典型混沌電路及其分析

1、典型混沌電路及其分析第1頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一1混沌電路綜述 一、電路中混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)與研究的歷史 電路中的混沌現(xiàn)象早在20世紀(jì)20年代就被發(fā)現(xiàn)，前面曾經(jīng)提到的范德坡的工作就涉及到電路中的混沌現(xiàn)象。實(shí)際上，范德坡所處的時(shí)代正是建立電路理論基礎(chǔ)的時(shí)代，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家急需建立振幅穩(wěn)定與頻率穩(wěn)定的振蕩電路，從而產(chǎn)生穩(wěn)定的電磁波。穩(wěn)定振蕩的數(shù)學(xué)模型是極限環(huán)，當(dāng)時(shí)的理論基礎(chǔ)還不能夠完全滿足工程技術(shù)的需要，必須由電子工程師一方面進(jìn)行工程技術(shù)設(shè)計(jì)，一方面完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論。極限環(huán)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論是微分方程理論，而且還是非線性的微分方程理論，而非線性的微分方程很容易產(chǎn)生混沌，范德坡、

2、李納德等科學(xué)家就是在這樣的情況進(jìn)行研究的。 第2頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 由于當(dāng)時(shí)混沌問題的研究歷史不成熟，就把電路中出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象認(rèn)為是一種尚未認(rèn)真研究的另一種現(xiàn)象，是一種需要消除的壞現(xiàn)象，起碼是要暫時(shí)回避的現(xiàn)象，這就是當(dāng)時(shí)科學(xué)家的態(tài)度。這個(gè)現(xiàn)象不僅在電子學(xué)領(lǐng)域中存在，而且在其它學(xué)科領(lǐng)域中也存在，例如數(shù)學(xué)學(xué)科中的龐加萊。從這里可以看出，電子學(xué)的發(fā)展歷史與其它學(xué)科的發(fā)展歷史是密切相關(guān)的，是互相推動(dòng)與互相制約的，這也正是20世紀(jì)上半葉電子科學(xué)技術(shù)的大背景，是電子學(xué)從物理學(xué)的電磁學(xué)中獨(dú)立出來并向信息科學(xué)發(fā)展的大背景。從這里還可以看出，電子學(xué)中的混沌現(xiàn)象研究與應(yīng)用研究

3、必定會(huì)蓬勃發(fā)展起來，這是歷史的必然。 再回過頭來看頻率穩(wěn)定性問題的研究。由于歷史時(shí)代要求頻率的穩(wěn)定，它與當(dāng)時(shí)的其它技術(shù)的共同發(fā)展，處于主流地位，使得線性電子技術(shù)以巨大的勢(shì)頭形成人類社會(huì)的重要產(chǎn)業(yè)，并將人類文明推向信息化歷史時(shí)代。相對(duì)說來，非線性電子學(xué)在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)處于緩慢發(fā)展的時(shí)期?！笆瓴圾Q，一鳴驚人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌電路震驚了電子學(xué)界，許多電子工作者投入了精力予以研究。 第3頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 1990年，混沌同步電路的研究再次把非線性電路研究推向一個(gè)高潮，這是因?yàn)樗闹匾饬x特別是它極有可能用于保密通信與軍事目的受到重視。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電

4、路、分形編碼、混沌測(cè)量電路等為非線性電路大家庭增加了許多新成員。到現(xiàn)在，人們提出了許許多多的混沌電路，各種混沌電路文獻(xiàn)浩如煙海，幾乎每年約數(shù)千篇的論文問世，技術(shù)上也不斷出現(xiàn)新突破。非線性電路目前處于穩(wěn)定、健康、迅速發(fā)展的時(shí)期。第4頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一二、電路系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分類 根據(jù)分類目的的不同，電路系統(tǒng)分類的形式也很不同?，F(xiàn)在按照電路動(dòng)態(tài)特性分類，它和電路狀態(tài)方程的階數(shù)有一定的關(guān)系。電路系統(tǒng)的變量是電壓、電流、電荷、電磁鏈，控制變量是電路元件電阻、電容、電感等參數(shù)。從能量的角度看，電路系統(tǒng)中有的元件（包括分布參數(shù)）從電路系統(tǒng)中吸收能量，變成熱能或輻射能等，有

