最小二乘法在數(shù)學(xué)模型建立與檢驗中的運(yùn)用

1、最小二乘法在數(shù)學(xué)模型建立與檢驗中的應(yīng)用信息與計算科學(xué)專業(yè)2008級 周建勤摘要：本文主要研究了最小二乘法在建立數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)估計數(shù)估計，模型檢驗中的應(yīng)用。通過給出最小二乘法在Matlab中的代碼計算模型參數(shù)，誤差精確度，并給出檢驗?zāi)Ｐ褪欠窬哂卸嘀毓簿€，異方差性，序列相關(guān)性方法。關(guān)鍵詞：最小二乘法；參數(shù)估計；誤差精確度；多重共線性；異方差；自相關(guān)。Application of Least-Square Method on establish and test mathematical modelZhou Jianqin ,Grade 2008,Information and Co

2、mputing ScienceAbstract: In this text we main consider application of Least-Square Method in use of parameter estimation and model checking in mathematical models. By giving the least squares methods code in Matlab to find the model Heteroscedasticity, autocorrelation method parameters,Error accurac

3、y and Test whether the model with multiple collinear heteroscedasticity, autocorrelation method.Keywords: least squares method; parameter estimation; error accuracy; multicollinearity; heteroscedasticity; autocorrelation.背景介紹 最小二乘方法最早是有高斯提出的，他用這種方法解決了天文學(xué)方面的問題，特別是確定了某些行星和彗星的天體軌跡。最小二乘法普遍適用于各個科學(xué)領(lǐng)域，它在解決

4、實際問題中發(fā)揮了重要的作用。它在生產(chǎn)實踐、科學(xué)實驗及經(jīng)濟(jì)活動中均有廣泛應(yīng)用。 近半個多世紀(jì)以來，隨著計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，所謂數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分 。數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題

5、深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。不論是用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型，并加以計算求解。 在已知系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)時，用系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)計算系統(tǒng)模型參數(shù)的過程。18世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家C.F.高斯首先提出參數(shù)估計的方法，他用最小二乘法計算天體運(yùn)行的軌道。20世紀(jì)60年代,隨著電子計算機(jī)的普及,參數(shù)估計有了飛速的發(fā)展。參數(shù)估計有多種方法，有最小二乘法、極大似然法、極大驗后法、最小風(fēng)險法和極小化極大熵法等。在一定條件下，后面

6、三個方法都與極大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。 由于測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避 免的。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進(jìn)行多余觀測。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結(jié)果并評定測量成果的精度。測量平差采用的原理就是“最小二乘法”。 由于誤差的客觀存在，真值一般是無法測得的。測量次數(shù)無限多時，根據(jù)正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等的誤差分布定律，在不存在系統(tǒng)誤差的情況下，它們的平均值極為接近真值。故在實驗科學(xué)中真

7、值的定義為無限多次觀測值的平均值。但實際測定的次數(shù)總是有限的，由有限次數(shù)求出的平均值，只能近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值。 所謂多重共線性（Multicollinearity）是指線性回歸模型中的解釋變量之間由于存在精確相關(guān)關(guān)系或高度相關(guān)關(guān)系而使模型估計失真或難以估計準(zhǔn)確。一般來說，由于經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的限制使得模型設(shè)計不當(dāng)，導(dǎo)致設(shè)計矩陣中解釋變量間存在普遍的相關(guān)關(guān)系。 經(jīng)濟(jì)學(xué)是非實驗型科學(xué)，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)是被動生成和由從事經(jīng)濟(jì)研究的人員被動獲得，而且經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的獲得是不可控的，大多數(shù)情況下，人們并不能按照自己的設(shè)計與要求獲得相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)。所以，為建模研究而取得的樣本數(shù)據(jù)常常不能提供足夠的信息，以至

