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文檔簡介
1、面積類1、已知橢圓E十豈=i與工正半軸、正半軸的交點分別為乩衣,動點169是橢圓上任一點,求二二二面積的最大值。【解析】試題分析:先求頂點坐標(biāo),再求直線方程,根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出點_二的坐標(biāo),然后再求點到直線的距離,表示出面積,然后求最值直線:二_,43,則點到直線即的距離試題解析:依題意忒4。),,aB=5,lv+4x-12:=0設(shè)點F的坐標(biāo)為是13-4coi(9+43iiii-1212r、g%17H&=工=y|V-1當(dāng),”二,時,一。一45所以二二.4面積的最大值是在.三考點:橢圓的參數(shù)方程、點到直線的距離、三角函數(shù)求最值2、設(shè)點A(_/,0),B(,0),直線AM、BM相交于點M,且
2、它們的斜率之積為_二(I)求動點M的軌跡C的方程;(II)若直線p過點F(1,0)3且繞F旋轉(zhuǎn),與圓。=5相交于P、Q兩點,與軌跡C相交于R、S兩點,若IPQI二.廠:求二三二的面積的最大值和最小值(F為軌跡C的左焦點).上兇一區(qū)用二一一=二(工手上?。窘馕觥浚↖)設(shè)一,貝IJ一二一擊二73:化簡-;二軌跡二的方程為(II)設(shè)的距離,=-卜】-一:一將代入軌跡;方程并整理得:設(shè)二?:,貝/:二.=,考點:橢圓,根與系數(shù)關(guān)系,基本不等式,坐標(biāo)表示3、已知橢圓二:三一二::-的右焦點為.二;:,上頂點為8,離心率aT為L圓百(ty)一亡=工與工軸交于f。兩點為)求的值;三一.兩(II)若匚=1,
3、過點3與圓相切的直線與的另一交點為,求的得|二二一忑,|二二二,則則崗。二小垃,elm.13又點口、36到直線I的距離7-5得三二的面積考點:橢圓,根與系數(shù)關(guān)系,坐標(biāo)表示等,考查了學(xué)生的綜合化簡計算能力4、設(shè)橢圓+二=(八30)的左焦點為下,離心率為走,過點且與工軸/5:2垂直的直線被橢圓截得的線段長為(D求橢圓方程.(2)過點的直線F與橢圓交于不同的兩點乩E,當(dāng)面積最大時,求|工同.正工+工=1【解析】(1)由題意可得口?,2助:,又一力;=,解得=1二=:,所以橢圓方程為了一=根據(jù)題意可知,直線1的斜率存在,故設(shè)直線的方程為=看+工設(shè)y=kx+2工區(qū)Pl),由方程組三”,消去了得關(guān)于工的方
4、程(140薪+如46=0由直線I與橢圓相交于H聲兩點,則有,即:3-=-得,1由根與系數(shù)的關(guān)系得飛d,因為原點。到直線的距離a+犬,故的面積一一:一一一二二-:一:-:令-=加二-三;-則-=-3,所_7一匚一時,以山口“r+42當(dāng)且僅當(dāng)二2時等號成立,即考點:1.橢圓方程;2.橢圓與直線綜合;3.基本不等式.5、已知橢圓。:二+仁的左、右焦點分別為瓦(-L0)、,P為橢圓0上任意一點,且耳FE的最小值為工.(1)求橢圓的方程;.3(2)動圓/+牛=產(chǎn)(卜父力父耳)與橢圓已相交于A、B、C、D四點,當(dāng)r為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值并求出其最大面積.【解析】因為p是橢圓。上一點,所以因
5、”=在不軍中,KT-一,由余弦定理得|尸號I+F耳-2|兩H尸瑪|74-4.因為當(dāng)且僅當(dāng)卜卜卜;二一時等號成立.因為TOC o 1-5 h zCO5-/罵尹F、之=j1=一一/J-D17一二一,所以一二-二.因為;的最小值為3,所一J以一S,解得二-:.又:二:,所以.所以橢圓C的方程為二+132.g1K十二(2)設(shè)一4期此),貝膚巨開2ABCD的面積S二迎豆.因為32一,所以vZ=21S2=15.Ki-p=32.xr1=主:一二24uLn0,-uU肉P-|UAh.所以=匕x+也b與橢圓E交于不同的兩點、,且橢圓上存在點,使由十方二上而7,其中d是坐標(biāo)原點,是實數(shù)(I)求的取值范圍;(II)當(dāng)
6、.取何值時,-”:_-:的面積最大最大面積等于多少【答案】(1)(-;(II)當(dāng)二二七時,一二3二的面積最大,最大面積0為:【解析】(I)設(shè)橢圓三的半焦距為根據(jù)題意得1%F.F,f=(2c.y=PF=a-cy+3:-C=l:b=L-解方程組得產(chǎn)=近一二橢圓石的方程為y丘+眼T=.由二二二一得w二-:一:一二二:.根據(jù)已知得關(guān)于的方程L;-:=:有兩個不相等的實數(shù)根.二二二一一二一:一;-一.:,化簡得:AkmM+4=.1.+2K一2m1十人二燒、設(shè).馬出)、,則必+p二=瓦+三)42m稱,7二口,滿足題意;_2mi+sF.(2)當(dāng)1,(1)當(dāng),二:時,點上、關(guān)于原點對時,點二、關(guān)于原點不對稱,
7、-kmvZ(1+W2mIIIIIII111n由Qd+OB=J.QM,得1-km;圓三上,二,二丁一z(l+2)1,.綜合(1)、(2)兩種情況,得實數(shù)的取值范圍是的面積最大.原點:到直4一=/2(l+2A3)即一3工尤42且771+2爐,點,.胡hO,(II)當(dāng)工二。時,此時,上、三、三點在一條直線上,不構(gòu)成Akm1十一二二一。三的面積7卜=11.*型0E=二,此時,的代入橢圓得:叵丁,當(dāng)直線-三的斜率存在時,:(升正)+8盛+4-1”口一.二二彩.,當(dāng)時,二U的面積最大,最大面積為二考點:直線和橢圓的相關(guān)問題,綜合考查考生的運(yùn)算求解能力.7、設(shè)橢圓三三一二:的離心率,二二,.二E是其左右焦點
