小學(xué)生找出“較復(fù)雜圖形中線段”的解題策略研究

1、PAGE 1PAGE 10小學(xué)生找找出“較復(fù)雜雜圖形中中線段”的解題題策略研研究學(xué)生問問題解決決的案例例分析報(bào)報(bào)告杭州市上上城區(qū)教教師進(jìn)修修學(xué)校 朱樂樂平問題的提提出 許多數(shù)數(shù)學(xué)教師師都有這這樣的經(jīng)經(jīng)驗(yàn)：解解決一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問問題學(xué)生生常常有有自己的的解題策策略，對(duì)對(duì)同一年年齡段的的學(xué)生來來說，他他們的解解題策略略既有共共性又有有個(gè)性。但當(dāng)學(xué)學(xué)生去解解決某一一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)問題時(shí)時(shí)，他們們到底會(huì)會(huì)運(yùn)用怎怎么樣的的解題策策略，采采用不同同策略的的學(xué)生人人數(shù)各有有多少，這些問問題并不不十分清清楚。為為此，筆筆者給出出一個(gè)幾幾何問題題，讓小小學(xué)四、五、六六年級(jí)的的學(xué)生找找出“較復(fù)雜雜圖形中中的線段段”，試圖圖

2、從學(xué)生生的解題題中，發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)生生的解題題策略，并分析析學(xué)生解解題策略略的心理理特征。 二二、測試試的問題題、對(duì)象象和過程程測試的問問題。觀察下面面的圖形形，圖中中一共有有多少條條線段？請(qǐng)把圖圖形中的的線段都都寫出來來。（請(qǐng)請(qǐng)盡可能能詳細(xì)的的寫出過過程）如果你認(rèn)認(rèn)為解題題已經(jīng)完完成，請(qǐng)請(qǐng)選擇：你認(rèn)為這這個(gè)題目目：很有有趣；比比較有趣趣；沒有有趣。你認(rèn)為這這個(gè)題目目：很難難； 比比較難； 不難難。測試的對(duì)對(duì)象。按照現(xiàn)行行的小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教材，本本地區(qū)四四年級(jí)及及以上的的學(xué)生已已經(jīng)學(xué)過過了線段段的概念念，知道道了線段段的表示示方法。因此，測試的的對(duì)象選選擇了小小學(xué)四、五、六六年級(jí)的的學(xué)生各各一個(gè)班班。

3、年齡齡分別是是11，12，13歲歲。人數(shù)數(shù)分別為為50、49、51人人。測試和訪訪談過程程。20011年5月月17日日上午，在學(xué)生生不知情情的情況況下，由由班主任任協(xié)助組組織進(jìn)行行測試。在試測測前，沒沒有給學(xué)學(xué)生任何何的解題題提示，也沒有有讀題，直接讓讓學(xué)生獨(dú)獨(dú)立地解解答，并并自我記記錄做題題時(shí)間。如果學(xué)學(xué)生自己己認(rèn)為解解題已經(jīng)經(jīng)完成，就把測測試卷交交給老師師，學(xué)生生在解題題過程中中，沒有有任何的的討論與與交流，整個(gè)測測試過程程基本反反映了學(xué)學(xué)生獨(dú)立立地在自自然情景景下解答答這一幾幾何問題題的水平平。測試試后我們們對(duì)學(xué)生生的解題題情況進(jìn)進(jìn)行初步步整理，在整理理的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，選選擇了部部分學(xué)生生一

4、一進(jìn)進(jìn)行訪談?wù)?。測試試與訪談?wù)勗谕灰粋€(gè)上午午完成。三、測試試結(jié)果 1、四、五年級(jí)級(jí)有半數(shù)數(shù)以上的的學(xué)生能能正確解解答這個(gè)個(gè)幾何問問題，六六年級(jí)學(xué)學(xué)生解答答這個(gè)題題目的正正確率超超過800。對(duì)學(xué)生的的解題試試卷進(jìn)行行批改和和統(tǒng)計(jì)后后，我們們發(fā)現(xiàn)：四、五五、六年年級(jí)學(xué)生生解答這這個(gè)幾何何題的正正確率分分別是552、54和844.3。有一一部分學(xué)學(xué)生不能能正確的的數(shù)出圖圖中的線線段數(shù)，四、五五、六年年級(jí)的學(xué)學(xué)生在數(shù)數(shù)線段時(shí)時(shí)有遺漏漏（少數(shù)數(shù)線段）的學(xué)生生比例分分別是118，18和7.8。數(shù)出的的線段有有重復(fù)（多數(shù)線線段）的的人數(shù)比比例四、五、六六年級(jí)學(xué)學(xué)生分別別是300、228和和7.99。重重復(fù)

