同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、 高考明方向1.懂得 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin 2cos 21,sin costan. 2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo) 出 2, 的正弦、余弦、正切的 誘導(dǎo)公式 備考知考情同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式中的 , 2 是高考的熱點(diǎn) ,題型既有挑選題、 填空題,又有解答題, 難度為中低檔題 ,主要是誘導(dǎo)公式在三角式求值、 化簡(jiǎn)的過(guò)程中與同角三角函數(shù)的關(guān)系式、 和差角公式及倍角公式的綜合應(yīng)用,一般不單獨(dú)命題, 在考查基本運(yùn)算 的同時(shí),留意 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法 . 一、學(xué)問(wèn)梳理 名師一號(hào) P47學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系sin2cos 2;1tansin cos留意：名

2、師一號(hào) P50 問(wèn)題探究 問(wèn)題 1 在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中應(yīng)留意哪些技巧？利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值時(shí),涉及兩個(gè)同角基本關(guān)系 sin 2cos 21 和 tansin cos,它們揭示同一角 的各三角函數(shù)間的關(guān)系 ,需要在復(fù)習(xí)中通過(guò)解題、懂得、把握特殊是 利用 sin 2cos 21 及變形形式 sin 21cos 2或 cos 21sin 2 進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算時(shí),要留意符號(hào)判定學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 誘導(dǎo)公式記憶口訣 : 奇變偶不變,符號(hào)看象限 . 留意：名師一號(hào) P50 問(wèn)題探究 問(wèn)題 2誘導(dǎo)公式的記憶口訣 “ 奇變偶不變,符號(hào)看象限 ” 中的 “ 符號(hào) ” 是否與 的大小有關(guān)？無(wú)關(guān),只是把

3、 從形式上看作銳角 ,從而 2kkZ, , 2, 2分別是第一、三、四,二、一、二象限角二、例題分析：（一 求值例 11 名師一號(hào) P50 對(duì)點(diǎn)自測(cè) 4（09 全國(guó)卷文）sin585o的值為 D 3A 2 B2 C32222答案： A 例 1 補(bǔ)充 （2）cos17的值為3答案：12例 1 補(bǔ)充 （3） tan1665的值為答案：1留意： 補(bǔ)充 求任意角的三角函數(shù)值：負(fù)化正 正化主 0,2 主化銳例 1.4 名師一號(hào) P51 高頻考點(diǎn) 例 21 2022 安徽卷 設(shè)函數(shù) fxx R滿意 fx fxsinx.當(dāng) 0 x 時(shí), fx0,就 f 23 6 A.1 2 B. 3 2 C0 D1 2解:

4、1由題意得 f 23 6f 17 6sin17 6f 116sin11 6sin17 6f 5 6sin5 6sin11sin17 601 21 21 21 2. 練習(xí) : 補(bǔ)充 （2022 重慶卷文）以下關(guān)系式中正確選項(xiàng)（）cos1000sin1680 Bsin1680sin1100 cos10Asin110C0sin110sin1680 cos10 Dsin168cos100sin110【答案】 C sin168sin18012 sin12 ,cos10cos9080 sin80由于正弦函數(shù) y sin x 在區(qū)間 0 ,90 上為遞增函數(shù),因此sin11 sin12 sin80 ,即 s

5、in11 sin168 cos10 ；練習(xí)： 如下列圖的程序框圖,運(yùn)行后輸出結(jié)果為 A1 B2680 C2022 D1340 答案：C 例 2.1 名師一號(hào) P51 高頻考點(diǎn) 例 11 已知 ,3 2,tan2,就 cos_. 解:依題意得 tansin cos2,sin 2cos 21,由此解得 cos 21 5；又 ,3 2,因此 cos5 5 . 法二 :. 利用直角三角形求解留意： 補(bǔ)充 三角函數(shù)求值中直角三角形的運(yùn)用先依據(jù)所給三角函數(shù)值, 把角看成銳角構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形,求出該銳角的各三角函數(shù)值, 再添上符號(hào)即可變式 1: 已知 是第三象限角, tan2,就 cos_.變式 2:

6、已知 tan2,就 cos_. 留意： 補(bǔ)充 利用同角關(guān)系由正弦、余弦、正切三個(gè)中知一求二關(guān)注角終邊所在位置對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響練習(xí)： 已知cos12,求 sin和 tan；513【答案】當(dāng)5 ,tan135 ,tan13是第一象限時(shí),sin125當(dāng)是第四象限時(shí),sin12k21k例 2.2 名師一號(hào) P51 高頻考點(diǎn)例 31 1記 cos80k,那么 tan100 等于 A.2 1kB2 1kC.kDkk2 1k解析由于 cos80cos80k,所以 sin80 1cos 2801k 2,所以 tan100 tan80 sin80 cos802 1kk. 例 3（1）名師一號(hào) P51 高頻