8、,點汽升3)是直線、.二三(其中片=_獷)上一點,且直線的傾斜角為上.(I)求橢圓E的方程;(II)若是橢圓上兩點,滿足:|=1,求_二二三(為坐標(biāo)原點)面積的最小值.匚、飛小飛公ne=.a=Zc.c=工=工二b=jc【解析】(I)二=-=.-貝IJ,故44=i(II)當(dāng)直線工三的斜率不存在時,可設(shè)一二一二代入橢圓得-8A癡T-12-三二貝一;三=二1176+312/-H135期二再還4當(dāng)4三了-4%飛=1;得:明4S(1+F)176*+312K:-1354(1卜片192-st底山夜一S當(dāng)L二口時,576(192Q)M)取等號,又,故二二的最小值為375.考點:直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用.8
9、、已知橢圓二三_二=一:.;的四個頂點恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為a1至四二的菱形的四個頂點.(I)求橢圓期的方程;(II)直線與橢圓交于M,兩點,且線段的垂直平分線經(jīng)過點電_餐,求(為原點)面積的最大值.一【解析】(I)因為橢圓一.:-的四個頂點恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為西的菱形的四個頂點,所以名田=1,橢圓取的方程為(II)設(shè)直工公。取號口J因為上近的垂直平分線通過點顯然直線有斜率,當(dāng)直線-你的斜率為時,則的垂直平分線為軸,則為=一再:】=乃所以二一T-二卜一因為亞1GT”4(;一$)所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,二二取旦得最大值為二=屐一:所以一當(dāng)直線,曲的斜率不為時,則設(shè)的方程為:代人得,到一】一3
10、-1方程有化簡得到,得到,又原點到直線所以A=又代入虻-1二七0i)A=16ra3-32(m-l)0西寧西=2m吃三之OCM$iM(2m;12Kl=12/(-工七+叨|=|一三+2也|=|巧|q_勺工i+W_AfC|=切IU瓦十三=lm=陰二二;:.二::率公式;2.直線與曲線的位置關(guān)系;3.韋達(dá)定理.10、已知橢圓C的中心在原點,焦點在T軸上,離心率白二!,它的一個頂點恰2好是拋物線=-12v的焦點.(I)求橢圓C的方程;(II)設(shè)橢圓與曲線下=%忒0)的交點為3、C,求面積的最大值.【答案】二一丁二一;M.【解析】(1)拋物線儲三一1功的焦點為.八3又橢圓離心率1_:_|_:_一二一三,,
11、;=:所以橢圓二的方程為二:一(2)設(shè)點三:,貝IJ,連二二交軸于點:,由對稱為二忑.考點:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系.11、已知橢圓三一二一,聲的右焦點F在圓二:一上,直線1;工=切+3制=0)交橢圓于河、兩點.求橢圓的方程;(2)若為坐標(biāo)原點),求取的值;(3)設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為其(用石材不重合),且直線與*軸交于點,試問的面積是否存在最大值若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由題設(shè)知,圓0值才+丁=1的圓心坐標(biāo)是00),半徑為1,故圓口與常軸交與兩點口,.1分所以,在橢圓中匚=3或,又丁=3,所以,或(舍去,;;匚),于是,橢圓廣的方程3=1為二-
12、:x=my+3設(shè);直線1與橢圓方程聯(lián)立23,化簡并整-6-m理得麗-9F+6沖-3=0,OM-0N536-12-3_Qm2+4二版”),,即二三一一二二:得_11,W3=二,即丁為定值.二直線7的方程為,5r+1)當(dāng)且僅當(dāng)m_即,=二返1yl為+巧西=令-=則時等號成立.故三工一的面積存在最大值1考點:直線與橢圓的位置關(guān)系點評:主要是考查了橢圓方程的求解,以及直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。1122【解析】(1)依題意,設(shè)橢圓C的方程為/十,fM斗產(chǎn)構(gòu)成等差數(shù)列,;,1.:=|.-|-M_=2|5S|=-1二二二.又橢圓二的方程為-三將直線I的方程P=b+加代入橢圓的方程必=12中,得一
13、丁一-由直線:與橢圓僅有一個公共點時,網(wǎng)四網(wǎng)+網(wǎng)“回+忑一石文訪.當(dāng)人。時,四邊形串口匹是矩形,s=M所以四邊形二工三面積、的最大值為考點:直線與橢圓的位置關(guān)系點評:主要是考查了橢圓方程,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。13、如圖,已知橢圓蘭+仁=1的左焦點為F,過點的直線交橢圓于其3兩43點,線段數(shù)的中點為,的中垂線與其軸和丁軸分別交于兩點.(1)若點G的橫坐標(biāo)為_工,求直線的斜率;(2)記4的面(4+3)*+蝴工+4-12=0所以-4M4必十3.4,解得故點2的橫坐標(biāo)為.依題意,得k=士,(II)解:假設(shè)存在直線皿,直.由(I)可得改使得a二名,顯然直線球、不能與:二.一軸垂3
