高中數(shù)學人教A版高中必修4第一章三角函數(shù)-《6三角函數(shù)模型的簡單應用》教學設計

1、三角函數(shù)模型的簡單應用教學設計一、教學設計分析（一）教材分析三角函數(shù)模型的簡單應用是人教版必修4第1章第六節(jié)內容，教科書專門設置“三角函數(shù)模型的簡單應用”一節(jié)，目的是加強用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學習，這是以往教學中不太注意的內容。教科書在素材的選擇上注意了廣泛性、真實性和新穎性，同時又關注到三角函數(shù)的性質（特別是周期性）的應用，引導學生通過解決有一定綜合性和思考水平的問題，培養(yǎng)他們綜合應用數(shù)學和其他學科知識解決問題的能力。本節(jié)通過例題的學習，循序漸進的從四個層次介紹了三角函數(shù)模型的應用，（1）根據(jù)圖像建立解析式由形到數(shù)；（2）根據(jù)解析式作出圖像由數(shù)到形；（3）將實際問題抽象為與三角函數(shù)

2、有關的簡單函數(shù)模型（數(shù)學建模）；（4）利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型。（二）學情分析學生已經學習了正弦型和余弦型三角函數(shù)圖形及其性質，有了一定的知識儲備，并且具備了一定了數(shù)學活動經驗，但是從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型的過程中，由于陌生的背景、復雜的數(shù)據(jù)處理等，學生會感到困難。教學中應注意幫助學生分析問題中的數(shù)量關系，通過散點圖等，引導學生從圖的特點來發(fā)現(xiàn)各個量之間的關系或它們的變化規(guī)律。（三）目標分析1.教學目標（1）經歷從現(xiàn)實問題中確定變量、探尋關系、建立模型、計算系數(shù)、分析結論的全過程，形成和發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)；（2）掌握三角函數(shù)模型應用基本步驟：根

3、據(jù)圖象建立解析式；根據(jù)解析式作出圖象；將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型；（3）培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識，提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力；（4）在學習過程中，逐漸滲透轉化與劃歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想。2.教學重點：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題。3.教學難點：將某些實際問題抽象為三角函數(shù)模型。（四）教學媒體媒體名稱功能PPT展示問題、活動要求、訓練習題，幫助學生參與活動，體現(xiàn)思路幾何畫板快速、精確、直觀地顯示教學內容黑板板書、展示學生的思考過程、幫助學生整理知識、思路和方法（五）設計思想通過前面的學習，學生已掌握了正弦型和余弦型三角函數(shù)的圖像及其性質，通過學習

4、三角函數(shù)模型的簡單應用，學生切身感受數(shù)學建模的過程，體會數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用就非常有必要。鑒于之前對于教學內容、教學目標、教學重、難點的分析，本節(jié)課的教學活動應以教師引導、學生主動探究為主，教學設計的主導思想應定位在“三角函數(shù)模型的應用”上。因此在教學設計上教師應當對于學生的探究活動進行精心的組織，使得學生明確任務，有的放矢，既能完成預定的教學目標，又能讓學生體會探究的樂趣。讓學生在掌握一些學習方法的同時培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。二、教學實施設計(一)教學環(huán)節(jié)1.提出問題若干年后，如果在座的各位有機會當上船長的話，當你的船只要到某個港口去卸貨，你作為船長，你希望知道關于那個港口的一

5、些什么情況？【設計意圖】開門見山，激發(fā)學生的學習興趣，同時為接下來的貨船進出港問題埋下伏筆。2.解決問題 問題：海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米問題1：請同學們仔細觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？【設計意圖】開放式題目，學生可以從多個方面挖掘信息，培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)?！绢A設的師生活動】學生獨立思考，可能會從以下幾點挖掘

6、表格中信息：（1）水深的最大值是米，最小值是米；（2）水的深度開始由米增加到米，后逐漸減少一直減少到，又開始逐漸變深，增加到米后，又開始減少；（3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。教師對學生給出的結論給與肯定，并且重點強調周期性變化這一特點，總結如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它就可以借助三角函數(shù)來描述，利用三角函數(shù)的圖象和性質解決相應的實際問題。 問題2：設想水深是時間的函數(shù)，在平面直角坐標系中作出表中數(shù)據(jù)對應的散點圖，并用一條光滑曲線順次連接，你認為可以選用哪個類型的函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系？ 【設計意圖】培養(yǎng)學生動手操作能力，通過作散點圖，學生