8、于導(dǎo)致多重共線性的產(chǎn)生。異方差性（heteroscedasticity ）是為了保證回歸參數(shù)估計量具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)，經(jīng)典線性回歸模型的一個重要假定是：總體回歸函數(shù)中的隨機(jī)誤差項滿足同方差性，即它們都有相同的方差。如果這一假定不滿足，則稱線性回歸模型存在異方差性。 線性回歸模型中隨機(jī)誤差項存在序列相關(guān)的原因很多，但主要是經(jīng)濟(jì)變量自身特點(diǎn)、數(shù)據(jù)特點(diǎn)、變量選擇及模型函數(shù)形式選擇引起的。1.經(jīng)濟(jì)變量慣性的作用引起隨機(jī)誤差項自相關(guān)經(jīng)濟(jì)行為的滯后性引起隨機(jī)誤差項自相關(guān)一些隨機(jī)因素的干擾或影響引起隨機(jī)誤差項自相關(guān)模型設(shè)定誤差引起隨機(jī)誤差項自相關(guān)5.觀測數(shù)據(jù)處理引起隨機(jī)誤差項序列相關(guān) 文章對經(jīng)典的最小二乘方

9、法的應(yīng)用背景、原理與算法進(jìn)行了介紹，給出了它們在線性模型參數(shù)估計中的MATLAB實現(xiàn)，以經(jīng)典單方程數(shù)學(xué)模型為對象，介紹建立數(shù)學(xué)模型的過程，主要采用回歸分析的方法的數(shù)學(xué)模型，采用最小二乘法計算模型中參數(shù)，誤差估計，并檢驗?zāi)Ｐ偷亩嘀毓簿€性，異方差，自相關(guān)性。知識預(yù)備最小二乘法最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達(dá) 。最小二乘法原理在我們研究兩個變量（x,y）之

10、間的相互關(guān)系時，通?？梢缘玫揭幌盗谐蓪Φ臄?shù)據(jù)（x1,y1.x2,y2. xm,ym）；將這些數(shù)據(jù)描繪在x -y直角坐標(biāo)系中，若發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條直線附近，可以令這條直線方程如（式1-1）。Y計= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意實數(shù)為建立這直線方程就要確定a0和a1，應(yīng)用最小二乘法原理，將實測值Yi與利用（式1-1）計算值（Y計=a0+a1X）的離差（Yi-Y計）的平方和（Yi - Y計）2最小為“優(yōu)化判據(jù)”。令： = （Yi - Y計）（式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得： = （Yi - a0 - a1 Xi)2 （式1-3)當(dāng)（Yi-Y計）平方最小時，可用

11、函數(shù) 對a0、a1求偏導(dǎo)數(shù)，令這兩個偏導(dǎo)數(shù)等于零。（式1-4)（式1-5)亦即：m a0 + （Xi ) a1 = Yi （式1-6)（Xi ) a0 + （Xi2 ) a1 = （Xi,Yi) （式1-7)得到的兩個關(guān)于a0、 a1為未知數(shù)的兩個方程組，解這兩個方程組得出：a0 = （Yi) / m - a1（Xi) / m （式1-8)a1 = mXi Yi - （Xi Yi) / mXi2 - （Xi)2 ) （式1-9)這時把a(bǔ)0、a1代入（式1-1）中， 此時的(式1-1）就是我們回歸的元線性方程即：數(shù)學(xué)模型。在回歸過程中，回歸的關(guān)聯(lián)式是不可能全部通過每個回歸數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1,y1. x

12、2,y2.xm,ym），為了判斷關(guān)聯(lián)式的好壞，可借助HYPERLINK /view/172091.htm相關(guān)系數(shù)“R”，HYPERLINK /view/823590.htm統(tǒng)計量“F”，剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差“S”進(jìn)行判斷；“R”越趨近于 1 越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近于 0 越好。R = XiYi - m （Xi / m）（Yi / m)/ SQRXi2 - m （Xi / m)2Yi2 - m （Yi / m)2 （式1-10) *在（式1-1）中，m為樣本容量，即實驗次數(shù)；Xi、Yi分別任意一組實驗X、Y的數(shù)值。HYPERLINK /view/139822.htm#編輯本段最小二乘

13、法公式最小二乘法公式注：以下“平”是指某參數(shù)的算數(shù)平均值。如：X平x的算術(shù)平均值。1、（X-X平）（Y-Y平）=（XY-X平Y(jié)-XY平+X平Y(jié)平）=XY-X平Y(jié)-Y平X+nX平Y(jié)平=XY-nX平Y(jié)平-nX平Y(jié)平+nX平Y(jié)平=XY-nX平Y(jié)平；2、（X -X平）2=（X2-2XX平+X平2)=X2-2nX平2+nX平2=X2-nX平2；3、Y=kX+bk=（XY）平-X平*Y平）/（X2）平-(X平）2），b=Y平-kX平；X平=1/nXi，(XY）平=1/nXiYi；HYPERLINK /view/139822.htm#編輯本段最小二乘法擬合對給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi，Yi)(i=0,1，m），在取定