14、k二+3乂.=_1為DG_AB,所以4好+L、*_Q,解得二二二,二二二工二S;q|GD|二od因為GF3sa,所以所以因為此方程無解,所以不存在直線.二3,使得飛二;考點:直線與橢圓相交的位置關(guān)系點評:直線與橢圓相交時常聯(lián)立方程借助于方程根與系數(shù)的關(guān)系整理化簡,此類題目計算量較大要求學(xué)生具有較高的數(shù)據(jù)處理能力14、已知橢圓C:+E=1br01的離心率為工,E、F二分別為橢圓cT曠2的左、右焦點,若橢圓C的焦距為2.求橢圓的方程;設(shè)為橢圓上任意一點,以M為圓心,a巧為半徑作圓,當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點時,求二疔7.面積的最大值.LaC1【解析】因為::且二三,所以;=1,二二2分所以3二1-
15、二14分所以橢圓廠的方程為-設(shè)點紅的坐標(biāo)為(9凡),則丁石.因為,所以直線的方程為.由于圓與有公共點,所以至IJ的距離一一:小于或等于圓的半徑三.因為二,所以,所-:-:,即:一二二一不主;又因為么多一早+10毛-150解得M土上一,又一:二工;,時,14考點:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,不等式的解法。點評:中檔題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,簡化解題過程。利用函數(shù)觀點,建立三角形面積的表達(dá)式,確定其最值。15、已知橢圓口的中心在原點,好是拋物線V=T為
16、的焦點.直線f與橢圓相切刖匚一方)的面積有最小值并求出最小值.【解析】焦點在:軸上,離心率為二,它的一個頂點恰2()求橢圓r的方程;(II)過點一二;二的直線與一軸交于點,當(dāng)為何值時卜=ig0)21,:,拋物線=-的焦點為(0-3)5C1:一二一Wa2雙曲線927一的離心率所以,得二二二/二橢圓C的方程為(ID設(shè)直線,的方程為戶回工一旬,由對稱性不妨設(shè)M丁一-=1:129由可式一網(wǎng)消:得:3二一1::一”:依題意4+12=-,得J=即號.3丁;,得:由:二:,令當(dāng)且僅當(dāng)二一一即一二時取等因為L二二故::=-T時,一有最小值二道.考點:直線與橢圓的位置關(guān)系點評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的
17、運(yùn)用,屬于中檔題。16、已知橢圓三一二二:小八.的離心率為正,短軸的一個端點到右焦點口,3的距離為后,直線/;,=卮+加交橢圓于不同的兩點。(1)求橢圓的方程;(2)若坐標(biāo)原點0到直線的距離為正,求面積的最大值。2=.a=c=.b=1-I-t:=1【解析】(1)由二3,橢圓的方程為:一kr+m、-,1-i-iI_r/、Lr5去-,整理可得:,1+南*好+1X9好+1)(1+3A/)212Q+XN3廣+1二卜值=二。十巾),考點:本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系=3+北+17、已知橢圓三一二必的離心率為,且過點二點)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;.(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線AC、
18、BD形ABCD的面積為定值;過原點0,若:二.二_一二,求走后的最值.(ii)求證:四邊二走一二】【解析】(1)由題意二二,二丁,又二V一1解得二=丫“,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3=184.y=Ax+ffl設(shè)直線AB的方程為卜=區(qū)+優(yōu),設(shè)內(nèi)仙;匹&蘇聯(lián)立.+獷=得(1+2ML)+ikmx+2刑】一X二0-A=(4hn)2-4)(23-S)=Bf8i?-m3+4)0Akm2m1-S-4SA-1+2P=1+2獨-T刑工一4)=超1一4AT+2=超”-一二一”。二工三“;當(dāng)0(此時i=滿足式),即直線AB平行于x軸時,。二:。三.的最小值為-2.又直線AB的斜率不存在時,二百二二,所以無的最大值為2.11分
19、(ii)設(shè)原點到直線AB的距離為d,則h三二產(chǎn)-“F.即,四邊形ABCD的面積為定考點:本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系點評:對于直線與圓錐曲線的綜合問題,往往要聯(lián)立方程,同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解;而對于最值問題,則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示,然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計算方式.向量點乘類1、在直角坐標(biāo)系立加中,點尸到兩點飛用,電邛)的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為。直線p二丘+1與交于,兩點1(1)寫出的方程;(2)二_忑,求:的值.【解析】設(shè)尸(工),由橢圓定義可知,點產(chǎn)的軌跡。是以用二電為焦點:長半軸為2的橢圓,它的短半軸=匕-0=故曲線二的方