7、可以直觀的呈現(xiàn)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律，聯(lián)想學習過的函數(shù)類型，再由圖像最終確定選用的函數(shù)類型，整個過程培養(yǎng)了學生直觀想象核心素養(yǎng)?！绢A設的師生活動】學生按照要求完成作圖之后，可能會給出兩種函數(shù)類型：正弦型三角函數(shù)：；余弦型三角函數(shù)：，多數(shù)學生可能會選擇正弦型三角函數(shù)，少部分學生可能會選擇余弦型三角函數(shù)。教師對于學生給出的兩種三角函數(shù)類型給與肯定，并鼓勵他們的想法。問題3：求這條曲線的函數(shù)解析式.【設計意圖】學生通過觀察函數(shù)圖象，由振幅確定、，由周期確定，再由特殊點確定初相。【預設的師生活動】學生獨立完成，教師巡查指導，最后請同學展示并表述求解過程。在問題2中，對于兩種類型的函數(shù)的選用及解析式的求解，教師

8、應分別給與展示，在兩種類型函數(shù)解析式求解過程中，由于學生通過選用不同的特殊點得到不同值，教師應說明由于三角函數(shù)周期性，故不唯一，通常選用最高或最低點來求解，實際問題，學生可能會忽略函數(shù)定義域。其次，教師總結兩種類型之間的關系，從平移的角度來看，兩類函數(shù)類型的本質是相同的，故為了便于研究下面問題，統(tǒng)一選用較為熟悉的正弦型三角函數(shù)：來研究，余弦型三角函數(shù)留作課后研究。最后，教師總結歸納利用三角函數(shù)圖象求解析式的基本思路：，特殊點求解。解：由三角函數(shù)圖像可知，由，得代入得這條曲線的函數(shù)解析式為問題4：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為米，安全條例規(guī)定至少要有米的安全間隙（船底與洋底的距離），該

9、船何時能進入港口？在港口能呆多久？【設計意圖】有了水深關于時間的函數(shù)解析式后，在實際生活中，由于每艘船只的吃水深度是不一樣，故每艘船只進出港口以及在港口停留時間均不同，故把吃水深度，安全條例考慮在內，是在模型基礎上的進一步研究。【預設的師生活動】學生通過閱讀文字信息，提煉出關鍵信息，明確吃水深度和安全條例概念，獨立思考求解，教師巡查指導，最后學生展示并表述求解過程。解：貨船需要的安全水深為，所以當時就可以進港。代數(shù)方向：令，得時，時， 幾何方向：得在區(qū)間內，函數(shù)的圖象與直線有四個交點,因此得，得得，得當時，和該船可以早晨1時進港，5時出港；或下午13時進港，17時出港，每次可在港口停留4小時。

10、問題5：若某船的吃水深度為米，安全間隙為米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？【設計意圖】現(xiàn)實生活中貨船載滿貨物進港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，這樣一來吃水深度和安全條例兩者都在改變，故把現(xiàn)實生活中的實際情況考慮在內，讓學生體會數(shù)學來源于生活，在解決問題的過程中，豐富學生不同學科之間的關聯(lián)，以及培養(yǎng)學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)，滲透數(shù)形結合思想。【預設的師生活動】學生自主閱讀文字信息，教師適當點撥，學生先獨立思考，然后分小組合作，解決問題，并由其中一個小組代表展示成果。

11、該問題綜合性較強，不僅涉及數(shù)形結合，還涉及二分法等相關知識，教師應適當?shù)狞c撥指導，學生小組合作探究，問題解決的過程中培養(yǎng)學生應用意識和合作意識。解：設時刻貨船的安全水深為，那么 ，在同一坐標系內作出這兩個函數(shù)圖像，可以看到在左右兩個函數(shù)有一個交點，通過計算如下表時間實際水深安全水深是否安全65米 43米安全42米41米較安全738米40米危險因此，為了安全，貨船最好在之前停止卸貨，將船駛向較深的水域。3.反思提升1.三角函數(shù)模型簡單應用的基本步驟：選擇函數(shù)模型作散點圖實際問題收集數(shù)據(jù)實際問題的解三角函數(shù)模型2.問題解決過程中有哪些思想和方法？方法：數(shù)學建模思想：數(shù)形結合、轉化與劃歸、函數(shù)與方程