14、的函數(shù)類 中，求p(x），使誤差的平方和E2最小，E2=p(Xi)-Yi2。從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) (Xi，Yi)(i=0,1，m）的距離平方和為最小的曲線y=p(x）。函數(shù)p(x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p(x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。最小二乘法的矩陣形式Ax=b，其中A為nxk的矩陣，x為kx1的列向量，b為nx1的列向量，nk。這個方程系統(tǒng)稱為Over Determined System，如果n x=-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6; y=-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43

15、 -13.12 6.50 68.04;plot(x,y,r*),legend(實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)xlabel(x), ylabel(y),title(例7.2.1的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)的散點(diǎn)圖)運(yùn)行后屏幕顯示數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（略）. （3）編寫下列MATLAB程序計算在處的函數(shù)值，即輸入程序 syms a1 a2 a3 a4x=-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6; fi=a1.*x.3+ a2.*x.2+ a3.*x+ a4運(yùn)行后屏幕顯示關(guān)于a1,a2, a3和a4的線性方程組fi = -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913

16、/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4, -1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4編寫構(gòu)造誤差平方和的MATLAB程序 y=-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12

17、 6.50 68.04;fi=-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4, -1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4;fy=fi-y; fy2=fy.2

18、; J=sum(fy.2)運(yùn)行后屏幕顯示誤差平方和如下J= (-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)2+(a4+91/10)2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)2+(19683/100

19、0*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)2為求使達(dá)到最小，只需利用極值的必要條件 ，得到關(guān)于的線性方程組，這可以由下面的MATLAB程序完成，即輸入程序 syms a1 a2 a3 a4J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4.+171/2)2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)2+(-64/125*a1+16/

20、25*a2-4/5*a3+a4+663/25)2+(a4+91/10)2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)2; Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4);Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2)

21、, Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),運(yùn)行后屏幕顯示J分別對a1, a2 ,a3 ,a4的偏導(dǎo)數(shù)如下Ja11=56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625Ja21 = 32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625Ja31 =1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125Ja41 =23667/250*a1+67*

22、a2+18/5*a3+18*a4+14859/25解線性方程組Ja11 =0，Ja21 =0，Ja31 =0，Ja41 =0，輸入下列程序A=56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18;B=8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25; C=B/A, f=poly2sym

23、(C)運(yùn)行后屏幕顯示擬合函數(shù)f及其系數(shù)C如下C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574f=716503695845759/140737488355328*x3-7988544102557579/562949953421312*x2+1804307491277693/281474976710656*x-4648521160813215/562949953421312 故所求的擬合曲線為.（4）編寫下面的MATLAB程序估計其誤差，并作出擬合曲線和數(shù)據(jù)的圖形.輸入程序 xi=-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6; y=-192.9 -

24、85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04;n=length(xi); f=5.0911.*xi.3-14.1905.*xi.2+6.4102.*xi -8.2574;x=-2.5:0.01: 3.6; F=5.0911.*x.3-14.1905.*x.2+6.4102.*x -8.2574;fy=abs(f-y); fy2=fy.2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n, E2=sqrt(sum(fy2)/n)plot(xi,y,r*), hold on, plot(x,F,b-), hold offlegend(數(shù)據(jù)點(diǎn)(

25、xi,yi),擬合曲線y=f(x), xlabel(x), ylabel(y),title(例7.2.1的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)和擬合曲線y=f(x)的圖形)運(yùn)行后屏幕顯示數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)f的最大誤差Ew，平均誤差E1和均方根誤差E2及其數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線y=f(x)的圖形（略）.Ew = E1 = E2 =3.105 4 0.903 4 1.240 9多重共線性PLS偏最小二乘法經(jīng)典的最小二乘估計，必需滿足一些假設(shè)條件，多重共線性就是其中的一種。實際上，解釋變量間完全不相關(guān)的情形是非常少見的，大多數(shù)變量都在某種程度上存在著一定的共線性，而存在著共線性會給模型帶來許多不確定性的結(jié)果。設(shè)回歸模型如果矩