20、程為/十?=1TOC o 1-5 h z,4證明:設(shè)三石);武三;:),其坐標(biāo)滿足=雙+1-消去)并整理,得一:一;故也3x4-X,=-.JC.JC=-1尸十一右十口山麗即工聲+J史=03,而-=.;二-:;一二,41=0于是二一一:-二,解得考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.過點C(-1,0)且斜率為K,方程為了二口1),由尸封xF得-k2-6mlc-3M好一*=-k-+6uik+jmk-m:設(shè)常數(shù)為t,則2、已知橢圓二十2i=1必50)的離心率為龍,且過點求橢MM3圓的方程;(2)若過點C(-1,0)且斜率為擊的直線與橢圓相交于不同的兩點試問在k軸上是否存在點,使后,貴一工是與工無關(guān)
21、的常數(shù)若3k-1存在,求出點二的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.五三二苴【解析】.橢圓離心率為三,,a7-3.1分又橢圓過點(忑,1),代入橢圓方程,得/-.所以a-=5b:=-一14分二二T=i橢圓方程為:,即一廠二是與K無關(guān)的常數(shù).證明:(2)在x軸上存在點M屋口,,使yT假設(shè)在x軸上存在點M(m,0),使一一年二-1是與k無關(guān)的常數(shù),.直線L*=5,3k-1整理得,3m2-1-jt=9,;0小二十的1_17妙二一?。?1=0對任意的女恒成立,=o解得1131=二,即在X軸上存在點M(),使是與K無關(guān)的常數(shù).考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的數(shù)量積。點評:中檔題,
22、曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),建立了a,bac的方程組。3、已知橢圓二_二=的離心率為二,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線#=口相切,直線,;:支=州-4與橢圓C相交于(B兩點.(I)求橢圓C的方程;(II)求近一下的取值范圍;,_:_12_:_cr-lr_1故橢圓的方程為=1得:由-:二:-;::-::=:-設(shè)A(x1,yl),B(x2,y2),則-12-1003/FT+4OA-OB-Vik=-rVijn咕一琳j-16=S7Av一,vJv-116a盤1+45.二三一二二二三的取值范圍是【解析】(I)由題
23、意知=3,F一,一4,即又考點:直線與圓錐曲線的綜合問題;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4、如圖,F(xiàn),F?是離心率為正的橢圓C:(ab0)的左、右焦點,直線八x=一L將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個動點,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點,線段AB的中點M在直線l上.(I)求橢圓C的方程;(II)求二?三的取值范圍。1C-一ri逝C【解析】(I)設(shè)F2(c,0),貝IJ2=兀所以c=1.因為離心率e=2,二/=1所以a=VT.所以橢圓C的方程為二一=.1(II)當(dāng)直封BJ受直于x軸時,直線AB方程為x=此時P(一或,0)、Q(e,0),=一.當(dāng)直線AB不垂
24、直于x軸時,設(shè)直線AB的斜率為一工1=1=一v_y?=1k,M(2,m)(mO),A(x1,y1),B(x2,y2).由一二一得(x1+1x2)+2(y1+y2)修-N=0,則一1+4mk=0,故卜=荷.此時,直線PQ斜,v-m=-1,率為占二T澗,PQ的直線方程為2.即卜=7毗一加.聯(lián)立ry=口際一根.了7T消去y,整理得由冽工41)小416班+工冽=二二0.所以16笳*+父,=一cnbK一三一一.于是丁,二工=(x11)(x21)+y1y2二丁內(nèi)-工j-l_4儂_河(4祗”一河=(1-167W2-(4JW2_1)&一工。-1-7W2(1+16(2-2)4配,DJ16也1:-*igsiFPR
25、G=t29,則上,營國的取值范圍為-二二,又1VtV29,所以一但.令t=1+32m2,11火-1F.PRO&UJcTb,點丁為圓心作圓:O+獷/設(shè)圓與橢圓交于點與點y.(1)求橢圓的方程;(2)求病.百的最小值,并求此時圓丁的方程;(3)設(shè)點產(chǎn)是橢圓0上異于,的任意一點,且直線MRAF分別與x軸交于點心S,0為坐標(biāo)原點,求證:依那|口5|為定值【解析】(1)依題意,得出=2,G二=5,二匚=、氏UY=1;故二4=1橢圓-的方程為-(2)點M與點*關(guān)于T軸對稱,設(shè)配&;打),不妨設(shè):.由于點,在橢圓二上,所以-=.一=.(*)由已知:,貝IJ二二二一二,所以._S故當(dāng)“一一*時,俞一示取得最小
26、值為.由(*)式,故53,又點n在圓上,代入圓的方程得到.故圓的方程為:YY.0(3)設(shè)點天門:),則直線M尸的方程為:令=1,K工口一凝打得一:一,同理:,故.工主-乂3-M一J-(*)又點-,與點在橢圓上,故一“一,二:一,代入(*)式,網(wǎng)二|-|=|-|=4為定值考點:1.橢圓方程;2.配方法求最值.6、已知橢圓一二二=的離心率為二,以原點為圓心,橢圓的短1、,2半軸為半徑的圓與直線工1+而=0相切,直線,;:支=凡9-4與橢圓C相交于)B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)求日礪的取值范圍;1-_c_1【解析】(I)由題意知*=7=了,.5,工,即又二上=1L”故橢圓的方程為-:-:jt