5、的元件從電路工作電源吸收能量，儲(chǔ)存或消耗在電路系統(tǒng)中，電路系統(tǒng)與外界進(jìn)行著能量的交換。從信息的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般進(jìn)行信息交換，輸入信息與輸出信息。從物質(zhì)的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般不進(jìn)行物質(zhì)交換。物理學(xué)中，與外界進(jìn)行著物質(zhì)、能量交換的系統(tǒng)叫做開放系統(tǒng); 與外界不進(jìn)行物質(zhì)、能量交換的系統(tǒng)叫做封閉系統(tǒng); 與外界僅進(jìn)行能量交換的系統(tǒng)叫做耗散系統(tǒng)，因此電路系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)。 第5頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 一般地說，電路系統(tǒng)更關(guān)心的是信息交換，因而對(duì)于能量交換的關(guān)心程度相對(duì)偏少，有時(shí)侯會(huì)忽略某些重要問題，應(yīng)該引起注意?，F(xiàn)在討論電路系統(tǒng)能量交換中對(duì)于信息狀態(tài)的影響，并

6、以電路系統(tǒng)儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)及有無信號(hào)輸入進(jìn)行討論。 將不包含隨時(shí)間變化的激勵(lì)信號(hào)的電路叫做自治電路，將包含隨時(shí)間變化的激勵(lì)信號(hào)的電路叫做非自治電路。以下討論中我們把激勵(lì)信號(hào)分成“簡(jiǎn)單”的信號(hào)和“復(fù)雜”的信號(hào)，“簡(jiǎn)單”的信號(hào)如正弦波信號(hào)或者其它周期信號(hào)，“復(fù)雜”的信號(hào)如混沌信號(hào)。1、零階電路無儲(chǔ)能元件電路，即純電阻電路 純電阻電路用代數(shù)方程描述，由于純電阻電路是時(shí)不變?cè)?，所滿足的方程與時(shí)間無關(guān)，不需要列寫微分方程，僅列寫代數(shù)方程就夠了，故純電阻電路是零階電路微分方程（非微分方程）。對(duì)于零階電路微分方程，分為線性零階電路微分方程與非線性零階電路微分方程，還分為自治零階電路微分方程與非自治零階電路微分

7、方程，兩兩構(gòu)成四種零階電路微分方程。 第6頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一零階電路微分方程不存在電路運(yùn)動(dòng)問題，但是存在電路求解問題，這些問題研究成熟，方法有疊加原理、代文寧定理、諾頓定理、電壓源電流源等效變換方法等。自治零階電路不會(huì)產(chǎn)生新的動(dòng)態(tài)特性。 2、一階微分電路僅含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路電路僅有零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)問題，是研究現(xiàn)代電子電路的起步電路，一般電路分析教科書中都有詳細(xì)的討論。 3、二階微分電路含有二個(gè)儲(chǔ)能元件的電路對(duì)于自治線性二階微分電路，動(dòng)態(tài)特性為衰減振蕩或增幅振蕩，不穩(wěn)定。對(duì)于自治非線性二階微分電路，電路可以產(chǎn)生極限環(huán)，屬于穩(wěn)定振蕩電路。對(duì)于非自治非

8、線性二階微分電路，能夠產(chǎn)生混沌，如杜芬方程電路，圓周映射也屬于這種情況，并且導(dǎo)致符號(hào)動(dòng)力學(xué)的研究。對(duì)于自治非線性二階微分電路，不能夠產(chǎn)生混沌。第7頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 4、三階微分電路含有三個(gè)儲(chǔ)能元件的電路 三階非線性微分電路已經(jīng)復(fù)雜化，能夠產(chǎn)生混沌。例如蔡氏電路、洛倫茨方程電路等，這還是自治電路的情況。對(duì)于非自治電路，還能產(chǎn)生超混沌與亞超混沌。 5、三階以上微分電路運(yùn)動(dòng)特性更復(fù)雜,可能出現(xiàn)多級(jí)超混沌現(xiàn)象。將以上各種情況整理于下表。 第8頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一表4-1 電路方程的階、自治與非自治、線性與非線性的形態(tài)零階自治電