5、數(shù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)明明顯地比比少數(shù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)要要多。2、四、五、六六年級(jí)學(xué)學(xué)生的解解題策略略已呈現(xiàn)現(xiàn)出多樣樣性，學(xué)學(xué)生認(rèn)知知圖形存存在著結(jié)結(jié)構(gòu)性心心理特征征。通過對(duì)四四、五、六年級(jí)級(jí)學(xué)生的的測試卷卷分析，我們發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)生生的解題題策略是是多樣的的，學(xué)生生在解決決上述的的測試題題時(shí)，主主要有以以下幾種種策略： 策略略一：“順序”型。按按字母順順序數(shù)出出所有線線段。即即先數(shù)出出以A點(diǎn)點(diǎn)作為一一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)的所有有線段，再分別別數(shù)出以以B、CC、D點(diǎn)點(diǎn)作為一一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)的所有有線段，除去重重復(fù)的線線段。A點(diǎn)：AAB, AO, ACC, AAD；共共四條線線段。B點(diǎn)：BBC, BO, BDD；共三三條線

6、段段。C點(diǎn)：CCO, CD；共兩條條線段。D點(diǎn)：DO一一條線段段。一共有44+3+2+11=100條線段段。下面面是一個(gè)個(gè)四年級(jí)級(jí)學(xué)生的的解答：ABCD這種答案案是按照照的“順序序”得出的的，在被被測試的的學(xué)生中中采用這這種策略略的學(xué)生生四年級(jí)級(jí)有322，五五年級(jí)有有24，六年年級(jí)有550。 策策略二：“由外到到內(nèi)”型 。先找四四邊形外外圍線段段，再找找內(nèi)部線線段。即即分別寫寫出：AAB，BBC，CCD，DDA； ACC，BDD；AO，BBO，CCO，DDO。下面是一一個(gè)五年年級(jí)學(xué)生生的解答答： 在被測測試的學(xué)學(xué)生中，采用這這種策略略的五年年級(jí)學(xué)生生有166，六六年級(jí)學(xué)學(xué)生有223，而四年年級(jí)

7、采用用這種策策略的學(xué)學(xué)生只有有4。策略三：“由內(nèi)向向外”型。這這類學(xué)生生的解題題思路正正好與上上面策略略二的解解題思路路相反。即先數(shù)數(shù)出圖形形中內(nèi)部部的線段段，再數(shù)數(shù)外部的的線段。在被測測試的學(xué)學(xué)生中，采用這這種策略略的四、五、六六年級(jí)學(xué)學(xué)生分別別有122，66和44。策略四：“對(duì)稱”型。按按照?qǐng)D形形中各線線段的某某種“對(duì)稱”位置找找出所有有線段。找出線線段的順順序可以以是：AC，BBD。AB，DDC，AAD，BBC；AO，OOC，BBO，OOD；下面是一一個(gè)五年年級(jí)學(xué)生生的解答答：在被測試試的學(xué)生生中，采采用這種種策略的的四、五五、六年年級(jí)學(xué)生生分別是是：6，88和110。 這是一個(gè)學(xué)生用“

8、三角”型法找出線段的解題過程，盡管結(jié)果正確，但思考的過程有錯(cuò)誤。策略五：“三角”型。把把要數(shù)線線段的這這個(gè)圖形形分解為為幾個(gè)三三角形，然后數(shù)數(shù)出每一一個(gè)三角角形的線線段數(shù)，再去掉掉重復(fù)的的線段，就得到到要數(shù)的的線段數(shù)數(shù)。下面面是幾個(gè)個(gè)六年級(jí)級(jí)學(xué)生的的解答： 上下兩個(gè)學(xué)生的解答過程都說有14條重復(fù)線段，但他們數(shù)的三角形的個(gè)數(shù)是不一樣的，筆者尚不清楚他們是怎樣得到“重復(fù)線段是14條”這個(gè)結(jié)論的。采用這種種“三角”型法的的四年級(jí)級(jí)學(xué)生只只有1人人采用這這種策略略，占做做對(duì)人數(shù)數(shù)的3.8，五年級(jí)級(jí)沒有學(xué)學(xué)生采用用這一策策略，六六年級(jí)學(xué)學(xué)生有55人采用用這一策策略，占占做對(duì)人人數(shù)的111.66。除了上述

