無窮大能比大小嗎

1、蝕無窮大能比大小嗎羇無窮，超越了人類直觀想象的極限。從幾千年前的哲人開始，悖論敲打著理性的頭腦。研 究實用學(xué)問的人都小心翼翼地繞開， 直到牛頓以物理的腳步跨越了 冥想中阿基里斯無法邁過 的間隙 。在微積分打開的燦爛世界里， 數(shù)學(xué)家仍然憂心忡忡地觀察牛頓閉著眼睛跨過的間隙， 企圖在這不可知的深淵上架起一座橋梁。這最根本的基石落在了集合論上。莆芃無窮大指比任何自然數(shù)都要大的量，要了解這個量是怎么來的，就要從集合談起。集合論 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。無窮集合的處理決定了極限、測度、分析、概率、幾何，這些嚴(yán)謹(jǐn)理論 的理解。 學(xué)理工很多人接觸過無窮集合的概念， 也許知道些背后的公理， 只是一般的課程都 語焉不

2、詳， 網(wǎng)上文章抄來抄去， 在表面字義上引申發(fā)揮。 其實這些知識并不深奧， 與其霧里 看花，不如花一點時間在邏輯上弄懂。這篇普及文只假定你有簡單的集合概念【1】，除此不需要其他預(yù)備知識， 按照純數(shù)學(xué)教科書證明的思路， 加上點形象的說法， 讓你很快了解這 里的概念，從邏輯上想通之間的關(guān)系。要想有收獲，下面內(nèi)容要在頭腦用邏輯里過一遍。莂羀有限集合和自然數(shù)集合的元素，都是可以被逐個數(shù)到的。如果一個集合里的元素都能夠按 某種次序數(shù)到，在數(shù)學(xué)上稱為“可數(shù)的”( Countable )，這集合便稱為“可數(shù)集”或“可 列集”。 整數(shù)是可數(shù)的，因為從 0 開始，依 1、-1、2、 -2、 3、 -3，一正一負(fù)地

3、走遠，任 何整數(shù)都能按這規(guī)則被數(shù)到。 偶數(shù)可以用同樣方法數(shù)過， 它也是可數(shù)的。 輪流對兩個集合上 元素依序點數(shù)走遍全體， 說明了可數(shù)集的并集也是可數(shù)的。 這個通俗化的語言定義中有個關(guān) 鍵詞“被數(shù)到” ，就是說集合中任何一個具體的元素， 都會按這規(guī)則對應(yīng)著一個有限的序數(shù)。蒅蚄由集合可以定義一個數(shù)，稱為集合的“基數(shù)”或者“勢”(Cardinal number )，集合 A 的勢記為 |A| 。有限集合的勢是集合中元素的數(shù)量，是個正整數(shù)。自然數(shù)集合N 有無窮多個元素，數(shù)量是無窮大，它的勢記為 ?0(這個希伯來字母 ?念作“阿列夫”)， | N|= ?0?？占?勢是 0， |? | =0。袀蝿勢能比

4、較嗎？康托爾( Cantor )提出個一一對應(yīng)的辦法。如果兩個集合的元素存在著一個 一一對應(yīng)的關(guān)系【 2】，即如果按照某種規(guī)則，一個集合中任何一個元素都能在另一集合中 找到唯一的一個元素與之相應(yīng)，反過來也一樣，則說這它們的勢相等。如果集合 A 對集合 B 有這樣的對應(yīng)規(guī)則，則集合 B 的勢可能比 A 大，記為 |B| |A| ；但反過來時卻沒有這樣對 應(yīng)規(guī)則的，則說集合 B的勢比 A大，記為 |B|A| ，俗稱集合 B比 A 多。例如：每個公民有張身份證，公民的集合和身份證的集合等勢； 5 個蘋果的集合比紅、黃、綠 3 種顏色的集合 勢大；網(wǎng)上馬甲集合的勢比博主集合的勢大；?0 n，n 是任何