9、路一階自治電路零階非自治電路二階自治電路一階非自治電路三階自治電路二階非自治電路三階及三階以上自治與非自治電路線性非線性線性非線性線性非線性線性非線性線性非線性平衡點(diǎn)周期極限環(huán)擬周期極限環(huán)混沌亞超混沌超混沌噪聲由上表可以看出1、若電路的階數(shù)相同，則n階非自治電路與n+1階自治電路形態(tài)相同。2、盡管非線性的n階非自治電路及n+1階自治電路與線性的n+1階非自治電路及n+2階自治電路有許多相似之處，但是線性電路永遠(yuǎn)不能產(chǎn)生混沌。第9頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一三、混沌電路的定義 目前混沌電路的定義有多種形式，這里采用系統(tǒng)的初始激發(fā)已經(jīng)衰減到零時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率特性來定義

10、。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率特性粗分有下列4種： 1、噪聲響應(yīng)：系統(tǒng)輸出為噪聲，連續(xù)頻譜輸出。 2、靜態(tài)響應(yīng)：在狀態(tài)相空間，所有軌道趨于一個(gè)平衡點(diǎn)。 3、同頻周期響應(yīng)、非同頻周期響應(yīng)與準(zhǔn)周期響應(yīng)：系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)相同頻率的周期波形，即o=i; 系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)正整數(shù)倍頻率的周期波形，o=ni，n為正整數(shù); 系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)真分?jǐn)?shù)倍頻率的周期波形，即o=pi,p為真分?jǐn)?shù); 系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)基頻不可約分的周期分量波形。 4、混沌電路：與以上電路都不同的輸出，定義如下：一個(gè)由確定性運(yùn)動(dòng)方程所描述的確定性電路，由直流或確定性輸入信號(hào)所激勵(lì)，其輸出波形中包含一段或多段連續(xù)頻譜，那么稱此電路為混沌電路。第10

11、頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一四、幾種混沌電路之間的關(guān)系 1、混沌電路動(dòng)態(tài)特性的共同點(diǎn) 任何混沌電路的相圖都落在某一個(gè)奇異吸引子之中，前面幾節(jié) 討論的幾個(gè)吸引子是在三維相空間中運(yùn)動(dòng)。相圖具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： （1）一個(gè)相圖中的相軌線只有一根，無頭無尾，（平衡點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)該認(rèn)為是無窮時(shí)間，并且實(shí)際上絕對(duì)的不動(dòng)點(diǎn)是不存在的。表示運(yùn)動(dòng)無休止，永不重復(fù)，永不相交。 （2）龐加萊截面圖是分形圖，有精細(xì)結(jié)構(gòu)，無限復(fù)雜，具有自相似性。 （3）奇異吸引子有不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、吸引盆、吸引域、分形面。其中我們感興趣的是，經(jīng)常是一個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，如洛斯勒吸引子; 兩個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，如蔡氏電路、杜

12、芬方程電路、洛倫茨方程電路的吸引子等; 少數(shù)是多個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)。第11頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一2、幾個(gè)混沌電路的分組、比較與相互關(guān)系（1）從線性LRC串聯(lián)電路與LRC諧振電路演變而來的非線性電路。 線性LRC串聯(lián)電路與線性LRC諧振電路滿足的微分方程分別是 范德坡方程是 杜芬方程是對(duì)照線性LRC串聯(lián)電路與范德坡方程，范德坡方程是將線性LRC串聯(lián)電路一階導(dǎo)數(shù)的正系數(shù)2改為（x2-1）,使得當(dāng)x1時(shí)為衰減振蕩，當(dāng)x1.92k，例如R為100k，電路狀態(tài)變化中V1與V2相圖為穩(wěn)定焦點(diǎn)，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，這就是不動(dòng)點(diǎn)。R逐漸減小至1.911K時(shí)，等幅振蕩。R逐漸減小至

