同步人A數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第5章+54+543正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象

1、2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng)1.能畫出正切函數(shù)的圖象 重點(diǎn) 2.把握正切函數(shù)的性質(zhì) 重點(diǎn) 、難點(diǎn) 3.把握正切函數(shù)的定義域及正切曲線的漸近1.借助正切函數(shù)的圖象討論問題,培育直觀想象素養(yǎng) . 2.通過正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,提線易錯點(diǎn) 升規(guī)律推理素養(yǎng) . 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 解析式 ytan x圖象定義域 x xR,且 x 2k,kZ值域 R 周期 奇偶性 奇函數(shù)對稱中心 k 2,0 ,kZ單調(diào)性 在開區(qū)間 2k, 2k ,kZ 內(nèi)都是增函數(shù)1

2、在以下函數(shù)中同時滿意：在 的是 0, 2上遞增；以 2為周期；是奇函數(shù)Aytan x Bycos x- 1 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案Cytanx 2 Dy tan xC A ,D 的周期為 ,B 中函數(shù)在 0, 2上遞減 ,應(yīng)選 C. 2函數(shù) ytan 2x 6的定義域為 _x xk 2 3,kZ由于 2x 6 k 2,kZ,所以 xk 2 3,kZ所以函數(shù) ytan 2x 6的定義域為x xk 2 3,kZ . 3函數(shù) ytan 3x 的最小正周期是 _3 函數(shù) ytan 3x 的最小

3、正周期是 3. 4函數(shù) ytan x 5的單調(diào)增區(qū)間是 _k3 10,k7 10,kZ令 k 2x 5k 2,kZ3 7得 k10 xk10,kZ即函數(shù) ytan x 5的單調(diào)增區(qū)間是k3 10,k7 10,kZ. 有關(guān)正切函數(shù)的定義域 、值域問題【例 1】1函數(shù) ytan x 4x 4且x 0 的值域是 A1,1 B, 1 1, - 2 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案C, 1 D1, 2函數(shù) y3tan 6x 4的定義域為 _3函數(shù) ytan x1lg1tan x的定義域為 _思路點(diǎn)撥 求定

4、義域時 ,要留意正切函數(shù)自身的限制條件,另外解不等式時要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線1B 2 x x 4k4 3,kZ 13 x 4kx 4k,kZ 1當(dāng)4x0 時,1tan x0,tan x1； 當(dāng) 0 x4時,0tan x1,1 tan x1.即當(dāng) x 4,0 0, 4時,函數(shù) y1 tan x的值域是 ,11,2要使函數(shù)有意義應(yīng)滿意 6x 4 k 2,kZ,得 x 4k4 3,kZ,所以函數(shù)的定義域為 x x 4k4 3,kZ .3要使函數(shù) ytan x1lg1tan x有意義 ,就tan x10,即 1tan x0,在 2, 2上滿意上述不等式的 x 的取值范疇是4, 4 .又由

5、于 ytan x 的周期為 ,所以所求 x 的定義域為x 4kx 4k,kZ. 1求正切函數(shù)定義域的方法- 3 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及 答案1求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時,除了求函數(shù)定義域的一般要求外,仍要保證正切函數(shù) ytan x 有意義即 x 2k,kZ.2求正切型函數(shù) yAtan xA 0,0的定義域時 ,要將 “ x” 視為一個 “ 整體 ” 令 x k 2,kZ,解得 x.2解形如 tan xa 的不等式的步驟提示 ：求定義域時 ,要留意正切函數(shù)自身的限制條件1函數(shù) ylog

6、2tan 4x 的定義域是 A. x xk 4,kZ B. x k 4xk 4,kZ C. x x k 4,kZ D. x x k 4,kZ B 由題意 tan 4x 0,即 tan x 40,k 2x 4k,k 4xk 4,kZ,應(yīng)選 B. - 4 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案2求函數(shù) ytan 2 3x 3tan 3x 31 的定義域和值域解 由 3x 3 k 2,kZ,得 x k 3 18kZ,所以函數(shù)的定義域為x xk 3 18 kZ .設(shè) ttan 3x 3,就 tR,yt 2t1

7、 t1 2 23 43 4,3所以原函數(shù)的值域是 4, . 正切函數(shù)奇偶性 、周期性和圖象的對稱性【例 2】1函數(shù) fxtan 2x 3的周期為 _2已知函數(shù) ytan x 3,就該函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)為 _3判定以下函數(shù)的奇偶性：y3xtan 2x2x 4； ycos 2x tan x. 思路點(diǎn)撥 1形如 yAtan xA 0的周期 T |,也可以用定義法求周期 2形如 yAtan xA 0的對稱中心橫坐標(biāo)可由 xk 2,kZ 求出 3先求定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,如對稱再判定 fx與 fx的關(guān)系 1 2 2 k23,0 ,kZ 1法一： 定義法 tan 2x 3 tan 2x 3,即 t

8、an 2 x 2 3tan 2x 3,- 5 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案fxtan 2x 3的周期是 2.法二： 公式法 fxtan 2x 3的周期 T 2.2由 x 3k 2 kZ得 xk 2 3kZ,所以圖象的對稱中心坐標(biāo)為 k 2 3,0 ,kZ.3定義域為 x xk 2 4,kZ,關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,又 fx3xtan 2x2x 43xtan 2x2x 4fx,所以它是偶函數(shù) 定義域為 x x k 2,kZ,關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,ycos 2x tan xsin xtan x,又 fxsin

9、xtanx sin xtan x fx,所以它是奇函數(shù) 1函數(shù) fxAtan x周期的求解方法：1定義法 2公式法：對于函數(shù)fxAtan x的最小正周期 T |.3觀看法 或圖象法 ：觀看函數(shù)的圖象 ,看自變量間隔多少 ,函數(shù)值重復(fù)顯現(xiàn) 2判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法：先求函數(shù)的定義域 ,看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,如其不關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,就該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；如其關(guān)于原點(diǎn)對稱,再看 fx與 fx的關(guān)系 提示 ：ytan x,x k 2,kZ 的對稱中心坐標(biāo)為- 6 - / 12 k 2,0 ,kZ. 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.