5、自然數(shù)。不難證明勢的大小關(guān)系“”和“ ”如同自然數(shù)的大小一樣，具有反對稱性和傳遞性；“”還有返身性。薅肅在可數(shù)集的定義中，集合的元素被逐個數(shù)到的辦法，就是它與自然數(shù)一一對應(yīng)的映射，所 以可數(shù)集的勢都是一樣的，與自然數(shù)等勢，為 ?0. 我們知道偶數(shù)只是整數(shù)的一部分，自然數(shù) 也只是整數(shù)的一部分，它們都是可數(shù)集， 勢相等。 這是無窮集合的一個反直覺的性質(zhì)： 局部 可以和全體一樣多！所以，涉及到無窮時必須很小心，直覺不可靠，只能憑借于邏輯了。薂薈有理數(shù)也是可數(shù)的。將不可通約的正的真分?jǐn)?shù)，按照分母和分子從小到大排列如下：蚅1/2 ，1/3 ， 2/3 ， 1/4 ， 3/4 ，1/5 ，2/5 ， 3/

6、5 ， 4/5 ， 1/6 ，5/6 ，1/7 ， 2/7 ， 蒆羀這樣它們?nèi)魏我粋€都能無一遺漏地被數(shù)到，即正真分?jǐn)?shù)是可數(shù)的。所有大于1 的分?jǐn)?shù)都是正真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，這倒數(shù)一一對應(yīng)說明了它們等勢，都是可數(shù)的。有理數(shù)是這兩者的并集， 再加上 0 和 1。前面說過， 可數(shù)集的并也是可數(shù)的， 這就證明了， 有理數(shù)集合 Q 也是可數(shù)的， | Q |=?0。薁蚅無窮集合都是可數(shù)的嗎？不，實數(shù)就不是。這個證明如下：蚃螁假如( 0，1)區(qū)間的實數(shù)也是可數(shù)的，那么這里任何一個實數(shù)對應(yīng)著一個自然數(shù)n，排成一個序列， 表中第 n 個實數(shù)就可以表示為 F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3).，這里 a(n

7、,k)是序列中 F(n) 的第 k 位小數(shù)的數(shù)字。 現(xiàn)在定義一個新的實數(shù) b=0.b(1)b(2)b(3).，其中的 b(k)=7 如果 a(k,k)=5 ，否則 b(k)=5 。因為 b 的每一位小數(shù)都和順序表中任何一個 實數(shù)不一樣，這個 b 不可能在這表中。但順序表假定是列出了所有(0， 1)區(qū)間的實數(shù)。這個矛盾證明了實數(shù)是不可數(shù)的。莀螅這是康托爾在 1891 年的證明用的“對角線法”技巧，其邏輯精彩絕綸，自此以后它的思 想被大家借用， 解決了一些難題。 哥德爾的不完備性定理， 其關(guān)鍵部分也是用了對角線法的 思想。如果你還一下子轉(zhuǎn)不過來，我再舉例說明這個精妙的思想。蒃如果小于 1 的正實數(shù)

8、是可數(shù)的，它可以按某種次序列表出來，比如說這次序表的前6 個如下：肈裊 F(1)=0. 3132789蒄 F(2)=0.5 674321袁 F(3)=0.33 55212袇 F(4)=0.982 3133羅 F(5)=0.0042 523裊 F(6)=0.32145 63蚃袀肅為了醒目，我將其中的對角線元素 a(k,k)用黑體字表示。現(xiàn)在新造出一個實數(shù)b 來，這個 b的第 k 位小數(shù)，是根據(jù)順序表中，第 k 個實數(shù)的第 k位的數(shù)值(這對角線上的黑體數(shù)字)而 定，按照上面說的規(guī)則構(gòu)造出的實數(shù)是b=0.557575羂肁這個數(shù) b 不可能在這順序表中，因為它如果是表中第n 個實數(shù)， b=F(n)，那