13、1.910K時(shí)，增幅振蕩開始，L、C2振幅增至3.7V,C1蔡氏二極管振幅增至3.7V,周期1。 第21頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 R=1.9181.820K，周期2；R=1.8191.818K，周期4； R=1.787K，周期8； R=1.786K，周期16；R繼續(xù)減少至1.750K為單渦旋圖形，這是電路第一次進(jìn)入單渦旋混沌，為洛斯勒形混沌吸引子。 R繼續(xù)減少會(huì)出現(xiàn)周期3、周期6、周期12等，并第二次進(jìn)入單渦旋混沌。這樣繼續(xù)周期-混沌-周期-混沌地演變，直至洛斯勒形混沌結(jié)束。 減少至R=1.7165K時(shí)演變成雙渦旋圖形。基本范圍是R為1.716K1.300K。仔

14、細(xì)調(diào)試R值（在1/10000精度內(nèi)）并仔細(xì)觀察還會(huì)發(fā)現(xiàn)，雙渦旋混沌相圖的演變中也有各種“周期”出現(xiàn)，例如R=1.349K時(shí)出現(xiàn)“周期5”，R=1.324K時(shí)出現(xiàn)“周期3”等。 R=1.320K1.300K,無波形，有一個(gè)短暫的不動(dòng)點(diǎn)。 R=1.200K1.000K時(shí)，10.0mS之前不動(dòng)，之后緩慢增幅振蕩從而達(dá)到最大振幅，呈單葉周期。第22頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一各種演變的波形圖、相圖等如圖4-6至圖4-7所示。(a) 穩(wěn)定焦點(diǎn),V1波形 (b)周期1,V1波形 (c)周期3,V1波形 （d)單渦旋,V1波形 (e)雙渦旋,V1波形(f)穩(wěn)定焦點(diǎn),V2波形 (g

15、)周期1,V2波形 (h) 周期3,V2波形 (i) 單渦旋,V2波形 (j) 雙渦旋,V2波形圖4-6 蔡氏電路V1與V2信號(hào)輸出波形第23頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一(a) 穩(wěn)定焦點(diǎn) (b) 周期1 (c) 周期2 (d) 周期4(e) 周期8 (f) 單渦旋混沌 (g) 周期3 (h) 周期6(i) 雙渦旋混沌 (j) 雙渦旋中的“周期3” (k) 雙渦旋中的“周期5”圖4-7 蔡氏電路相圖中看到的混沌演變（V1-V2相圖）第24頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一改變蔡氏電路的其它元件參數(shù)如L、C1、C2等參數(shù)范圍，也能夠得到以上結(jié)論。四

16、、蔡氏電路頻譜分析 因?yàn)椴淌想娐份敵霾ㄐ尾皇侵芷诓ㄐ?，也不是噪聲，而是一個(gè)混沌吸引子。這一特點(diǎn)決定它的頻譜不是離散譜，也不是光滑連續(xù)譜，而是不光滑連續(xù)譜。L、C1點(diǎn)的頻譜在不同電路狀態(tài)下的頻譜圖如圖4-8所示。周期1(R=1.83K) 周期2(R=1.80K)第25頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一單渦旋混沌(R=1.75K) 雙渦旋混沌(R=1.50K)“周期5” (R=1.3525K)圖4-8 頻譜圖第26頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 由上敘述可見，R的變化引起蔡氏電路運(yùn)動(dòng)形態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。為了便于看出蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍在參數(shù)中的

17、位置，給讀者一個(gè)印象，特將R參數(shù)值作為橫坐標(biāo)予以表示，如圖4-9所示。圖4-9 蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍示意圖 由圖可見，混沌工作區(qū)域范圍在參數(shù)中所占的比例很小，在經(jīng)典電子學(xué)中，這個(gè)范圍在電子學(xué)工作者的經(jīng)驗(yàn)中可以完全被忽略，這在其它學(xué)科中也是類似的，正是這個(gè)原因使得混沌現(xiàn)象在歷史上多次被觀察到而多次被忽視。第27頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一五、蔡氏電路仿真方法 對(duì)于蔡氏電路仿真方法，盡管有許多種專用軟件可以選擇，但是任何一種專用軟件都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的要求。現(xiàn)將常用軟件在蔡氏電路仿真方面的應(yīng)用情況列表如下:表4-2 蔡氏電路仿真軟件特點(diǎn)對(duì)比一覽表軟件名稱功能原理圖