26、陣的列向量存在一組不全為零的數(shù)使得, =1,2,則稱其存在完全共線性,如果, =1,2,則稱其存在近似的多重共線性。(偏最小二乘法) H.Wold在1975年提出的 偏最小二乘法近年來引起廣泛的關(guān)注，在解決多重共線性方面能很好的達(dá)到目的，偏最小二乘法集中了最小二乘法、主成分分析法和典型相關(guān)分析的的優(yōu)點(diǎn)克服了兩種方法的缺點(diǎn)。偏最小二乘法吸取了主成分回歸提取主成分的思想，但不同的是主成分回歸只是從自變量中去尋找主成分與因變量無關(guān)，因而主成分與因變量在算法上關(guān)系不密切，從而導(dǎo)致最后主成分在實際應(yīng)用中無法更好的進(jìn)一步擬合因變量，偏最小二乘法則是從因變量出發(fā)，選擇與因變量相關(guān)性較強(qiáng)而又能方便運(yùn)算的自變量

27、的線性組合。 偏最小二乘回歸分析偏最小二乘回歸分析考慮p個因變量L與m個自變量的建模問題。偏最小二乘回歸的基本作法是首先在自變量集中提出第一成分(是的線性組合，且盡可能多地提取原自變量集中的變異信息）；同時在因變量集中也提取第一成分并要求與相關(guān)程度達(dá)到最大。然后建立因變量與的回歸，如果回歸方程已達(dá)到滿意的精度，則算法中止。否則繼續(xù)第二對成分的提取，直到能達(dá)到滿意的精度為止。若最終對自變量集提取r個成分，偏最小二乘回歸將通過建立與的回歸式，然后再表示為與原自變量的回歸方程式，即偏最小二乘回歸方程式。偏最小二乘回歸MATLAB程序代碼單因變量function y=pls(pz)row,col=si

28、ze(pz);aver=mean(pz);stdcov=std(pz); %求均值和標(biāo)準(zhǔn)差rr=corrcoef(pz); %求相關(guān)系數(shù)矩陣%data=zscore(pz); %數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化stdarr = ( pz - aver(ones(row,1),:) )./ stdcov( ones(row,1),:); % 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)結(jié)果與zscore()一致x0=pz(:,1:col-1);y0=pz(:,end); %提取原始的自變量、因變量數(shù)據(jù)e0=stdarr(:,1:col-1);f0=stdarr(:,end); %提取標(biāo)準(zhǔn)化后的自變量、因變量數(shù)據(jù)num=size(e0,1);%求樣本點(diǎn)

29、的個數(shù)temp=eye(col-1);%對角陣for i=1:col-1%以下計算 w，w*和 t 的得分向量， w(:,i)= ( e0* f0 )/ norm( e0*f0 ); t(:,i)=e0*w(:,i) %計算成分 ti 的得分 alpha(:,i)=e0*t(:,i)/(t(:,i)*t(:,i) %計算 alpha_i ,其中(t(:,i)*t(:,i)等價于norm(t(:,i)2 e=e0-t(:,i)*alpha(:,i) %計算殘差矩陣 e0=e; %計算w*矩陣 if i=1 w_star(:,i)=w(:,i); else for j=1:i-1 temp=tem

30、p*(eye(col-1)-w(:,j)*alpha(:,j); end w_star(:,i)=temp*w(:,i); end%以下計算 ss(i)的值 beta=t(:,1:i),ones(num,1)f0 %求回歸方程的系數(shù) beta(end,:)=; %刪除回歸分析的常數(shù)項 cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求殘差矩陣 ss(i)=sum(sum(cancha.2); %求誤差平方和%以下計算 press(i) for j=1:num t1=t(:,1:i);f1=f0; she_t=t1(j,:);she_f=f1(j,:); %把舍去的第 j個樣本點(diǎn)保存起來 t

31、1(j,:)=;f1(j,:)=; %刪除第j個觀測值 beta1=t1,ones(num-1,1)f1; %求回歸分析的系數(shù) beta1(end,:)=; %刪除回歸分析的常數(shù)項 cancha=she_f-she_t*beta1; %求殘差向量 press_i(j)=sum(cancha.2); end press(i)=sum(press_i) if i1 Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1) else Q_h2(1)=1 end if Q_h2(i)1 Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1) else Q_h2(1)=1 end if Q_h2(i)0.09