9、它們的第 n 位小數(shù)不相等 a(n,n) b(n)，這是構(gòu)造 b 時挖的坑，矛盾了。也就是說實數(shù)不是可數(shù)的。自然 數(shù)是實數(shù)的一部分，所以實數(shù)的勢比自然數(shù)和有理數(shù)大。稱為不可數(shù)集。實數(shù) R 的勢，稱 為連續(xù)統(tǒng)的勢，記為 c， |R|=c ?0.蠆膄有理數(shù)和無理數(shù)的并集是實數(shù)，有理數(shù)是可數(shù)的，實數(shù)是不可數(shù)的，所以無理數(shù)也是不可 數(shù)的。無理數(shù)比有理數(shù)多，而且“多得多”！莃螃能夠成為整系數(shù)代數(shù)方程根的實數(shù)稱為代數(shù)數(shù)，不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)稱為超越數(shù)。當(dāng)人們正 在討論是否存在超越數(shù)時， 康托爾手里還沒有一個超越數(shù)， 通過證明代數(shù)數(shù)是可數(shù)的， 他就 敢斷言超越數(shù)不僅存在而且是不可數(shù)的多。蒈這集合的勢有沒有上限？

10、康托爾說沒有。 把集合 A的所有子集看成一個新的集合， 記為 2A， 康托爾以構(gòu)造羅素悖論的相同思路，用反證法證明了 |2 A |A| ，這稱為 Cantor s theore。m 集合 A 的所有子集的勢也可以記為 2|A| =|2A |，當(dāng) A 是有限集合時，不難驗證這個整數(shù)意義 下的等式成立。芁實數(shù)可以用 0 和 1 來表示，每一個實數(shù)中的數(shù)字為 1 的位數(shù)集合，比如說 10.101 ，一一對 應(yīng)著整數(shù)的一個子集，例如是 2， -1，-3，也就是實數(shù)與可數(shù)集上所有子集集合的勢相等， c=2?0。蒁薈所有集合的勢都可以比較嗎？對有限集合肯定沒問題，無窮集合中的可數(shù)集，實數(shù)集，集 合和它子集

11、的集合， 上面都給出了肯定的答案。 其他的無窮集的勢呢？它們也是無窮大， 既 然有不同的無窮大，它們都能比較嗎？用數(shù)學(xué)的術(shù)語來說是：集合勢的大小關(guān)系是良序的 嗎？這個問題在樸素集合論中不能回答，也不能在ZF 公理系統(tǒng)【 3】中得到答案，人們在ZF 中增加了一條公理叫選擇公理 CH，它與良序性等價。有了它所有的集合勢就都可以比較 了。膅 羃接下去第二個問題， 到底有沒有集合的勢在 c 和 ?0之間？康托爾認(rèn)為沒有， 這稱為連續(xù)統(tǒng) 假設(shè) CH。【4】更強的廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè) GCH是說在 |2A |和|A| 之間不存在著其他的勢。哥德 爾在 1940 年證明了這個假設(shè)與集合論 ZFC公理下是不矛盾的，

12、 科恩在 1963 年證明了它們是 獨立的。至今這個問題仍被人們討論。【 4】芀蚈至此，無窮大的比較問題似乎已經(jīng)有了清楚的答案，雖然在公理的依據(jù)上有些爭論。這是 主流數(shù)學(xué)家對這個問題的答案，在這個基礎(chǔ)上建立起了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大廈。薆莀上述無窮大的反直覺的性質(zhì)，讓一些喜歡直覺的人很不舒服。他們認(rèn)為無窮集合不能像有 限的那樣， 可以逐個檢查驗證， 上面結(jié)果的幾個關(guān)鍵證明，都是采用反證法的思辨。荷蘭數(shù) 學(xué)家布勞威爾認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來，沒有理由運用到無窮集合中。1908 年，他反對把排中律運用于無窮集合上，也就是說在無窮情況下，不能用反證法。抽 去了反證法這個支柱， 這個無窮集合勢的大