18、電路原理圖波形圖相圖頻譜圖龐加萊截面管理界面李氏指數(shù)Protel最好最好好無好無無無Pspice好好好好很好無無無EWB好好好很好很好無無無VewSystem好好好很好很好無無無Matlab很好無很好很好編程編程編程很好VB無無編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好VC無無編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好第28頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一六、實(shí)際電路元件組成的蔡氏電路實(shí)驗(yàn)裝置 注意蔡氏電路中的電感器L，它沒有串聯(lián)的一個(gè)等效小電阻，而實(shí)際電感器L總是等效串聯(lián)一個(gè)小電阻的，若考慮這個(gè)小電阻，這種蔡氏電路就叫做蔡氏振蕩器。由于蔡氏振蕩器分析結(jié)果很麻煩，沒有多大的

19、理論價(jià)值，一般不予討論。但是電感器L等效串聯(lián)小電阻，這就引出幾個(gè)問題，第一，若用實(shí)際電感器L組成蔡氏電路，必須考慮L小電阻的影響，仿真時(shí)要在L上串聯(lián)一個(gè)小電阻。第二，若要使用無誤差的理想化的L，必須專門設(shè)計(jì)L，可用運(yùn)算放大器電路實(shí)現(xiàn)，這就是有源電感的應(yīng)用，具體電路如圖4-10所示，將有源電感單獨(dú)畫于圖4-11，并對(duì)有源電感值計(jì)算如下。第29頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一圖4-10 有源電感代替無源電感的蔡氏電路圖4-11 有源電感具體電路第30頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 當(dāng)Z1、Z3、Z5全為電阻，Z2與Z4中的一個(gè)為電容時(shí)，電路呈現(xiàn)電感

20、，將R4換成C4，則有 有源電感值計(jì)算容易，測(cè)量也容易，用雙蹤示波器的兩個(gè)探頭分別接V1與V5，可以分別看到有源電感的電壓與電流，當(dāng)置于李薩如位置時(shí)能夠看有源電感的相圖。 第31頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 典型蔡氏電路也可以改變它的局部結(jié)構(gòu)而仍然產(chǎn)生混沌輸出，上面的蔡氏振蕩器就是一例。典型蔡氏電路為基礎(chǔ)派生出來的電路很多，例如在C1兩端并聯(lián)一個(gè)小電容就能改變蔡氏電路的動(dòng)態(tài)特性。它在保密蔡氏電路中得到應(yīng)用。如果在線性電阻與C2、L端并聯(lián)一節(jié)RC電路，也能產(chǎn)生混沌輸出，并且此混沌更復(fù)雜，因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)儲(chǔ)能元件，也就使得微分方程多了一階，這樣的混沌是超混沌。 蔡氏電路的物

21、理電路實(shí)驗(yàn)具有一定的難度，這是由于混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)于電路元件參數(shù)的誤差特別敏感，一般說來，蔡氏電路中只要一個(gè)電路元件的誤差超過1%就有可能導(dǎo)致整體設(shè)計(jì)的失敗，這在后面講到的混沌同步實(shí)驗(yàn)中特別重要，要引起足夠的重視。而在線性電子線路中不存在這樣的問題。第32頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 典型蔡氏電路實(shí)驗(yàn)除仔細(xì)選擇電子元件外，對(duì)于線性電阻R的4-5位精度一定要保證，在初步實(shí)驗(yàn)中可以用2個(gè)多圈精密電位器串聯(lián)進(jìn)行細(xì)心調(diào)試，定型實(shí)驗(yàn)裝置中使用高穩(wěn)定度的電阻器元件R，需要時(shí)自行繞制電阻器R。電感器L的小電阻要在焊接之前測(cè)量出來并做好記錄以備后查，仿真時(shí)要對(duì)它進(jìn)行仿真，電子市場(chǎng)買到的普

22、通電感器一般不能產(chǎn)生混沌輸出，若必須使用電子市場(chǎng)買的普通電感器，可以使用幾只串聯(lián)，最好自己專門繞制電感器，并且需要精確測(cè)量它的參數(shù)。電子市場(chǎng)買到的普通電容器一般離散性很大，也需要精心選擇。第33頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 制作多個(gè)相同的混沌電路時(shí)，必須保證電路元件的對(duì)稱性，可以在購(gòu)買電子元件時(shí)多購(gòu)買3-10倍的元件，從中選取參數(shù)集中的元件組成設(shè)計(jì)電路。設(shè)計(jì)混沌電路參數(shù)時(shí)，盡量使較多的元件具有相同的參數(shù)，以利于元件采購(gòu)，這是混沌電子線路實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)。非線性電路的設(shè)計(jì)極易失敗，線性電子線路實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)有很大的局限性。第34頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，