32、85 fprintf(提出的成分個數(shù) r=%d,i); r=i; break endendbeta_z=t(:,1:r),ones(num,1)f0; %求標(biāo)準(zhǔn)化Y關(guān)于 t 的回歸系數(shù)beta_z(end,:)=; %刪除常數(shù)項xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求標(biāo)準(zhǔn)化Y關(guān)于X的回歸系數(shù)， 且是針對標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的回歸系數(shù)，每一列是一個回歸方程mu_x=aver(1:n);mu_y=aver(n+1:end);sig_x=stdcov(1:n);sig_y=stdcov(n+1:end);for i=1:m ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i

33、)*xishu(:,i); %計算原始數(shù)據(jù)的回歸方程的常數(shù)項endfor i=1:m xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x*sig_y(i); %計算原始數(shù)據(jù)的回歸方程的系數(shù)， 每一列是一個回歸方程endsol=ch0;xish %顯示回歸方程的系數(shù)，每一列是一個方程，每一列的第一個數(shù)是常數(shù)項異方差性WLS加權(quán)最小二乘法如果模型被檢驗證明存在異方差性，則需要發(fā)展新的方法估計模型，最常用的方法是加權(quán)最小二乘法。加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計其參數(shù)。加權(quán)的基本思想是：在采用OLS方法時，對較小的殘差平方賦予較大的權(quán)數(shù)

34、，對較大的賦予較小的權(quán)數(shù)，以對殘差提供的信息的重要程度作一番校正，提高參數(shù)的精度。加權(quán)最小二乘法具體步驟是：選擇普通最小二乘法估計原模型，得到隨機(jī)誤差項的近似估計量； 建立的數(shù)據(jù)序列； 選擇加權(quán)最小二乘法，以序列作為權(quán)，進(jìn)行估計得到參數(shù)估計量。實際上是以乘原模型的兩邊，得到一個新模型，采用普通最小二乘法估計新模型。附錄資料：MATLAB的30個方法1 內(nèi)部常數(shù)pi 圓周率 exp(1)自然對數(shù)的底數(shù)ei 或j 虛數(shù)單位Inf或 inf 無窮大 2 數(shù)學(xué)運(yùn)算符a+b 加法a-b減法a*b矩陣乘法a.*b數(shù)組乘法a/b矩陣右除ab矩陣左除a./b數(shù)組右除a.b數(shù)組左除ab 矩陣乘方a.b數(shù)組乘方-

35、a負(fù)號 共軛轉(zhuǎn)置.一般轉(zhuǎn)置3 關(guān)系運(yùn)算符=等于大于=大于或等于=不等于4 常用內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)exp(x)以e為底數(shù)對數(shù)函數(shù)log(x)自然對數(shù)，即以e為底數(shù)的對數(shù)log10(x)常用對數(shù)，即以10為底數(shù)的對數(shù)log2(x)以2為底數(shù)的x的對數(shù)開方函數(shù)sqrt(x)表示x的算術(shù)平方根絕對值函數(shù)abs(x)表示實數(shù)的絕對值以及復(fù)數(shù)的模三角函數(shù)（自變量的單位為弧度）sin(x)正弦函數(shù)cos(x)余弦函數(shù)tan(x)正切函數(shù)cot(x)余切函數(shù)sec(x)正割函數(shù)csc(x)余割函數(shù)反三角函數(shù) asin(x)反正弦函數(shù)acos(x)反余弦函數(shù)atan(x)反正切函數(shù)acot(x)反余切函數(shù)a

36、sec(x)反正割函數(shù)acsc(x)反余割函數(shù)雙曲函數(shù) sinh(x)雙曲正弦函數(shù)cosh(x)雙曲余弦函數(shù)tanh(x)雙曲正切函數(shù)coth(x)雙曲余切函數(shù)sech(x)雙曲正割函數(shù)csch(x)雙曲余割函數(shù)反雙曲函數(shù) asinh(x)反雙曲正弦函數(shù)acosh(x)反雙曲余弦函數(shù)atanh(x)反雙曲正切函數(shù)acoth(x)反雙曲余切函數(shù)asech(x)反雙曲正割函數(shù)acsch(x)反雙曲余割函數(shù)求角度函數(shù)atan2(y,x)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，從原點(diǎn)到點(diǎn)（x，y）的射線為終邊的角，其單位為弧度，范圍為（ ， 數(shù)論函數(shù)gcd(a,b)兩個整數(shù)的最大公約數(shù)lcm(a,b)兩個