27、=j?nr-4(II)解:由-丁一可一得:-4)r-24-36=0由_:.:二-=1-設(shè)-;.三:則24獻(xiàn)365二,二三的取值范圍是考點1.橢圓的方程;2.橢圓的離心率;3.直線和橢圓的綜合應(yīng)用;4.向量的數(shù)量積.7、已知橢圓二二_二二二二.,二.為其右焦點,離心率為二(I)求橢圓口二獷iJ2c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)若點于0金,問是否存在直線:?=&-加,使上與橢圓交于兩點,且(國一函(巨盲一項=0.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】(I)由題意知:。=1,.離心率故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(II)假設(shè)存在這樣的直線:丁=觸一那滿足題意,并設(shè).因為西事-于1-二,所以:8-叼M
28、wF-(苴-K-。,(用-)=口(巧一巧)&-%)-Kr-茁)-g-M-i版匚-七)=0(1_1,苞_巧)_(工制一1)金=(=kx一期由丁一二二得一一一二一二二.根據(jù)題意,S/fftrA=舊陋二-坨+,得軟2-3評0-2(-黑J即二TL=:,解得:=,或X,-X,=-=r且一所以當(dāng):=時,二尸二網(wǎng)),顯然符合題意;代入其斜率.1一得-,解得(-11)的取值范圍是.綜上所述,存在這樣的直線考點:橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系.8、已知橢圓u三二=1”萬口的離心率為,且經(jīng)過點*Q-l).(I)求T護(hù)橢圓的方程;(II)如果過點3)的直線與橢圓交于虹W兩點(5不重
29、合),求而.式的值;當(dāng)MKV為等腰直角三角形時,的方程.點與二點求直線【解析】(I)因為橢圓經(jīng)過點月&-D,力=1,因為色丁,解得二,所以橢圓的方程為了一3(0.-)(II)若過點5的直線的斜率不存在,此時因兩點中有一個點與X點重合,不滿足題目條件.?3i=kx-程為“5,把所以直線MV的斜率存在,設(shè)其斜率為則的方代入橢圓方程得2U,設(shè)64:-,則一-:】一-,為,一所以KA-:一一54-100V-9一;一一二一,由知:-;=;如果根3居,為等腰直角三角形,設(shè)的中點為F,則,且.二丁一,若心二,則,顯然滿足二-二一,此時直線=3:一更二的方程為二;若;一,貝IJ,解得一下,所以直線丁=昌_3L
30、二的方程為二一丁二,即#一T或.綜上所述:直線二的方程為或#一一-:或考點:1、求橢圓方程,2、直線與二次曲線的位置關(guān)系.9、已知橢圓Q:二.二=的離心率為史,直線:j二二+2與以原點為a2d2-3圓心、以橢圓g的短半軸長為半徑的圓相切.(I)求橢圓的方程;(|)設(shè)橢圓g的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線卜垂直于點尸,線段垂直平分線交于點,求點的軌跡G的方程;(ill)設(shè)與豈軸交于點。,不同的兩點在上,且滿足逮進(jìn)二o,求罰的取值范圍.la1=ib2【解析】(I);3,直線:一一二二:與圓一一相切,二一二3(ID二動點V到定直線.橢圓u的方程是了十萬:二一:的距離等于它到定點
31、月門1的距離,,動點打的軌跡是C為心隹線,為焦點的拋物線二點二的軌跡;二的方程為考點:1.橢圓方程;2.拋物線的定義;3.坐標(biāo)法的應(yīng)用.10、已知二、是橢圓_,二:;:的左、右焦點,且離心率二二,點cr臚2F為橢圓上的一個動點,二二三的內(nèi)切圓面積的最大值為二.(1)求橢圓的方程;(2)若是橢圓上不重合的四個點,滿足向量七與共線,不與三共線,且二元=:,求正一正的取值范圍.【解析】(1)由幾何性質(zhì)可知:當(dāng)“片三內(nèi)切圓面積取最大值時,即$才照取最大值,且T三一一=1由得一又二二二1:5=-C配_2忑為定值,一二丁4,綜上得,-二一??;又由,可得二丁,即一右經(jīng)計算得,故橢圓方程為=11612.(2)
32、當(dāng)直線-比與中有一條直線垂直于工軸時,而什薊l=64W=14.二消去可得044匯江得:升也,同理由(3+4,)0?+169+165-4g二0|就|+|一卜儂*+獷,=G+4K0+3K)以+16入+1祀-藜=。,代入弦長公式y(tǒng)=-/+2),+-1第12一消去)可得而M年+1),代入弦長公式得:3N十口,所16S由依”二十廣9嗎則/y21當(dāng)直線斜率存在但不為。時,設(shè)的方程為:=Mx+G,由”二胡工+2)的取值范圍是考點:(1)橢圓方程;(2)直線與橢圓的位置關(guān)系;(3)函數(shù)的值域.11、在平面直角坐標(biāo)系k卬中,已知橢圓k+匕=h上.)的左焦點為,b1左、右頂點分別為兒匚,上頂點為3,過段CT是圓的
33、直徑,求橢圓的離心率;三點作圓(I)若線(II)若圓的圓心在直線;上,求橢圓的方程;(III)若直線工+r交(II)中橢圓于此,交了軸于口,求13|的最大值【解析】(I)由橢圓的方程知口二1,的直徑,,橢圓離心率得圓心既在FC的垂直平分線上,也在BC的(II);圓產(chǎn)過點三點,占八、,,設(shè)F的坐標(biāo)為垂直平分線上,F(xiàn)C的垂直平分線方程為1cX三的中由得即(III)由AA千=H住+工):-4七xJ上點為22仁=,,=二的垂直平分線萬程為;則,橢圓的萬程為二心-短十二3口尸22+啊二6二1當(dāng)且v;;:當(dāng)且僅當(dāng).m-靖+口=好一記三時取等號。此時方程(*)中的A0,的最大值為1考點:直線與橢圓的位置關(guān)系