23、星期一3范德坡方程及其電路 一、范德坡微分方程與二階LC振蕩電路 振蕩是自然界普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式，力學(xué)、聲學(xué)、熱力學(xué)、電工學(xué)、光學(xué)、微觀粒子中普遍存在著各種各樣的振動(dòng)，其深入研究具有理論意義與應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)研究非線性電路的極限環(huán)，它對(duì)應(yīng)電子學(xué)中的各種自激振蕩電路，并以二階電路為例進(jìn)行研究。從電子學(xué)一個(gè)世紀(jì)的歷史來看，范德坡方程電路是最早遇到的能夠產(chǎn)生混沌的電路，范德坡是第一個(gè)遇到混沌的科學(xué)家。當(dāng)時(shí)范德坡研究的是三相復(fù)振蕩器，并且進(jìn)行振蕩電路實(shí)驗(yàn)研究，當(dāng)改換振蕩頻率過程時(shí)，在耳機(jī)中聽到不規(guī)則的振蕩聲音，這正是混沌聲音，范德坡把電路中的混沌現(xiàn)象理解為是噪聲，是暫時(shí)沒有消除的電路設(shè)計(jì)缺陷 。第3

24、5頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 描述振蕩電路的微分方程是范德坡方程，它是非線性微分方程，在21世紀(jì)20年代研究電子管RLC電路時(shí)得到。與線性微分方程相比，非線性微分方程的解有兩個(gè)新結(jié)果，一是能夠產(chǎn)生穩(wěn)定性極限環(huán)，一是能夠產(chǎn)生不確定性混沌。本節(jié)重點(diǎn)討論穩(wěn)定極限環(huán)，也提及如何由穩(wěn)定極限環(huán)轉(zhuǎn)換成混沌。RLC的電壓電流關(guān)系容易導(dǎo)出所需微分方程，只要考慮到電子管電路的非線性，就能得到范德坡非線性微分電路方程?，F(xiàn)在的教科書中的多數(shù)振蕩器電路都是這樣的非線性電路，本質(zhì)就是放大器的限幅非線性。 電子電路中的振蕩電路是耗散結(jié)構(gòu)，它從直流電壓源中獲得電的能量，以儲(chǔ)能元件電容與電感進(jìn)行電

25、場(chǎng)能與磁場(chǎng)能兩種形式的電能量之間的交換，又通過其中的電阻將電能轉(zhuǎn)換成非電能的熱能。下面推導(dǎo)從晶體管LC振蕩器得到的范德坡方程。圖4-12(a)是一個(gè)簡(jiǎn)單LC振蕩器電路，等效交流電路如圖(b)，圖(b)中的電壓源是變壓器耦合電壓，來自電感的耦合電壓。第36頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 將L的串聯(lián)等效電阻r變換成并聯(lián)形式，用符號(hào)R表示，是線性電阻，如圖(c)。將三極管等效為電阻RNL如圖(d)。這個(gè)電阻是電壓控制電流型的廣義電阻，是一個(gè)非線性負(fù)電阻，推導(dǎo)如下：三極管的集電極電壓-基極電壓關(guān)系曲線是反向變壓器決定的曲線，如圖(e)所示。三極管的基極電壓-基極電流關(guān)系曲線，

26、如圖(f)所示，其中ube1是發(fā)射結(jié)導(dǎo)通電壓，對(duì)于硅材料約0.65伏。三極管的基極電壓-集電極電流在放大區(qū)是線性關(guān)系，飽和后集電極電流不再改變，由直流電壓源的電壓與集電極直流電阻決定，如圖(g)所示。結(jié)合圖(f)與圖(g)，得到圖(h)基極電壓-集電極電流關(guān)系曲線，整個(gè)曲線呈現(xiàn)“S”型，如圖(h)所示。綜合圖(e)與圖(h)得到集電極電壓-集電極電流關(guān)系曲線，如圖(i)所示。這就是最終的廣義電阻特性曲線，請(qǐng)與右上角的線性電路比較。為了下面的公式簡(jiǎn)化，做坐標(biāo)平移，將圖(i)坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)，如圖(j)所示。 第37頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一圖4-12 范德坡電路廣