13、廈轟然崩潰。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分結(jié)果都要重新考 證。他認(rèn)為除了可數(shù)集合之外， 沒有其他無窮集合， 數(shù)學(xué)無窮集合只有一個勢， 即可數(shù)無窮。 只有一種無窮大！螈康托爾幾乎憑借著一己之力掀起思想革命，提供了平定數(shù)學(xué)界混亂的基礎(chǔ)，當(dāng)時的數(shù)學(xué)領(lǐng) 袖希爾伯特信心滿滿地帶領(lǐng)大家在上面建造新的大廈， 布勞威爾的宣言幾乎是破壞這安定團 結(jié)的反動， 將數(shù)學(xué)帶回這革命前的混亂， 希爾伯特終于忍無可忍地回應(yīng)： “把排中律排除在 數(shù)學(xué)之外， 就像禁止拳手使用拳頭。 ”布勞威爾激進的性格終于使得這矛盾不可協(xié)調(diào)， 被排 斥出主流數(shù)學(xué)界。膂布勞威爾是數(shù)學(xué)直覺主義的創(chuàng)始人， 堅持所有數(shù)學(xué)對象必須是可以構(gòu)造的， 不能用排中律。 上

14、世紀(jì)三十年代初， 由于哥德爾的工作， 一些數(shù)學(xué)家開始重視直覺主義， 但與主流數(shù)學(xué)的汪 洋大海相比， 直覺主義與后來比較溫和的構(gòu)造主義取得的成果就非常有限了。 最令人尷尬的 是，布勞威爾一生最偉大的成就布勞威爾不動點定理， 卻是用自己所極力反對的， 非構(gòu) 造性的方法來證明的。袈我們在這里看到數(shù)學(xué)的矛盾和爭論，看到反復(fù)斟酌的公理。有人疑惑到底這些公理對不 對？到底是信仰還是事實， 在矛盾之中， 哪個是真理？這是對數(shù)學(xué)不理解了， 數(shù)學(xué)的研究是 從一些非常基本的假設(shè)中， 應(yīng)用邏輯來看能夠走多遠， 能夠得到什么有用的結(jié)論。 這些假設(shè) 只要是自洽的， 無關(guān)對錯，只關(guān)是否有用，能否在應(yīng)用時被接受。 構(gòu)成數(shù)學(xué)

15、體系稱為公理的 假設(shè)， 很多是非常基本近乎定義性的同語反復(fù)。 還有一些公理被引入， 是為了修補支撐已在 實踐中被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)結(jié)果和工具。 被排斥的一些公理， 不是因為錯了， 而是假設(shè)太強了， 在這假設(shè)下得不到足夠廣泛有用的結(jié)果。薀喜歡數(shù)學(xué)對一些基礎(chǔ)問題感興趣的朋友，建議花點時間學(xué)習(xí)“點集拓?fù)洹保词故侵粚W(xué)一 兩章也可以受益無窮，上述關(guān)于無窮集合的內(nèi)容，只占General Topology【 5】，第一章的中間部分，不到幾頁的內(nèi)容，除了邏輯的頭腦， 幾乎不需要其他基礎(chǔ)?，F(xiàn)代的分析數(shù)學(xué)是建立 在在點集之上，由子集定義開集，用開集構(gòu)造拓?fù)淇臻g，引進鄰域，在此定義收斂，連續(xù)， 緊，距離，連通性，各種空間。數(shù)學(xué)系統(tǒng)所的程代展和我都曾經(jīng)在國內(nèi)修過分析和泛函，到 美國第一年學(xué)了兩個學(xué)期的拓?fù)洌?像中學(xué)生一樣一道道題做， 把各塊石頭都摸過， 這讓我們 對數(shù)學(xué)有種脫胎換骨的感覺。 在這個基礎(chǔ)上重學(xué)了測度、 隨機過程、 微分幾何才覺得腳下是 堅實的基礎(chǔ)，一切概念和原理都可以回溯追問到集合的公理為止。 這時候才感到： 數(shù)學(xué)，不 是教你怎么計算的，而是怎么引進假設(shè)，合乎邏輯地思考。以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途 , ,