數字圖象處理第四章

1、卷積和信號采樣信號與系統(tǒng)知識主要內容1 圖像系統(tǒng)理論2 卷積3.常用函數1 圖像系統(tǒng)理論1.1系統(tǒng)的定義所謂“系統(tǒng)”就是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。對圖像而言，不同的成像手段會得到不同的圖像系統(tǒng)。1.2 圖像系統(tǒng)的分類(1)空間位置連續(xù)和離散系統(tǒng)空間位置連續(xù)系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入和輸出圖像都是空間位置連續(xù)的信號?？臻g位置離散系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入和輸出圖像都是空間位置離散的信號。用向量與矩陣理論進行分析。數字圖像的系統(tǒng)：是一個混合系統(tǒng)，輸入是空間位置連續(xù)的信號，輸出是離散的信號。(2) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 定義：輸入變量和輸出變量對輸入變量所有可能的輸入均具有可加性與齊次

2、性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。一維系統(tǒng)， 以時間t作為系統(tǒng)變量。二維系統(tǒng)， 以空間坐標x,y作為系統(tǒng)變量。1 圖像系統(tǒng)理論其中H表示對圖像進行H運算(3)位移不變系統(tǒng)和位移變化系統(tǒng)位移不變系統(tǒng)：成像參數不隨空間位置改變而變化的系統(tǒng)。若 則大多數成像系統(tǒng)是在一定條件下可以看做線性的，且位移不變的。1 圖像系統(tǒng)理論主要內容1 圖像系統(tǒng)理論2 卷積3.常用函數圖像處理系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)。圖象變換可以看成是一幅圖象經過一個系統(tǒng)生成的結果：f(x,y) h(x,y) g(x,y)。因此，實際上，是要根據我們需要待處理的信號形式f(x)，來設計所謂的系統(tǒng)傳遞函數H，那么這個系統(tǒng)的傳遞函數和輸入信號，在數學上的形

3、式就是所謂的卷積關系。2 卷積系統(tǒng)的響應不僅與當前時刻系統(tǒng)的輸入有關，也跟之前若干時刻的輸入有關，因為我們可以理解為這是之前時刻的輸入信號經過一種過程（這種過程可以是遞減，削弱，或其他）對現在時刻系統(tǒng)輸出的影響，那么顯然，計算系統(tǒng)輸出時就必須考慮現在時刻的信號輸入的響應以及之前若干時刻信號輸入的響應之“殘留”影響的一個疊加效果。 像平面上的分布是物平面上各點產生的分布疊加以后的結果. 需用卷積運算來描述.2 卷積1.1一維卷積(1) 一維連續(xù)卷積定義 對于兩個函數 和 ， 其卷積定義為 式中*表示卷積運算(2)一維離散卷積定義 對于兩個給定長度為m和n的序列f(i)和h(j) 有m+n-1長的

4、序列如果按照我們上面對向量卷積的定義來處理坐標向量：(1 3 2)*(2 5)f(0)=1,f(1)=3,f(2)=2; h(0)=2,h(1)=5,輸出m+n-1=4g(0)=f(0)h(0)+f(1)h(-1)g(1)=f(0)h(1)+ f(1)h(0)+f(2)h(-1)g(2)=f(0)h(2)+f(1)h(1)+ f(2)h(0)+f(3)h(-1)g(3)=f(0)h(3)+f(1)h(2)+f(2)h(1)+f(3)h(0) _ 2 3 1 2 5 - 10 2 3 1 _ 2 5 - 6+5=11 2 3 1 _ _ 2 5 - 2 2 3 1 2 5 - 4+15 =19(

5、3) 一維離散卷積計算過程對位相乘求和法:序列倒置移位相乘取和 研究一下初中就學過的多項式相乘的運算. 舉例：(x2+3x+2)(2x+5) (x2+3x+2)(2x+5)= (x2+3x+2)2x+(x2+3x+2)5 =2x3+6x2+4x+5x2+15x+10 = 2x3+11x2+19x+10實際上,從線性代數可以知道,多項式構成一個向量空間,其基底可選為 1,x, x2, x3,. 如此,則任何多項式均可與無窮維空間中的一個坐標向量相對應, 如,( x2+3x+2)對應于 (1,3,2), (2x+5)對應于(2,5). 多項式相乘,相當于系數向量的卷積2 卷積(4) 卷積的性質(a

6、) 卷積滿足交換律 Commutative Propertyf(x) *h(x) = h (x)* f (x) 推論:卷積是線性運算 Linearity av(x) + bw(x) *h(x) = av(x)*h (x) + bw(x ) *f (x) (b) 卷積滿足分配律 Distributive Propertyv(x) + w(x) *h(x) = v(x) * h (x) + w(x ) *f (x) (c)卷積滿足結合律 Associative Property v(x) *w(x) *h(x) = v(x) *h(x) *w(x)= v(x) *w(x) * h(x)(d) 卷積

7、的位移不變性 Shift invariance 若f(x) * h(x) = g(x), 則 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0) (e) 卷積的縮放性質 Scaling 若f(x) * h(x) = g(x), 則 2.2 二維卷積1 二維卷積定義2 離散二維卷積定義3 二維卷積的矩陣計算步驟例計算下面兩個矩陣的卷積。m1=2,n1=2; m2=3,n2=3 M=4 N=4各類模板運算的本質是什么？模板操作是一種空域卷積操作！對圖像中各點處理一遍，所生成的圖像相當于原圖像通過了一個線性位置不變系統(tǒng)(模板圖像)產生

8、的響應。驗證一下模板操作大家動手驗證一下主要內容1 圖像系統(tǒng)理論2 卷積3.常用函數1）矩形脈沖（Pi Function）A-a/2a/23 常用函數2）三角脈沖（ Lamda Function ）B-bb3 常用函數3）高斯函數（Gaussian Function） 3 常用函數4)Sa函數 性質 4) 沖激函數、脈沖函數 （Delta Function） （狄拉克函數）（1）狄拉克函數定義0 x0 xx03 常用函數(c)乘積性質設f (x)在x0點連續(xù), 則: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函數與d-函數的乘積,是幅度變化了的d-函數(b)縮放性質因子

9、a影響函數的高度(a)篩選性質 sifting（2）狄拉克函數的性質3 常用函數包含脈沖函數的卷積即任意函數與d(x) 卷積后不變根據 1. d-函數是偶函數, 2. d-函數的篩選性質, 有:任意函數與脈沖函數卷積的結果, 是將該函數平移到脈沖所在的位置，可以得到在任意位置x-x0處的采樣. f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 結論：f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產生f(x)的函數波形利用卷積的篩選性質可得:f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0)證明一下！3 常用函數在二維情況下可寫成：d (x-x0,y-y0)(x0,y0)xyxy3 常用函數篩選性質卷積性質說明函數 與 卷積，產生原函數3 常用函數將卷積性質推廣，有可分離性質3 常用函數表示沿 x 軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列.間隔為t 的脈沖系列:定義: n為整數5) d -函數的陣列-梳狀函