初等因子的定義

1、初等因子的定義第八章 矩陣 5 初等因子 第1頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）把矩陣 的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子稱為A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一、初等因子的定義第2頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 9個(gè) 則A的初等因子有7個(gè)，它們是例1、若12級(jí)復(fù)矩陣A的不變因子是:第3頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 設(shè)n級(jí)矩陣A的不變因子為已知：將 分解成互不相同的一次因式

2、二、初等因子與不變因子的關(guān)系的方冪的乘積:分析:第4頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 則其中對(duì)應(yīng)于 的那些方冪 :就是A的全部初等因子. 注意到不變因子 滿足從而有因此有,第5頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 即同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在 的分解式中，次高的必出現(xiàn)在 的分解式中. 如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第6頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因

3、子 設(shè)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知.在全部初等因子中，將同一個(gè)一次因式 的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個(gè)數(shù)不足n個(gè)時(shí)，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使其湊成n個(gè)，設(shè)所得排列為第7頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 于是令則就是A的不變因子. 第8頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 例1、已知3級(jí)矩陣A的初等因子為： 求A的不變因子. 解：作排列得A的不變因子為：第9頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 結(jié)論1、若兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣有相

4、同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論2、兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣相似可見(jiàn)：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子.它們有相同的初等因子.第10頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 1、(引理1)若多項(xiàng)式 都與 互素，則三、初等因子的求法證：令顯然，第11頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 由于故 因而 另一方面，由于可令其中又由又得第12頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 同理可得即 故第13

5、頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 如果多項(xiàng)式 都與 互素，2、(引理2) 設(shè)則 與 等價(jià).第14頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 證：首先，從而 二階行列式因子相同.其次，由引理1，有從而 的一階行列式因子相同.所以， 與 等價(jià).第15頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 3、(定理9) 設(shè) 將特征矩陣 進(jìn)行初等變換化成對(duì)角形然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是A的全

6、部初等因子. 第16頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 證：設(shè) 經(jīng)過(guò)初等變換化成對(duì)角形其中 皆為首1多項(xiàng)式，將 分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:第17頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 下證，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪在 的主對(duì)角線上按升冪排列后，得到的新對(duì)角矩陣 與 等價(jià).此時(shí) 就是 的且所有不為1的 就是A的全部初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，第18頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 為了方便起見(jiàn)，先對(duì) 的方冪進(jìn)行討論.于是 且每一個(gè) 都與 互素.

7、如果相鄰的一對(duì)指數(shù) 則在 中將 與 對(duì)調(diào)位置，而其余因式保持不動(dòng)，令由引理2第19頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 與 等價(jià). 第20頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 等價(jià). 然后對(duì) 重復(fù)上述討論.從而 與對(duì)角矩陣第21頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對(duì)作同樣處理.最后便得到與 等價(jià)的對(duì)角陣 都是按升冪排列的，的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪即為 的標(biāo)準(zhǔn)形. 第22頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八章 矩陣 5 初等因子 例2、求矩陣A的初等因子解：對(duì) 作初等變換第23頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)34分，星期一第八