10、4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案3判定以下函數(shù)的奇偶性：tan 2 xtan x1fxtan x1；2fxtan x 4tan x 4 . 解 1由 x k 2,kZ,tan x 1,得 fx的定義域為x x k 2且x k 4,kZ,不關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,所以函數(shù) fx既不是偶函數(shù) ,也不是奇函數(shù) 2函數(shù)定義域為x x k 4且x k 4,kZ,關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,又 fxtan x 4tan x tan x 4tan x fx,所以函數(shù) fx是奇函數(shù) 正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 探究問題 1正切函數(shù) ytan x 在其定義域內(nèi)是否為增函數(shù)？- 7 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第

11、一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案提示 ：不是 正切函數(shù)的圖象被直線xk 2kZ隔開 ,所以它的單調(diào)區(qū)間只在 k 2,k 2 kZ內(nèi),而不能說它在定義域內(nèi)是增函數(shù)假設(shè) x1 4,x25 4,x1x2,但 tan x1tan x2. 2假如讓你比較 tan 4 3與 tan 11的大小 ,你應(yīng)當(dāng)怎樣做？提示 ：先依據(jù)正切函數(shù)的周期性把兩角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再由正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較 【例 3】1tan 1,tan 2,tan 3,tan 4 從小到大的排列次序為 _2求函數(shù) y3tan 42x 的單調(diào)區(qū)間思路點(diǎn)撥 1利用 ytan x 在 2,3 2上

12、為增函數(shù)比較大小 ,留意 tan 1tan12先將原函數(shù)化為 y 3tan 2x 4,再由 2k2x 4 2k,kZ,求出單調(diào)減區(qū)間 1tan 2tan 3tan 4 tan 11ytan x 在區(qū)間2,3 2上是單調(diào)增函數(shù) ,且tan 1tan 1,又 223413 2,所以 tan 2tan 3tan 4tan 1.2y3tan 42x 3tan 2x 4,由 2k2x 4 2k,kZ 得, 8 k 2x3 8 k 2,kZ,- 8 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案所以 y3tan 42x

13、的減區(qū)間為 8k 2,3 8k 2,kZ. 1將本例 2中的函數(shù)改為“y3tan 1 2x 4” ,結(jié)果又如何？解 由 k 21 2x 4k 2kZ,得 2k 2x2k3 2 kZ,函數(shù) y3tan 1 2x 4的單調(diào)遞增區(qū)間是2k 2,2k3 2 kZ2將本例 2中的函數(shù)改為“ylgtan x” 結(jié)果又如何？解 由于函數(shù) ylg x 在0,上為增函數(shù) 所以函數(shù) ylgtan x 的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù) ytan xtan x0的遞增區(qū)間 ,即 k, 2k ,kZ. 1求函數(shù) yAtan xA0, 0,且 A,都是常數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的方法1如 0,由于 ytan x 在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)

14、,故可用 “ 整體代換” 的思想 ,令 k 2 xk 2,kZ,解得 x 的范疇即可 2如 0,可利用誘導(dǎo)公式先把yAtan x轉(zhuǎn)化為 yAtan xAtan x,即把 x 的系數(shù)化為正值 ,再利用 “ 整體代換 ” 的思想 ,求得 x 的范疇即可 2運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟 1運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)- 9 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案2運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系 提示 ：yAtan xA0,0只有增區(qū)間； yAtan xA0,0只有減區(qū)間 1利用單位圓中的正切線

15、作正切函數(shù)的圖象,我們常用“ 三點(diǎn)兩線” 法作正切曲線的簡圖作圖較為精確, 但畫圖時較繁,2正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)比較性質(zhì)正切函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義域x x 2k,k ZR值域R1,1最值最大值為 1無最小值為 1單調(diào)性僅有單調(diào)遞增區(qū)間,不存在單單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間均調(diào)遞減區(qū)間存在奇偶性奇函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)余弦函數(shù)是偶函數(shù)周期性TT2對稱性有很多個對稱中心,不存在對對稱中心和對稱軸均有很多個稱軸1摸索辨析1正切函數(shù)的定義域和值域都是 R. 2正切函數(shù)圖象是中心對稱圖形,有很多個對稱中心 3正切函數(shù)圖象有很多條對稱軸,其對稱軸是 xk 2,kZ. 4正切函數(shù)是增函數(shù) 提示 由正切函數(shù)圖象可知 1 , 2,3 ,4 .- 10 - / 12 2022-2022 同步人 A 數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象及答案答案12342如 tan x1,就 A2k 4x2k kZ Bx2k1 kZ Ck 4xk kZ Dk 4xk 2kZ D 由于 tan x1tan 4. 所以 4kx2k,kZ. 3求函數(shù) ytan x,x 4, 3的值域為 _3,1 ytan xtan x,在 4, 3上為減函數(shù) ,所以值域為 3,1 4求函數(shù) ytan x 2 3的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱中心解