34、12、在平面直角坐標(biāo)系中,已知定點A(2,0)、B(2,0),異于A、B兩點的動點P滿足用上二_工,其中k1、k2分別表示直線AP、BP的斜率.(I)求動點P的軌跡E的方程;(II)若N是直線x=2上異于點B的任意一點,直線AN與(I)中軌跡E交予點Q,設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M(異于點B),點C(1,0),求證:|CM|CN|為定值。,其中二二二,整【解析】(I)設(shè)二工二,由二一一;得理得三點的軌跡方程為-(II)設(shè)點二:(:,),Amt=用+4=_J_郃8-2m2_2m而支二,直線斜率:一,直線與以二為直徑的圓的另一個交點為n,-的一儂.方程為,即二打:),過定點定值證法一
35、:即三點共線,又儂是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,口,卜仁、1=口環(huán)=1,為定值.定值證法二:直線。號:一:,直線二:,冊+2j得,而+i,二十直曷-聯(lián)立小十/土層一沖1-+附“口-1=(1+/)=1+1,為定值.與系數(shù)的關(guān)系式13、如圖,已知橢圓點Af滿足時,設(shè)髓中),求條件并說明理由;考點:橢圓的方程;直線與橢圓的位置關(guān)系點評:關(guān)于曲線的大題,第一問一般是求出曲線的方程,第二問常與直線結(jié)合起來,當(dāng)涉及到交點時,常用到根三一,工是長軸的左、右端點,動7:b2聯(lián)結(jié),交橢圓于點.(1)當(dāng),心息的值;(2)若為常數(shù),探究二;滿足的=;(工+2k(3)直接寫出不不?為常數(shù)的一個不同于(2)結(jié)
36、論類型:v=(x+2+=1【解析】(1)直線,2,解方程組42,得事:.所以(2)設(shè),一;=:,因為二-八”三點共線,于是vg-今)a-1.所以當(dāng)-廠-=:時,QT為常數(shù)二(3)“設(shè)耳為橢圓的焦點,C為短軸的頂點,當(dāng)為等腰三角形時,萬瓦?為常數(shù)二丁或.”或給出“當(dāng)FE-C:,時,為常數(shù)二/或.”考點:直線與橢圓的位置關(guān)系點評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。14、已知圓的方程為/=,過點4)作圓的兩條切線,切點分別為恰、,直線恰好經(jīng)過橢圓_=1rad0-)的右頂點和上頂點.(I)求橢圓的方程;(II)設(shè)是橢圓二;口=1垂直于X軸的一條弦,所在直線的方程為M壽耐:兀且是橢圓上
37、異于.八的任意一點,直線、分別交定直線,:父=于兩點0、,求證心,根據(jù)圓的切線性質(zhì),時一,土,所以,2,所以直線4的方程為3線與F軸相交于D,依題意,三所求橢圓的方程為(II)橢圓方程為了一曰,設(shè).鼻/)工(犯1則有考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問題解決問題的能力,難度較大15、已知點P(4,4),圓C:;.-=;.;.:;與橢圓E:二匚=1外出他有一個公共點A(3,1),F1、F2分別是橢圓的左、右焦a1ir212點,直線PF與圓C相切.(I)求m的值與橢圓E的方程;(II)設(shè)Q
38、為橢圓E上的一個動點,求二速的取值范圍.2分設(shè)PF斜率為k,【解析】(1)代入點A(3,1)得m=1或5,得m=1直自戔方不呈為一4二網(wǎng)文一4);盾一7+4-4A:=0用團(tuán)方程為卜-丁+2=口或+-U=1:=:所求橢圓方程為土一二X1V(2)設(shè)點考點:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,三角函數(shù)輔助角公式。點評:中檔題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,簡化解題過程。通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到三角函數(shù)式,應(yīng)用輔助角公式“化一”后,確定數(shù)量積的范圍。1
39、6、已知橢圓勺二一二二:一:;.(I)設(shè)橢圓的半焦距二二,且力成等差數(shù)列,求橢圓C的方程;(II)設(shè)(1)中的橢圓與直線j二三-1相交于兩點,求57二名的取值范圍.【解析】(I)由已知:/二十1,且,解得二二3V二,4分所以橢圓二的方程是尤產(chǎn)十1尸T(II)將-二工一:代入橢圓方程,得了二一一一,(3儲+2)入出-3=0_6k_3一二,三,則豆三,化簡得,所以,QPJDQ=x+M約=為演+屣i+113+1|=+1aw+w百+wJ+1值范圍是一了.考點:橢圓方程性質(zhì)及橢圓與直線的位置關(guān)系點評:橢圓中離心率二,當(dāng)直線與橢圓相交時,常將直線與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方法將所求問題轉(zhuǎn)
40、化為交點坐標(biāo)表示17、已知橢圓C的兩個焦點為罵(_L6二片Q0),點T(1正)在橢圓上.(I)求橢圓C的方程;(II)已知點孰2),設(shè)點產(chǎn)是橢圓上任一點,求的取值范圍.j小三十1二1(口團(tuán)0)【解析】(1)設(shè)橢圓廠的方程為:由橢圓定義,2口二M居|十|工瓦=/+以+(?+/-1尸+(戶二堂.吧也:=-:=-;:=-.故所求的橢圓方程為了一一=.(2)設(shè)三-丁二-二一二-1上.二點產(chǎn)在橢圓上,./2近而=/一工_二9-I)。3,一母三女三母.三二1;時一收有最小值2.,三,吧的范圍是-x(-V2)2+0=;%+川=一2二丹網(wǎng)二一扁.年氏_科居&nSD,則及靈二:”:-(m:-4)A+4m28m+
