高等數學a課程教學大綱

1、高等數學a課程教學大綱課程名稱：高等數學-a英文名稱：Advanced Mathematics課程編號：X1080332學 時 數：160 課外學時數：16學 分 數：11.0適用專業(yè)：物理類相關專業(yè)一、課程的性質和任務高等數學是工科院校開設的一門重要的公共基礎課。是學生完成各專業(yè)課學習所必須學習的課程。通過本課的學習，使學生獲得數學方面的基本理論、基本概念、和基本知識，為后繼課的學習和今后工作打下必要的數學基礎，也為解決實際問題提供有效的數學方法。同時通過各個教學環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學生的抽象概括能力，邏輯推理能力，熟練運算能力，綜合運用所學知識去分析問題、解決問題的能力及自學能力。二、課程教學內

2、容的基本要求、重點和難點第一章 函數與極限教學目的：理解函數的概念性質。理解復合函數、反函數的概念。理解各類極限的概念，掌握極限的基本性質、極限四則運算法則及兩個極限存在法則，理解無窮小量和無窮大量的概念，會確定無窮小的階和利用等價無窮小求極限。理解函數連續(xù)的概念，了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。掌握初等函數的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。內容要點：（一）函數1、理解函數的概念及函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。2、理解復合函數和反函數的概念。熟悉基本初等函數的性質及其圖形。（二）極限1、理解極限的概念和性質(對極限的-N、-定義可在學習過程中逐步加深理解)，掌握極限四則運算

3、法則。 2、理解極限存在的夾逼準則，了解單界有界數列必有極限會用兩個重要極限求極限。3、了解無窮小量、無窮大量以及無窮小的階的概念及性質。掌握無窮小量的比較，會用等價無窮小求極限。（三）連續(xù)函數1、理解函數在一點連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。2、了解初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(介值定理和最大、最小值定理)。第二章 微分學教學目的：理解導數的概念、幾何意義及函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。掌握導數的基本公式及運算法則，掌握復合函數的求導法則，掌握對數、隱函數和參數方程所確定的函數的求導法，會求反函數的導數。理解微分的概念，會計算微分。了解一階

4、微分的形式不變性，了解微分進行簡單的近似計算。理解中值定理，了解泰勒(Taylor) 定理，并會用它們解決一些簡單問題。掌握用洛必達法則求極限的方法。掌握用導數判斷函數的單調性和求極值、最大值和最小值的方法。掌握用導數判斷函數圖形凹凸性的方法，會求圖形的拐點。會描繪函數的圖形。了解弧微分、曲率和曲率半徑的概念及其求法，了解求方程近似解的弦位法和切線法。 內容要點：（一）導數及其運算1、理解導數的概念，理解導數的幾何意義及函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。2、掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數、雙曲函數的導數公式。3、了解高階導數的概念。4、掌握初等函數一階、二階導數的求法

5、。5、會求對數、隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數。會求反函數的導數。（二）微分1、理解微分的概念，了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。 2、了解微分的近似計算（三）中值定理 導數的應用1、理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。2、會用洛必達(LHospital)法則求不定式的極限。3、理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求極值、最大值和最小值的方法。4、會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪函數的圖形(包括水平和鉛直漸進線)。5、了解曲率和曲率半徑的概念并會計算曲率和曲率半徑。

6、6、了解求方程近似解的弦位法和切線法。第三章 不定積分教學目的：理解原函數與不定積分的概念、性質及運算法則。掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元法和分步積分法。會求有理函數、三角函數的有理式及簡單的無理函數的積分。了解積分表的使用。內容要點：（一）不定積分1、理解原函數與不定積分的概念及性質，掌握不定積分的基本公式。2、掌握不定積分的換元法和分步積分法。會求簡單的有理函數、三角函數有理式及簡單的無理函數的積分。第四章 定積分教學目的：了解定積分概念的實際背景，理解定積分的概念及性質。理解并掌握積分上限函數的意義及其求導定理。掌握Newton-Leibniz公式。掌握定積分的換元法和分部積