9、述策略外外，還有有一些學(xué)學(xué)生是運(yùn)運(yùn)用了上上面兩種種策略的的組合，下面是是一個(gè)六六年級(jí)的的學(xué)生運(yùn)運(yùn)用“對(duì)稱”和“順序”的策略略解決問問題的過過程：從以上的的幾種解解題策略略中，我我們可以以看到，小學(xué)生生在觀察察和分析析復(fù)合圖圖形時(shí)，認(rèn)知結(jié)結(jié)構(gòu)上具具有“順序”、“對(duì)稱”、“封閉”及其組組合的某某種認(rèn)知知特征。3、四、五、六六年級(jí)學(xué)學(xué)生數(shù)線線段時(shí)已已有一定定程度的的規(guī)律性性。能正確找找出圖中中10條條線段的的學(xué)生中中，四、五、六六年級(jí)分分別有668%、75和888.4的學(xué)生生解答有有規(guī)律，26%、188和77的學(xué)學(xué)生解答答有部分分規(guī)律，僅僅66%、55和44.6的學(xué)生生，筆者者沒有發(fā)發(fā)現(xiàn)明顯顯規(guī)律。

10、學(xué)生呈呈現(xiàn)答案案的規(guī)律律性與結(jié)結(jié)論的正正確性有有著十分分密切的的關(guān)系。一般來來說，答答案呈現(xiàn)現(xiàn)的規(guī)律律性越強(qiáng)強(qiáng)，答案案的正確確性就越越高。具具有“順序”、“對(duì)稱”、“封閉”及其組組合的認(rèn)認(rèn)知特征征，對(duì)學(xué)學(xué)習(xí)效果果起著積積極的作作用。4、題目目的有趣趣性、難難度和答答題的正正確率之之間有著著比較密密切的關(guān)關(guān)系；對(duì)小學(xué)四四、五和和六年級(jí)級(jí)的學(xué)生生來說，他們對(duì)對(duì)這個(gè)幾幾何題有有趣程度度、難度度的認(rèn)定定以及客客觀上他他們對(duì)這這個(gè)題目目解答的的正確程程度存在在著一個(gè)個(gè)有趣的的關(guān)系。表一：各各年級(jí)學(xué)學(xué)生對(duì)題題目有趣趣程度認(rèn)認(rèn)定的比比例 項(xiàng)項(xiàng)目年級(jí)很有趣比較有趣趣沒有趣四年級(jí)64360五年級(jí)5140.888

11、.2六年級(jí)156025表二：各各年級(jí)學(xué)學(xué)生認(rèn)定定題目難難度的比比例和實(shí)實(shí)際答題題的正確確率 項(xiàng)目目年級(jí)學(xué)生認(rèn)定定的題目目難度學(xué)生答題題的正確確率很難比較難不難四年級(jí)8%84%8%52五年級(jí)049654六年級(jí)039784.33從上面的的表一可可知，四四、五年年級(jí)的學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個(gè)幾幾何題有有趣的程程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了了六年級(jí)級(jí)的學(xué)生生。我們們?cè)趯?duì)四四年級(jí)學(xué)學(xué)生的個(gè)個(gè)別訪談?wù)勚邪l(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)生生認(rèn)為有有趣的主主要原因因是因?yàn)闉轭}目有有一定的的難度，題目有有一定的的挑戰(zhàn)性性，如問問四年級(jí)級(jí)學(xué)生為為什么說說題目有有趣時(shí)，一個(gè)學(xué)學(xué)生說：“這個(gè)題題可以考考考我們們的智商商，而且且還可以以看看我我們的眼眼力好不不好