41、l二:-:-=-=若存在(m24)2+4m2Sjw+1為定值(上與值無關(guān)),則必有33定點百(風(fēng)0)使好十4二在其軸上存在定點使上飛二恒為定值5-3、如圖:已知橢圓二:二二:是長軸的一個端點,弦BC過橢cTb2;圓的中心o,且三三:5?-31=ZT-Z7.(1)求橢圓的方程;(2)若AB上的一點F滿足方_二與一方二:求證:CF平分NBCA;(3)對于橢圓上的兩點P、Q,NPCQ的平分線總是垂直于x軸時,是否存在實數(shù)入,使得=【解析】(I)ACSC=:.AC-SC.ZACS=9fT又二二一。三二二三匚一三二.即三二二二二.,.AOC是等腰直角三角形./A(2,0),).C(1,1)而點C在橢圓上
42、,111rL-1-+-=11=2=十=1-3.二所求橢圓方程為-(II)證明C(1,1),則B(-1,-1)又三,。K二一3OF=二.即“:一,0F=丁二二-X=三二二二二即點F分8所成的.-1+2x2,-1+201.,L定比為2.設(shè)F1一一CF,x軸,.NACF=NFCB=45,即CF平分NBCA.(Ill)對于橢圓上兩點P、Q,;NPCQ的平分線總是垂直于x軸,PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱,kpC=k,則kcQ=一k,設(shè)C(1,1),則PC的直線方程y1=k(x1)=y=k(x1)+1QC的直線方y(tǒng)1二一k(x1)y=-k(x-三十二=11)+1將代入!得(1+3k2)x26k(k1)
43、x+3k26k1=0業(yè)4-1VC(1,1)在橢圓上,/.x=1是方程的一個根,用1=1十3尸=1同理將代入x2+3y2=4得(1+3k2)x26k(k+1)x+3k2+6k1=0;C(1,1)在橢圓上,/.x=1是方程的一個根,xQ1二入,使得三9二三.4、已知橢圓c的離心率為也,直線,“二工+2與以原1日-3點為圓心、以橢圓g的短半軸長為半徑的圓相切.(I)求橢圓的方程;(|)設(shè)橢圓g的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線/工垂直于點尸,線段垂直平分線交于點,求點的軌跡二的方程;二一二二:與圓二一:;二相切,=b.b-a叵.b”2.橢圓C1的方程7=:(II),MP=MF2,
44、二動點M到定直線;,的距離等于它到定點F1(1,0)的距離,二動點M的軌跡是C為11準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點的拋物線二點M的軌跡C2的方程為r=45、(本小題滿分14分)已知橢圓看的兩焦點分別為,且橢圓上的點到角的最小距離為道工.(I)求橢圓的方程;(II)過點作直線!交橢圓于兩點,設(shè)線段的中垂線交軸于,求m的取值范圍./【解析】(I)由題意可設(shè)橢圓為護(hù),C=liT=W-l,皿=日,:=:,故橢圓三的方程為:.(II)當(dāng)I的斜率不存在時,線段的中垂線為上軸,;8分當(dāng)+3-1的斜率存在時,設(shè)的方程為一二,代入:一得:77曷一/_T-y2_-2-kx2-2_2t-,一r-不7,二加三,二線段二:(2.的中
45、點為二FTF二,中垂線方程為,令=:得且y=s=st.由,易得.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是6、如圖所示,已知圓c:q_iy_yg,為定點,2為圓上的動點,線段期的垂直平分線交于點,點的軌跡為曲線E.(I)求曲線的方程;(II)過點網(wǎng)筆)作直線(交曲線于兩點,設(shè)線段的中垂線交;軸于點-求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(I)由題意知,1叫小二又功二二二乩=-=二。.二,二動點d的軌跡是以點一;為焦點的橢圓,且橢圓的長軸長勿=2也,焦距左=2.,-r=l.,曲線三的方程為-(II)當(dāng)I的斜率不存在時,線段的中垂線為工軸,;三一/=1當(dāng).的斜率存在時,設(shè)的方程為.一二-二,代入:一得:三一由二”得,設(shè),
46、.;”:,貝IJ_ft運(yùn)v-1千看一.二口而久一卜現(xiàn)一工斗也一12,二二一;二,二一一二:一,二線段-二一jF工的中點為不7。7二,中垂線方程為,令=:得v=m,-1.由,易得.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是(-p7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點焦點在耳軸上,離心率為1,且橢圓E上2一點到兩個焦點距離之和為4;J1,是過點且相互垂直的兩條直線,交橢圓E于d,兩點,人交橢圓E于,兩點,的中點分別為植,(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求直線的斜率的取值范圍;(3)求證直線比/與直線的斜率乘積為定值.【解析】(1)設(shè)橢圓E的方程為戶a=2.c_1a22a=4.cT二護(hù)十?。旱盟运髾E圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二