7、分法。了解定積分近似計算。掌握定積分微元法，掌握用微元法求平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積已知的立體體積及旋轉曲面的面積的方法。掌握利用微元法計算物理問題的方法，并能解決一些實際問題。內容要點：（一）基本概念及定積分的計算1、理解定積分的概念及性質，了解函數可積的充分必要條件。2、理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導，掌握牛頓(Newton)萊布尼茲(Leibniz)公式。3、掌握定積分的換元法和分步積分法。4、了解定積分的近似計算法(梯形法和拋物線法)。（二）定積分的應用1、掌握用微元法求平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積已知的立體體積及

8、旋轉曲面的面積的方法。2、掌握利用微元法計算物理問題的方法。第五章 空間解析幾何和矢量代數教學目的：理解空間直角坐標系的概念，理解矢量的概念及其表示。熟悉矢量、單位矢量和方向余弦的坐標表示。掌握用坐標表達式進行矢量運算的方法。掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。熟悉常用二次曲面的方程和圖形，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。內容要點：（一）空間直角坐標與矢量代數1、理解空間直角坐標系。2、理解矢量的概念及其表示，掌握矢量的運算(線性運算、數量積、矢量積、混合積)，掌握兩個矢量垂直、平行的條件。3、掌握單位矢量、方向余弦、矢量的坐標表達式以及用坐標

9、表達式進行矢量運算的方法。（二）空間中的平面和直線及二次曲面1、掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。2、理解曲面方程的概念，熟悉常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標3、了解曲面的交線在坐標平面上的投影。第六章 多元函數微分學教學目的：理解二元函數、極限與連續(xù)性的概念。理解偏導數和全微分的概念。掌握復合函數一階、二階偏導數的求法，掌握全微分的求法。會求隱函數（包括由兩個方程組成的方程組所確定的隱函數）的偏導數。了解二元泰勒（Taylor）公式。了解方向導數，了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線，并會求它們的方程。理解二元函數極值和條件極值的概念，會

10、求二元函數的極值，掌握求條件極值的拉格朗日乘數法，會求簡單二元函數的最大值和最小值，并能解決一些簡單的實際問題。 內容要點：(一) 多元函數1、理解多元函數的概念。2、了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質。3、理解偏導數和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。 4、掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數。5、會求隱函數(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數)的偏導數。（二）偏導數的應用1、了解方向導數。2、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會求它們的方程。3、了解二元函數的泰勒公式。4、理解多元函

11、數極值與條件極值的概念，會求多元函數的極值。掌握求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。第七章 重積分教學目的：理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質。掌握二重積分、三重積分的計算方法，了解重積分的換元法則并會用換元法則計算重積分。會用重積分計算平面圖形的面積、立體的體積以及曲面的面積等，會用重積分計算簡單的物理實際問題。內容要點：（一）二重積分1、理解二重積分的概念及性質。2、掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)。3、了解重積分的換元法則并會用換元法則計算重積分。（二）三重積分1、理解三重積分的概念及性質。2、掌握三重積分的計算方法(直角坐標、柱

12、面坐標、球面坐標)。（三）重積分的應用1、會用重積分計算平面圖形的面積、立體的體積以及曲面的面積。2、會用重積分計算簡單的物理實際問題。第八章 曲線積分 曲面積分 矢量分析初步 教學目的：理解兩類曲線積分的概念及性質。掌握兩類曲線積分的計算方法。掌握格林公式，會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。理解兩類曲面積分的概念及性質。掌握兩類曲面積分的計算方法。掌握高斯公式、斯托克斯公式，會利用高斯公式計算積分。了解梯度、散度、旋度的概念及其計算方法。了解高斯公式、斯托克斯公式的矢量形式。內容要點：（一）曲線積分1、理解兩類曲線積分的概念、性質及相互間關系，掌握兩類曲線積分的計算方法