7、考點(diǎn)例 22 已知 tan 6 3,就 tan 5 6 _. 例 3（2） 補(bǔ)充 已知 cos 41 4,就 sin2A7 8B. 7C31 32D. 31 328答案： A留意： 補(bǔ)充 關(guān)注已知角與待求角是否滿意練習(xí) 1: 已知cos6kk3Z或是倍半關(guān)系；2,3答案：就cos5sin266233練習(xí) 2: 已知 cos5 12 1 3,且 2,就 cos 12_. 答案：2 23練習(xí) 3: 已知 sin 6 1 4,就 sin 62 _. 答案 78解析 sin 62 cos 2 62 cos 32 12sin 2 6 7 8. 練習(xí) 4: 對(duì)任意的 a,0,總存在 x0使得 acosxa

8、0成立,就 sin2x0 6的值為 _答案：12例 4名師一號(hào) P52 特色專題【典例】1已知 sincos1 8,且 5 4 3 2,就 cossin 的值為 A2 3B. 2 3 C3 4 D.3 4【規(guī)范解答】15 4 3 2；cos0, sin0 且|cos|0. 又cossin 212sincos121 83 4,cossin2 . 32已知 sin cos 3 2 ,就 sincos_. 【規(guī)范解答】2由 sin cos 2 3 . 2 得 sincos2 3,將兩邊平方得12sincos2 9,故 2sincos7 9. sincos 212sincos1 7 916 9 . 又

9、 20,cos0. sincos4 3. 【名師點(diǎn)評(píng)】解 決 此 類 問(wèn) 題 的 關(guān) 鍵 是 等 式 sincos12sincos.但要特殊留意對(duì) sincos 符號(hào)的關(guān)注sincos,sin cos,數(shù)學(xué)思想系列之 三 sincos 及 sincos 間的方程思想 對(duì)于 sincos,sincos,sincos 這三個(gè)式子,已知其中的一個(gè)式子的值,可利用公式sincos 212sincos,求其余兩式的值,表達(dá)了方程思想的應(yīng)用6 月 19 日 15 班講解至此例 5 補(bǔ)充 （2）已知sincos5,2就tan1tan答案：8留意： 補(bǔ)充 （1）sincos212sincos（2）利用tans

10、in,進(jìn)行 切化弦cos ,sin涉及 sincos,sincos的問(wèn)題cos常采納平方法求解例 4（3）名師一號(hào) P51 高頻考點(diǎn) 例 3（2）已知 sin 5aa 1,a 0求 cos14 5tan 11 5cos26 tan 9 5 5 的值解 cos14 5tan 11 5cos26 tan95 5 cos 5tan 5tan 5 cos 5 sin 5cos sin 2 55 a1a a2a1a 32a2. 練習(xí)： 已知 x 0,sin x cos x 12 5求 sin x cos x 的值；2求 sin 2 x 2sin x 的值1 tan x答案： 7 245 175練習(xí)： 已

11、知 s i n , c o s是方程 4 x 24 m x 2 m 1 的兩個(gè)根,3 2,求角2答案：m123或m123（舍去）53法二：x2x112x2 m10 x1,m22例 5（1）名師一號(hào) P50 對(duì)點(diǎn)自測(cè) 2 如 tan2,就sincos sincos的值為 A1 3 B5 3 C.1 3 D.5 3解析 sincossincostan1tan121211 3. 例 5（1）名師一號(hào) P51 高頻考點(diǎn) 例 12 已知sin3cos 3cossin5,就 sin 2sincos 的值是 A.2 5 B2 5 C 2 D2 解:由sin 3cos 3cossin5,得 tan3 3tan

12、5,即 tan2. 所以 sin 2sincossin sin 2sincos2cos 2tan 2tantan 21 2 5. 留意： 補(bǔ)充 知 tan 的值,求關(guān)于 sin、cos 齊次式的值2 2（1）利用 sin cos ;1將關(guān)于 sin、cos 齊次整式化為關(guān)于 sin、cos齊次分式 ,如asinbcos等；csindcos（2）利用tansin,進(jìn)行 弦化切 ,cos、cos 齊次分式的分子、分母即將 關(guān)于 sin同除以cos2、cos等轉(zhuǎn)化為關(guān)于 tan的表達(dá)式求解；周練 15-16 （2）16、（本小題滿分12 分）已知 tan2 1 求 tan4的值；2 求sin2sinsin 2cos21的值cos（二化簡(jiǎn)例 1. 補(bǔ)充 化簡(jiǎn)：1sin1sin 1sin 1cos1cos1cos1sin1cos分析： “ 脫” 去根號(hào)是我們的目標(biāo),這就希望根號(hào)下能成為完全平方式,留意到同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式, 利用分式的性質(zhì)可以達(dá)到目標(biāo)解析：原式1sin cos 221sin2cos 21cos sin 221cos2sin 21sin |cos|1sin |cos|1cos |sin|1cos |sin|2sin |cos|2cos留意：名師一號(hào) P48 高頻考點(diǎn)例 2 規(guī)律方法留意：名師一號(hào) P51 問(wèn)題探究 問(wèn)題 3 三角函數(shù)