27、義電阻推導(dǎo)用圖第38頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 圖4-12(i)中的特性曲線描繪的是本電路中RC諧振時(shí)，或者說是集電極負(fù)載是純電阻時(shí)的晶體管集電極電壓-集電極電流關(guān)系曲線，用三次項(xiàng)表示，這一特性曲線可以用如下公式表達(dá)：移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)去掉直流項(xiàng)，如圖(j)所示，上式去掉下標(biāo)，表達(dá)式成為且有g(shù)10，g30 由圖4-12（j）建立電路狀態(tài)方程比較方便 4-1 4-2 4-3 將3-22代入，將4-2代入，第39頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一擬將4-4式改寫成無量綱的數(shù)學(xué)方程，作如下變換 4-4 得到下面的范德坡方程 4-5 第40頁，共63頁，2

28、022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 4-6 消取x2，容易將上式改寫成 4-7 范德坡發(fā)現(xiàn)，當(dāng)值變大時(shí)，振蕩波形變成方波，范德坡稱之為張弛振蕩，它對(duì)于某些強(qiáng)迫頻率特別敏感，可以不需共振而鎖定在強(qiáng)迫頻率上，從而能夠產(chǎn)生混沌。范德坡方程具有很有趣的結(jié)果，特別是受迫范德坡方程 使得人們?nèi)プ龈钜徊降难芯?。范德坡方程有一個(gè)變形形式 第41頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 與人的心臟跳動(dòng)的波形接近，可以作為心臟搏動(dòng)的模型，心電圖由P、Q、R、S和T五個(gè)波段組成，心跳是一種張弛振蕩，心律不齊是包括健康人在內(nèi)的常見狀態(tài)，嚴(yán)重心律不齊則是心臟疾病，用數(shù)學(xué)方法或者電路方法模擬心律不

29、齊并分析其規(guī)律性涉及生命科學(xué)技術(shù)問題，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。歷史上的范德坡就對(duì)于此問題特感興趣，他發(fā)表了重要文章心臟搏動(dòng)是張弛振蕩及一個(gè)心臟的電模型，含有清晰的用混沌學(xué)觀點(diǎn)研究生命科學(xué)的思想方法。第42頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一二、范德坡方程定性討論 對(duì)于范德坡方程，它的積分曲線可以使用三種標(biāo)準(zhǔn)方法求得，一是嚴(yán)格意義下的純數(shù)學(xué)分析方法，找出其運(yùn)動(dòng)形態(tài); 二是數(shù)值計(jì)算方法做出其積分曲線; 三是憑經(jīng)驗(yàn)使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，下面先使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。對(duì)比方程是線性RLC串聯(lián)諧振電路方程第43頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一對(duì)應(yīng)于

30、普通電路中，R總是正值，構(gòu)成阻尼因子，使電流輸出有三種形式：阻尼振蕩、欠阻尼振蕩與過阻尼振蕩，三種情況都是衰減振蕩，都是一次微分項(xiàng)系數(shù)（1/RC）0。對(duì)照范德坡方程，當(dāng)0，若|x|1，表示振蕩振幅比較大，則，與式3-28描述的電路形態(tài)相同，電路系統(tǒng)呈現(xiàn)正電阻特性，LC電路系統(tǒng)消耗能量為衰減振蕩; 反之，若|x|1，則，電路系統(tǒng)呈現(xiàn)負(fù)電阻特性，LC電路系統(tǒng)增加能量為增幅振蕩。因此可以猜測(cè)到，電路輸出等幅振蕩，這是通常LC振蕩電路系統(tǒng)研究方法所講述的內(nèi)容。等幅振蕩的相圖圖形是一個(gè)封閉的環(huán)形，數(shù)學(xué)上稱為極限環(huán)，動(dòng)力學(xué)中稱為吸引子，是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，無混沌。當(dāng)1，呈現(xiàn)負(fù)電阻特性，電路系統(tǒng)發(fā)散; 若|x