13、。2、掌握格林(Green)公式及平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。（二）曲面積分1、理解兩類曲面積分的概念、性質及相互間的關系，會計算兩類曲面積分。2、掌握高斯公式，會利用高斯公式計算積分。3、掌握斯托克斯(Stokes)公式及空間曲線積分與路徑無關的條件。（三）矢量分析與場論初步1、了解矢性函數的極限、連續(xù)和導數。2、了解數量場、矢量場及矢量微分算子 的概念，數量場的梯度、矢量場的散度、旋度及基本公式。了解無源場、無旋場及調和場的概念。第九章 無窮級數教學目的：理解無窮級數收斂、發(fā)散的概念，熟悉無窮級數基本性質及收斂的必要條件。掌握正項級數的審斂法判別法。了解交錯級數的Le

14、ibniz定理。了解無窮級數絕對收斂與條件收斂的概念。理解函數項級數的收斂域的概念，了解一致收斂級數及性質。掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，理解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質。會利用冪級數的性質求和函數，掌握函數展成冪級數的方法。了解冪級數的近似計算。了解傅里葉級數的概念，理解函數展開為傅里葉級數的狄利克雷條件，掌握將定義在區(qū)間上的函數展開為傅里葉級數的方法，并會將定義在區(qū)間上的函數展開為正弦或余弦級數。內容要點：（一）數項級數1、理解無窮級數收斂、發(fā)散以及和函數的概念，熟悉無窮級數基本性質及收斂的必要條件。2、掌握幾何級數、調和級數及p-級數的收斂性。3、了解正項級數的極限審斂法，

15、掌握正項級數的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。4、了解交錯級數的萊布尼茲定理。5、了解無窮級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。（二）冪級數1、理解函數項級數的收斂域及和函數的概念。了解函數項級數的一致收斂性及基本性質。2、掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。3、了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質。4、會利用冪級數的性質求和函數，并了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。5、會利用，和的麥克勞林(Maclaurin)展開式將一些簡單的函數間接展開成冪級數。6、了解冪級數在近似計算上的簡單應用。（三）傅里葉級數1、了解函數展開為傅里葉(Fourier)級數的狄利克雷(Di

16、richlet)條件，會將定義在上的函數展開為傅里葉級數。2、會將定義在函數展開為正弦級數或余弦級數。第十章 反常積分和含參變量積分教學目的：理解廣義積分的概念。掌握廣義積分的基本收斂準則，會計算無窮積分和無界函數的積分。掌握-函數與-函數。了解含參變量的積分。內容要點：（一）廣義積分1、了解廣義積分的概念。會計算無窮積分及無界函數的積分。2、了解-函數與-函數及其主要性質。（二）了解含參變量的積分。第十一章 微分方程初步教學目的：了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。掌握可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程和伯努利方程的解法。會用降階法解一些特殊的高階微分方程。掌握二階常系數線

17、性微分方程的解法，并了解高階常系數齊次線性微分方程的解法。會用微分方程解決物理學一些簡單的實際問題。內容要點：（一）微分方程的基本概念1、了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。（二）一階微分方程1、掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求解方程的思想。2、理解線性微分方程解的結構，了解常數變易法。（三）二階微分方程 1、會用降階法解下列方程：，和.2、掌握常系數齊次線性方程的解法，會求自由項形如和的常系數非齊次線性方程的特解。3、會用微分方程解一些簡單的幾何問題和物理問題。三、教學方式及學時分配章 序章 名講課時數習題課時數小計第一章函數與極限 12214第二章微分學 20222第三章不定積分12214第四章定積分 14216第五章空間解析幾何和矢量代數12214第六章多元函數微分學 12214第七章重積分14216第八章曲線積分 曲面積分 矢量分析初步16218第九章無窮級數 16218第十章反常積分和含參變量積分415第十一章微分方程初步12214總計