37、整數(shù)的最小公倍數(shù)排列組合函數(shù)factorial(n)階乘函數(shù)，表示n的階乘 復(fù)數(shù)函數(shù) real(z)實部函數(shù)imag(z)虛部函數(shù)abs(z)求復(fù)數(shù)z的模angle(z)求復(fù)數(shù)z的輻角，其范圍是（ ， conj(z)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)求整函數(shù)與截尾函數(shù)ceil(x)表示大于或等于實數(shù)x的最小整數(shù)floor(x)表示小于或等于實數(shù)x的最大整數(shù)round(x)最接近x的整數(shù)最大、最小函數(shù)max(a，b，c，)求最大數(shù)min(a，b，c，)求最小數(shù)符號函數(shù) sign(x)5 自定義函數(shù)-調(diào)用時：“返回值列=M文件名（參數(shù)列）”function 返回變量=函數(shù)名（輸入變量） 注釋說明語句段（此部分可有

38、可無）函數(shù)體語句 6進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算compose(f,g) 返回值為f(g(y)compose(f,g,z) 返回值為f(g(z)compose(f,g,x,.z) 返回值為f(g(z)compose(f,g,x,y,z) 返回值為f(g(z)7 因式分解syms 表達(dá)式中包含的變量 factor(表達(dá)式) 8 代數(shù)式展開syms 表達(dá)式中包含的變量 expand(表達(dá)式)9 合并同類項syms 表達(dá)式中包含的變量 collect(表達(dá)式，指定的變量)10 進(jìn)行數(shù)學(xué)式化簡syms 表達(dá)式中包含的變量 simplify(表達(dá)式)11 進(jìn)行變量替換syms 表達(dá)式和代換式中包含的所有變量 su

39、bs(表達(dá)式，要替換的變量或式子，代換式)12 進(jìn)行數(shù)學(xué)式的轉(zhuǎn)換調(diào)用Maple中數(shù)學(xué)式的轉(zhuǎn)換命令，調(diào)用格式如下：maple(Maple的數(shù)學(xué)式轉(zhuǎn)換命令) 即：maple(convert(表達(dá)式，form)將表達(dá)式轉(zhuǎn)換成form的表示方式 maple(convert(表達(dá)式，form, x) 指定變量為x，將依賴于變量x的函數(shù)轉(zhuǎn)換成form的表示方式（此指令僅對form為exp與sincos的轉(zhuǎn)換式有用） 13 解方程solve(方程，變元) 注：方程的等號用普通的等號： = 14 解不等式調(diào)用maple中解不等式的命令即可，調(diào)用形式如下： maple(maple中解不等式的命令)具體說，包括以

40、下五種：maple( solve（不等式）) maple( solve（不等式，變元） ) maple( solve（不等式，變元） ) maple( solve（不等式，變元） ) maple( solve（不等式，變元） )15 解不等式組調(diào)用maple中解不等式組的命令即可，調(diào)用形式如下： maple(maple中解不等式組的命令) 即：maple( solve（不等式組，變元組） )16 畫圖方法：先產(chǎn)生橫坐標(biāo)的取值和相應(yīng)的縱坐標(biāo)的取值，然后執(zhí)行命令： plot(x,y) 方法2：fplot(f(x)，xmin,xmax) fplot(f(x)，xmin,xmax,ymin,ymax) 方法3：ezplot(f(x) ezplot(f(x) ,xmin,xmax) ezplot(f(x) ,xmin,xmax,ymin,ymax) 17 求極限（1）極限：syms x limit(f(x), x, a) （2）單側(cè)極限：左極限：syms x limit(f(x), x, a,left)右極限：syms x limit(f(x), x, a,right) 18 求導(dǎo)數(shù)diff(f(x) diff(f(x),x) 或者：syms x d