12、【設計意圖】授之以魚不如授之以漁，一堂課下來，學生們所能掌握到的思路、方法及思想遠比知識本身更重要。通過這一環(huán)節(jié)的設定，教師要將學生的學習提升到方法論的層面上來，讓學生在頭腦中形成學習、研究的意識。【預設的師生活動】師生共同小結。從基本知識的運用、研究思路和方法、數(shù)學思想等方面進行。（二）板書設計三角函數(shù)模型的簡單應用一、提出問題 三、反思提升1.三角函數(shù)模型簡單應用基本步驟 2.思想與方法二、解決問題 三、教學反思本節(jié)課的設計基于現(xiàn)實生活中的貨船進出港口問題，題材來源于現(xiàn)實生活，能夠激發(fā)學生主動學習的興趣，以學生為中心，加強數(shù)學活動過程的教學，營造合作交流的課堂氣氛，引導學生主動參與，自我挖

13、掘其創(chuàng)造潛能。教科書專門設置“三角函數(shù)模型的簡單應用”一節(jié)，目的是加強用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學習，教科書在素材的選擇上注意了廣泛性、真實性和新穎性，同時又關注到三角函數(shù)的性質（特別是周期性）的應用，引導學生通過解決有一定綜合性和思考水平的問題，培養(yǎng)他們綜合應用數(shù)學和其他學科知識解決問題的能力。本節(jié)通過例題的學習，循序漸進的從四個層次介紹了三角函數(shù)模型的應用，（1）根據(jù)圖像建立解析式由形到數(shù)；（2）根據(jù)解析式作出圖像由數(shù)到形；（3）將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型（數(shù)學建模）；（4）利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型。學生已經學習了正弦型

14、和余弦型三角函數(shù)圖形及其性質，有了一定的知識儲備，并且具備了一定了數(shù)學活動經驗，但是從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型的過程中，由于陌生的背景、復雜的數(shù)據(jù)處理等，學生會感到困難。教學中應注意幫助學生分析問題中的數(shù)量關系，通過散點圖等，引導學生從圖的特點來發(fā)現(xiàn)各個量之間的關系或它們的變化規(guī)律。本節(jié)課的教學目標讓學生經歷從現(xiàn)實問題中確定變量、探尋關系、建立模型、計算系數(shù)、分析結論的全過程，形成和發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)；掌握三角函數(shù)模型應用基本步驟：根據(jù)圖象建立解析式；根據(jù)解析式作出圖象；將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型；培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識，提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力；在學習過程

15、中，逐漸滲透轉化與劃歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想。鑒于之前對于教學內容、教學目標、教學重難點分析，本節(jié)課的教學活動應以教師引導、學生主動探究為主，教學設計的主導思想應定位在“本節(jié)課為學生在三角函數(shù)模型簡單應用上的一次實踐”上。因此在教學環(huán)節(jié)的設計上設置了3個教學環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)一提出問題，若干年后，如果在座的各位有機會當上船長的話，當你的船只要到某個港口去卸貨，你作為船長，你希望知道關于那個港口的一些什么情況？開門見山，激發(fā)學生的學習興趣，同時為接下來的貨船進出港問題埋下伏筆。給出現(xiàn)實生活中貨船進出港口的問題，在主問題下設置5個子問題，層層遞進，讓學生在解決問題的過程中總結三角函數(shù)模型解決實際問題的步驟，

16、滲透數(shù)形結合、轉化與劃歸、函數(shù)與方程等思想，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。問題1設置為開放式題目，鼓勵學生從多個角度分析表格中數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，問題2通過學生動手作散點圖，直觀觀察圖像，確定函數(shù)模型，其中由數(shù)到形過程，培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng)，問題3重點放在解決函數(shù)解析式上面，由形到數(shù)總結歸納三角函數(shù)圖像確定解析式的一般結論， 問題4、問題5是在解析式的基礎上，考慮船只吃水深度和安全條例在內的實際應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，其中問題5綜合性較強，教師適當點撥，學生小組合作，培養(yǎng)了學生的合作意識。環(huán)節(jié)三反思與提升：授之以魚不如授之以漁，一堂課下來，學生們所能掌握到的思路、方法及思想遠比知識本身更重要。通過這一環(huán)節(jié)的設定，教師要將學生的學習提升到方法論的層面上來，讓學生在頭腦中形成學習、研究的意識。師生共同小結，從基本知識的運用、研究思路和