31、|0，顯示出清晰的極限環(huán)。 第47頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一(a) =-0.02 (b) =-0.01 (c) =0(d) =0.1 (e) =0.5 (f) =1第48頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一(g) =2 (h) =3圖4-14 范德坡方程極限環(huán)第49頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一圖4-15 MATLAB的范德坡波形與極限環(huán)運(yùn)行結(jié)果第50頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一4普通混沌電路 一、研究普通混沌電路的背景與意義 前面討論過的各種各樣的混沌電路以及所依據(jù)的非線性方程，由于歷史的

32、原因或者其它原因，從電子電路設(shè)計(jì)的角度來看，總是帶有“特殊性”的“手工工藝品”，使得這些非線性電路設(shè)計(jì)不很流暢。現(xiàn)代電子電路發(fā)展很快，可以提供的電路設(shè)計(jì)手段很多，另一方面，非線性方程也很多。因而，用電子電路設(shè)計(jì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)是很容易的，稍微使用一些電路技巧就可以設(shè)計(jì)出很多很靈活的非線性電路系統(tǒng)。 電子電路的內(nèi)容既豐富又靈活，像一座大舞臺(tái)，電子學(xué)工作者們?cè)谶@里創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)電子電路的奇跡。如果說前面幾節(jié)講述的著名非線性電路是著名科學(xué)家在特定領(lǐng)域內(nèi)創(chuàng)造的奇跡，那么，本節(jié)敘述的就是廣大的電子工作者各顯神通壯闊場(chǎng)面。第51頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一二、非線性電路組成單元

33、 一個(gè)非線性電路是由幾個(gè)基本單元電路組成的，這些基本單元電路多數(shù)是線性基本單元電路，而非線性基本單元電路很少，一般是一個(gè)。線性基本單元電路有的僅是一個(gè)單一線性電路元件，如電阻器、點(diǎn)容器、電感器等，有的是一個(gè)線性單元電路，如工作在線性放大區(qū)的反向比例放大器、反向加法器、減法器、同向放大器、反向微分器、反向積分器等，如圖4-16所示。 第52頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一(a)反向比例放大器 (b)反向加法器 (c)減法器 (d) 同向放大器 (e) 反向微分器 (f) 反向積分器圖4-16 非線性電路設(shè)計(jì)常用的線性單元電路第53頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)

34、33分，星期一經(jīng)常用到的非線性單元電路有：限幅運(yùn)算放大器、乘法器、絕對(duì)值器、正向電壓傳送器、反向電壓傳送器、運(yùn)算符號(hào)器、正向階躍信號(hào)器等。這些非線性單元電路有的是一個(gè)單一電子元件，如二極管; 有的是不太復(fù)雜的基本電路，如表4-3所示。表中的改進(jìn)電路主要是對(duì)于基本電路的阻抗的改進(jìn)。第54頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一表4-3 常用的非線性單元電路第55頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一 當(dāng)前的電子電路系統(tǒng)與其它學(xué)科相比，能夠產(chǎn)生更多的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，這是因?yàn)殡娮与娐废到y(tǒng)內(nèi)容很多，設(shè)計(jì)靈活，價(jià)格低廉，以上所述的非線性單元電路僅僅是其中的一部分，就呈現(xiàn)出很多的類型了，這也是電子電路系統(tǒng)成為非線性學(xué)科中比較活躍的一個(gè)領(lǐng)域的主要原因。下面舉例介紹幾個(gè)能夠產(chǎn)生非線性特性的電子電路系統(tǒng)。三、一種由運(yùn)算放大器為主要元件構(gòu)成的混沌電路 運(yùn)算放大器自身的限幅特性是典型的非線性特性，使得非線性或分段線性器件無須特意構(gòu)造，簡(jiǎn)化了電路設(shè)計(jì)。一個(gè)具體的運(yùn)算放大器混沌電路如圖4-17所示，它是由反相加法器、反相積分器、比例放大器等線性運(yùn)算單元構(gòu)成的一個(gè)三階非線性自治電路。 第56頁，共63頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)33分，星期一圖4-17 一種以運(yùn)算放大器為主構(gòu)成的混沌電路 圖4-18