12、?！绷硪粋€(gè)個(gè)學(xué)生的的回答是是：“就是它它上面有有很多線線段，讓讓我們找找有幾條條線段，多的話話，有點(diǎn)點(diǎn)眼花繚繚亂，那那么找起起來就很很好玩的的?！甭?lián)系表表一和表表二可以以看出，1000的四四年級(jí)學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個(gè)題題目比較較有趣或或者很有有趣，認(rèn)認(rèn)為這個(gè)個(gè)題目比比較難或或很難的的學(xué)生占占了922。所所以，筆筆者認(rèn)為為，這個(gè)個(gè)幾何題題比較適適合四年年級(jí)（111歲）的學(xué)生生進(jìn)行學(xué)學(xué)習(xí)。一一方面多多數(shù)學(xué)生生覺得比比較有趣趣，覺得得有一定定的難度度，另一一方面又又有522%的學(xué)學(xué)生運(yùn)用用不同的的策略解解決了這這個(gè)問題題，如果果我們?cè)谠诮虒W(xué)中中，讓學(xué)學(xué)生在獨(dú)獨(dú)立解決決問題的的基礎(chǔ)上上，進(jìn)行行討論與與交流，

13、那么學(xué)學(xué)生就能能相互啟啟發(fā)，從從而促進(jìn)進(jìn)他們較較大的發(fā)發(fā)展。我們?cè)趯?duì)對(duì)六年級(jí)級(jí)學(xué)生的的個(gè)別訪訪談中發(fā)發(fā)現(xiàn)，六六年級(jí)的的學(xué)生（特別是是數(shù)學(xué)能能力比較較強(qiáng)的學(xué)學(xué)生）基基本上都都認(rèn)為這這個(gè)題目目“沒有趣趣”，問他他們?yōu)槭彩裁凑f這這個(gè)題目目沒有趣趣時(shí)，回回答都是是“題目太太容易”，有些些學(xué)生還還說，這這個(gè)題目目對(duì)于二二、三年年級(jí)的同同學(xué)可能能會(huì)比較較有趣 。由此此我們是是否可以以認(rèn)為，對(duì)小學(xué)學(xué)生來說說，一個(gè)個(gè)題目的的有趣程程度與這這個(gè)題目目的難度度，與題題目的挑挑戰(zhàn)性有有很大的的關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)能力比比較強(qiáng)的的學(xué)生來來說，當(dāng)當(dāng)題目有有一定的的難度，具有一一定的挑挑戰(zhàn)性時(shí)時(shí)，他們們會(huì)認(rèn)為為題目比比較有趣趣

14、，從這這個(gè)意義義上說，這部分分學(xué)生更更愿意“爬坡”，而不不愿意“走平路路”。從上面的的表二可可知，對(duì)對(duì)于五、六年級(jí)級(jí)的學(xué)生生來說，沒有學(xué)學(xué)生認(rèn)為為這個(gè)題題目很難難，認(rèn)為為比較難難的學(xué)生生也分別別只有44和33，換換句話說說，五、六年級(jí)級(jí)的學(xué)生生幾乎都都認(rèn)為這這個(gè)題目目是容易易的，但但實(shí)際答答題的正正確率五五年級(jí)卻卻只有554，六年級(jí)級(jí)也只有有84.3，由此我我們是否否可以認(rèn)認(rèn)為，對(duì)對(duì)這樣的的開放性性問題，由于學(xué)學(xué)生在解解題時(shí)比比較容易易入手，很容易易找到幾幾條線段段，所以以學(xué)生會(huì)會(huì)認(rèn)為題題目比較較容易。但他們們沒有比比較清晰晰的認(rèn)識(shí)識(shí)到題目目的要求求是要找找出所有有的線段段，事實(shí)實(shí)上，如如果不

15、是是有序的的去思考考這個(gè)問問題，要要想把所所有的線線段都找找出來是是有一定定的難度度的。從從這個(gè)意意義上說說，這個(gè)個(gè)年齡階階段的學(xué)學(xué)生對(duì)于于解決這這個(gè)幾何何問題尚尚處于不不知“天高地地厚”的階段段。四、對(duì)小小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)的的啟示從上面這這個(gè)幾何何題的測測試和分分析中，我們可可以得到到對(duì)小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教學(xué)的幾幾點(diǎn)啟示示： 1、小學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)內(nèi)容的的選擇要要適合學(xué)學(xué)生的年年齡特征征，選擇擇的數(shù)學(xué)學(xué)問題要要具有挑挑戰(zhàn)性，以激發(fā)發(fā)學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)的興趣趣。 22、小學(xué)學(xué)生解決決數(shù)學(xué)問問題的策策略具有有多樣性性，無論論是思考考問題的的順序，還是表表現(xiàn)的形形式都具具有極強(qiáng)強(qiáng)的個(gè)性性。小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教教育要提提

