復(fù)變函數(shù)與積分變換1.解析

1、1.3.4 解析函數(shù)的概念1 導(dǎo)數(shù)與微分2 C-R條件3 解析與奇點(diǎn)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義 定義2設(shè) 是定義在區(qū)域E上的存在，則稱 在 點(diǎn)可導(dǎo), 并把這個(gè)極限值稱為 在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記做 復(fù)變函數(shù), z0是區(qū)域E內(nèi)的定點(diǎn). 若極限 定義中的極限式可以寫為 即當(dāng) 在 點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), 注意的方式是任意的. 此時(shí)，對(duì)E內(nèi)任意一點(diǎn)z, 有 也可用 等表示 在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 若 在區(qū)域 E內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 則稱 在區(qū)域 E內(nèi)可導(dǎo).則 例1設(shè) 在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，且 解因?yàn)樗岳?證明 在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo). 證明對(duì)復(fù)平面內(nèi)任意點(diǎn)z, 有 故 這說(shuō)明 在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù). 但是, 設(shè)

2、沿著平行于x 軸的方向趨向于 0, 即于是所以的導(dǎo)數(shù)不存在.設(shè) 沿著平行于y 軸的方向趨向于 0, 即2、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)f (z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù), 但函數(shù)f (z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo). 事實(shí)上,由 f (z)在z0點(diǎn)可導(dǎo), 必有).()()()( 000zfzzfzzfz-D-D+=Dr令 ,)()(lim000zfzzfz=D+D所以再由即在處連續(xù). 反之, 由 知, 不可導(dǎo). 但是二元實(shí)函數(shù) 連續(xù), 于是根據(jù) 知, 函數(shù) 連續(xù).3、求導(dǎo)法則 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣

3、，因而實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且證明方法相同.求導(dǎo)公式與法則:(1)其中c為復(fù)常數(shù).(2)其中n為正整數(shù).其中其中與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù), 且二、 解析函數(shù) 定義2.5 在區(qū)域D有定義. (1) 設(shè) , 若存在 的一個(gè)鄰域，使得 在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱 在 處解析,也稱 是 的解析點(diǎn). (2) 若 在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 在區(qū)域D內(nèi)解析, 或者稱 是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù). (3) 設(shè)G是一個(gè)區(qū)域，若閉區(qū)域 且 在G內(nèi)解析，則稱 在閉區(qū)域 上 解析. 函數(shù) 在 處解析和在 處可導(dǎo)意義不同，前者指的是在 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo), 但后者只要求在 處可導(dǎo). 函數(shù) 在 處解析和在

4、 的某一個(gè)鄰域內(nèi)解析意義相同. 復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的. 事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo). 反之, 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo), 則對(duì)任意 存在z的某一個(gè)鄰域U, 使得U D,由 在D內(nèi)可導(dǎo), 可知 在U內(nèi)可導(dǎo), 即在z處解析.若函數(shù) 在 處不解析，則稱 是 的奇點(diǎn). 若 是 的奇點(diǎn), 但在 的某鄰域內(nèi), 除 外, 沒(méi)有其他的奇點(diǎn)，則稱 是函數(shù) 的孤立奇點(diǎn). 由例1和例2知, 函數(shù) 是全平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù) 是處處不解析的連續(xù)函數(shù). 根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論.定理2.6 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析, 則 也在D內(nèi)解析. 當(dāng) 時(shí), 是的解析點(diǎn). 特別

5、地, 多項(xiàng)式P(z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外解析, 分母為零的點(diǎn)是有理分式的孤立奇點(diǎn). 例3證明 在 處可導(dǎo), 但處處不解析. 證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因此 在 處可導(dǎo)，且 當(dāng) 時(shí), 由 得 故雖然但是當(dāng) z分別從平行于x, y軸方向趨于z0時(shí)， 分別 以1和-1為極限，因此 不存在. 又因?yàn)?所以 不存在，即 在 時(shí)不可導(dǎo), 從而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析. 1.4.2 復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件 如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及

6、 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問(wèn)題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？一. 解析函數(shù)的充要條件 記憶定義 對(duì)于二元實(shí)函數(shù)u(x, y)和v(x, y)，方程 稱為柯西-黎曼方程(簡(jiǎn)稱C-R方程).定理2 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)有定義， 則 f (z)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是（1）u(x, y) 和 v(x, y) 在點(diǎn) (x, y ) 可微；（2）u(x, y) ， v(x, y) 在點(diǎn) (x, y )滿足柯西-黎曼方程上述條件滿足時(shí)，有 由

7、此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái). 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的. 定理2的證明略。由解析函數(shù)的定義及定理2，我們可以得到定理3.定理3 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是 （1）u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微（2）u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程解析函數(shù)的判定方法: (1) 如果能夠用求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)f (z)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在, 則可直接斷定f (z) 在區(qū)域D內(nèi)解析. (2) 如果復(fù)變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(

8、x,y)中的函數(shù) u(x,y)和 v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (因而u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微), 并且滿足柯西-黎曼方程, 則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù)f (z)在區(qū)域D解析.判定復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性與解析性的步驟：I) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性；II) 驗(yàn)證C-R方程；III）根據(jù)推論或定義判斷函數(shù)的解析性。 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的, 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, 并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.復(fù)變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在可導(dǎo)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為二. 舉例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解 (1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則(2) f (z)=ex(cosy