為找找出的線線段“少寫”還不如如“多寫”。你認(rèn)認(rèn)為這樣樣的分析析有道理理嗎？談?wù)務(wù)勀銓@個問問題的看看法。 2、從