47、(2)由題意知,直線的斜率存在且不為零,由于r-ij三+匕二L43(3)設(shè)次&珀k,由消去P并化簡整理即,,9同理可得“方_334Ak4二6,即直線與直線的斜率乘積為定值8、已知橢圓C::.:一一二,點M(2,1).(1)求橢圓C的焦點坐標(biāo)和離心率;(2)求通過M點且被這點平分的弦所在的直線方程.【解析】由=帕得正丁牡=牛=二七所以焦點坐標(biāo)是cS和二日)離心率”,(2)顯然直線不與x軸垂直,可設(shè)此直線方程為-:=;-,且它與橢圓的交3i-匕=情點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則士一5.所以:也+為)-乂加-城4:-畀)=又-b0)的離心率為二,其左焦點到點P(2,1)的距離為亡.不
48、過原點O的直線l與C相交于A,2B兩點,且線段AB被直線OP(I)求橢圓C的方程;(II)求二ABP的面積取最大時直線l的方平分.程.【解析】(I)由題:二$=依+力=回.(2)I工上=1圓C的方程為:二;(1)左焦點(-50)到點P(2,1)的距離為:由(1)可解得:一=:=:.,所求橢(II)易得直線0P的方程:曠=二*,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中yO=1x0./A,B在橢圓上,設(shè)直線AB的方程為-3=0一K十優(yōu),、I:y=-2(mHO)代入橢圓:然3=7x3加7)”(12-*A。且mH0.由上又有:,z叵:-一-;=./點P(2,1)到直線l的距離為:”
49、詢_斗一同1忑,亞,.,SaABP=,d|AB|=T肝癡而二百,其中-走50)的左右焦點為F2,離心率為立,以線段FF為直徑的圓的面積為一,(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l過橢圓的右焦點2F(l不垂直坐標(biāo)軸),且與橢圓交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線2交x軸于點M(m,0),試求m的取值氾圍.75又由線段F1由,【答案】(1)由離心率為亍得:片二F2為直徑的圓的面積為無得:c2=,c2=1x+/二解得a=,c=1,.b2=1,.橢圓方程為:由題意,F(xiàn)2(1,0),設(shè)I的方程為-二一;二二:代入橢圓方程為一:=:整理,得二二:6分因為I過橢圓的右焦點,,與橢圓交于不同的兩點二:設(shè)他哨了。見
50、士:丁2區(qū)5中點為0co:為),強(qiáng)的垂點平分線方程為j,則10分由于11、已知:橢圓c:W十亡=1(ab0)的左、右焦點為F/F2,e=1,過a1b2123F的直線l交橢圓C于A、B兩點,|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列,且|AB|=4O求橢圓C的方程;2(II)M、N是橢畫C上的兩點,若線段MN被直線x=1平分,證明:線段MN的中垂線過定點?!敬鸢浮浚ǎ?二二、成等差數(shù)列,/月咋打二二臼.4口山瑪|+網(wǎng)+幽=四+網(wǎng)+四二3第二,得叫3,又_c_1一二3,所以二二1,;=,一二:二,所求的橢圓方程為:9.(II)設(shè)-,、二:一二二的中點為J由題意知:衛(wèi)+工=1口、:,三十厘=19S兩式相
51、減得:(西十天X西一切)(用十巧X用一巧)=0,9即直+丑)_8雙耳+巧),所以線段工.的中垂線方程為;個”,易證,此直線經(jīng)過定點平行線類1、已知A是B是橢圓三一二=1(ab0)的頂點(如圖),直線l與橢圓口一X交于異于頂點的P,Q兩點,且lA?B,若橢圓的離心率是正,且|A2B1=222右。(1)求此橢圓的方程;(2)設(shè)直線A1P和直線BQ的傾斜角分別為q:B,試判斷a+B是否為定值若是,求出此定值;若不是,說明理由?!敬鸢浮克?,以&=1輸Ei方玉;,皿I十tan也f_t_i5ISL解$1)由巳知可用u-2.舊_力2ttl.:-Th。.”,(十%JJ“Inao:+tJJi5弱史d舊與口E)
52、,43(0,2ft),u+R=it是室前【解析】略2、已知橢圓目:_匕=1()的離心率為,直線二了=工+2與以原點為圓心、以橢圓G的短半軸長為半徑的圓相切.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓J的左焦點為,右焦點為,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線右垂直于點中,線段的垂直平分線交于點.(i)求點取的軌跡。工的方程;(ii)若為點的軌跡的過點的兩條相互垂直的弦,求四邊形一二匚二面積的最小值.出C21=r-【答案】:,=二一=士,.一;=1.直線二二二-二與圓二一一:相切,;=匚.,橢圓二的方程是匚人I.(2)二二三:W,動點:到定直線二:一】的距離等于它到定點月(1。)的距離,動點虱的軌跡G是以為準(zhǔn)線,為焦點的拋物線.二點:的軌跡二的方程為:/=4x(ii)由題意可知:直線;二的斜率存在且不為零,居Q0)令:一二一h,則:,=W-2(K+2)x+k2=0d二取一1)由韋達(dá)定理知:拋物線定義知:U二F-T-RT=,一-_-而:=5+幻+”言/+”曳滬BD_AC=BC:u=-l(x-l):二同樣可得:長杯+1BD=4=41+點)三貝IJ:IS詔=-IC-BD=8生苧1=配好十乙十2)、w“上f”皿31(七rXQ+2=32(當(dāng)且僅當(dāng)”=1時取“二”號)所以四邊形二,面積的最小值是:3、已知橢圓二二一二二的長軸長為二W,離
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