16、倡解決決問題策策略的多多樣化。要存認(rèn)認(rèn)學(xué)生的的差異，尊重學(xué)學(xué)生的個(gè)個(gè)性，促促進(jìn)每一一個(gè)學(xué)生生在原來來的基礎(chǔ)礎(chǔ)上發(fā)展展。 3、要重視視學(xué)生有有序的考考慮問題題和解決決問題的的能力的的培養(yǎng)。 4、在教學(xué)學(xué)中適度度地引進(jìn)進(jìn)開放題題，對(duì)培培養(yǎng)學(xué)生生學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)學(xué)的興興趣將有有一定的的幫助。 五五、討論論的問題題1、為什什么部分分學(xué)生不不能按照照他們選選定的規(guī)規(guī)律找出出所有的的線段？為什么么出現(xiàn)有有重復(fù)線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)比比有遺漏漏線段的的學(xué)生數(shù)數(shù)要多？ 從上面的的結(jié)論中中可知，對(duì)四、五級(jí)的的學(xué)生來來說，分分別有448和和46的學(xué)生生不能正正確的解解答這個(gè)個(gè)幾何題題，筆者者對(duì)這部部分學(xué)生生的試卷卷作了分分析后

17、發(fā)發(fā)現(xiàn)：有有許多學(xué)學(xué)生在開開始呈現(xiàn)現(xiàn)答案時(shí)時(shí)，表現(xiàn)現(xiàn)出很強(qiáng)強(qiáng)的規(guī)律律性，如如不能完完整解答答此題的的五年級(jí)級(jí)學(xué)生中中，有445的的學(xué)生開開始呈現(xiàn)現(xiàn)答案時(shí)時(shí)表現(xiàn)出出“順序”型的結(jié)結(jié)構(gòu)，但但這部分分學(xué)生不不能一直直按這一一規(guī)律寫寫出所有有答案。常常在在最后出出現(xiàn)重復(fù)復(fù)或者遺遺漏。四四、五、六年級(jí)級(jí)的學(xué)生生在數(shù)線線段時(shí)有有遺漏（少數(shù)線線段）的的學(xué)生比比例分別別是188，118和和7.88。數(shù)數(shù)出的線線段有重重復(fù)（多多數(shù)線段段）的人人數(shù)比例例四、五五、六年年級(jí)學(xué)生生分別是是30、288和77.9。重復(fù)復(fù)數(shù)線段段的學(xué)生生數(shù)明顯顯地比少少數(shù)線段段的學(xué)生生數(shù)要多多。為什么部部分學(xué)生生不能按按照他們們選定的的

18、規(guī)律找找出所有有的線段段？為什什么出現(xiàn)現(xiàn)有重復(fù)復(fù)的學(xué)生生數(shù)比有有遺漏線線段的學(xué)學(xué)生數(shù)要要多？這這些問題題都需要要作進(jìn)一一步的研研究。筆筆者認(rèn)為為，產(chǎn)生生這種現(xiàn)現(xiàn)象可能能與這部部分學(xué)生生的短時(shí)時(shí)記憶能能力有關(guān)關(guān)，也可可能與學(xué)學(xué)生對(duì)這這一種數(shù)數(shù)學(xué)模型型掌握的的牢固程程度有關(guān)關(guān)。如果果短時(shí)記記憶的能能力比較較弱，那那么在找找線段的的過程中中，就可可能“忘記”了原來來的規(guī)律律；如果果對(duì)具備備某種規(guī)規(guī)律的數(shù)數(shù)學(xué)模型型掌握得得不夠牢牢固，也也可能在在找線段段的過程程中，模模糊了這這種結(jié)構(gòu)構(gòu)，從而而產(chǎn)生了了重復(fù)或或者遺漏漏的現(xiàn)象象。又由由于學(xué)生生在直覺覺上可能能會(huì)感覺覺到這個(gè)個(gè)圖形中中線段很很多，從從而他們們可能會(huì)會(huì)認(rèn)為找找出的線線段“少寫”還不如如“多寫”。你認(rèn)認(rèn)為這樣樣的分析析有道理理嗎？談?wù)務(wù)勀銓?duì)對(duì)這個(gè)問問題的看看法。 2、從