文稿天體力學林lect

1、2.5 橢圓展開與平均值橢圓展開是指橢圓運動中的一些量表示成平近點角的三角函數(shù)的級數(shù)形式。橢圓展開的意義：E, f , M 之間需要相互轉(zhuǎn)化，特別是轉(zhuǎn)化為 MM 的變化是均勻的，易于處理平均化及其意義：對 E, f , M 等“快變量”取平均值的過程，稱為平均化平均化廣泛應(yīng)用于研究天體的長期動力學演化（分析方法和數(shù)值方法）一般情況下，研究天體運動時的“小量”有偏心率和軌道傾角，因此經(jīng)常將某個量展開成 e 或 i 的級數(shù)。E 表示成 M 的級數(shù)一個直觀而簡單的方法：E e sin E MKepler方程E1 M e sin ME M e sin M e sin M M e sin M 1 e2

2、sin 2M2212E M e sinM e sin M 2esin 2M33 1123M e esin M sin 2M e sin 3M23e88E 表示成 M 的級數(shù)E M e sin E 是奇的周期函數(shù)，因此可以將之展開為Fourier級數(shù)：e sin E bs esin sMs1其中的系數(shù)由下式給出：e 2e sin E sin sMdMbs0 2 2 0cos sMd e sin E s e sin E cos sM 2 ss0cos sMdE M0 2 2 scos sMdM cos sMdEs00 2 scos sE se sin E dE0Kepler方程Kepler方程分部

3、積分此處 E 是 M 的函數(shù)e 2 cossE se sin E dE 可以由第一類Beb函數(shù)表達：ss0b e 2 J sesss其中 J se 1 cossE se sin E dE 是Be函數(shù).對于正的 s, 有：s0 x221 x s1 x s! 2 Js !s 1s 2s . 0 O x7 1 x5x3J16384 O x6 196x4J2 O x7 1x58J3J x 1 x4 O x6 4384J x 1 x5 O x7 53840對所有 x 收斂E 表示成 M 的級數(shù)最后，可以寫出Kepler方程為：E M 21 Jsesin sMsss12 3 131 M e sin Mes

4、in 2M esin 3M sin M 2 8854 11esin 4M sin 2MO e 36sin E 1 E M ,可以由上式求出ee 0.6627434 時發(fā)散r a表示成 M 的級數(shù)考慮到 r 1 e cos E 應(yīng)用類似的方法，可以將 r展開為aa 1 1 e2 2er a1 d Jsecos sMs2des2s1 1 e cos M e2 1 cos 2M 3e3 cos M cos 3M 28e4cos 2M cos 4M O e5 3cos E 表示成 M 的級數(shù)考慮到 e cos E 1 r a , 利用 r 展開式,得到cos Eeacos E 1 e 21 d Jse

5、cos sM2dess2s12 cos M e cos 2M 1 3ecos 3M cos M 2cos 4M83 413ecos 2M 34 5 25 128125384ecos M cos 5M O e5cos 3M 192sin f表示成 M 的級數(shù)1 e2 1 Jsesin sM 2sin fsss12 97 sin M e sin 2M esin Msin 3M 883 476esin 4Msin 2M 3 17 207128625384esin M sin 5M45sin 3MO e 192cos f表示成 M 的級數(shù) e2 Jssecos sM cos fes12 cos M e

6、 cos 2M 1 9e cos 3M cos M 8 4e3cos 4M cos 2M 34 25225 cos 3M625cos 5M O e5cosa 表示成 M 的級數(shù)ra 1 e2 1 e cos f 1 e2a rr 1 e cos f,3 a r91 1 e cos Mecos 2M ecos 3M cos M2 8841ecos 4M cos 2M45O e 33f 表示成 M 的級數(shù) p a 1 e2 n2a3a 1 e2 na2f h 1 e2r 2f a2 1 e cos E 2 df a2 1 e cos E 2ndf dMr 2dtdM dE 21 e21 e cos

7、 E 2df 1 e2dM dM 積分上式,：543 131f M 2e sin Me sin 2M esin M2sin 3M 1244 1031124esin 4M sin 2M5O e 96Lagrange方法若 可以寫成 的函數(shù)形式: e e 1那么 也可以寫成 的函數(shù)形式: j 1e jdj .j! dj 1j 1a 1 e2 積分 h r f na1 e并且代入 r 1 e cos f222得M 1 e2 3 2 df1 e cos f 2f0于是展開并積分得: M f 2e sin f 3 e2 sin 2 f O e3 即4f M 2e sin f 3 e2 sin 2 f O

8、 e3 4因此可以應(yīng)用Lagrange方法2.5.2 f,g函數(shù)在時刻 t0 的相對位置 r0 和速度 v0 , 求時刻 t t0 的位置和速度 r, v :設(shè) r, v 可以表示為：r f t, t0 r0 g t, t0 v0v f t, t r g t, t v0000有兩種方式可以得到 f , g :1. Taylor展開2r = r v 1 dv 1 3!d v 2 32 dt 00 02dt023 dv 12d 1 3!d vv 2 3v = v dt 0023dtdt00f, g 表示對時間求導2.5.2 f,g函數(shù)r r而由運動方程可知：r3 r2 dv d r dt 002r

9、3dt00 v0v0 r0r0 d 2v 3r03d r233r 4dtdtr00 00 215 v r 23v r6v r d 3v d 4r 00 00 r 00 v r60034r5r7r5dtdt000000,2.5.2 f,g函數(shù):比較系數(shù)， 3 r v 2 O 4 f 102r32r500 O 4 g 36r30 3 r v 15r v42 23v21 O f 0040 6 r32r 2r3r 2r 400000 3 r v3 2v O g 1040 2r3r500為保證收斂，這里的 不能太大.2.5.2 f,g函數(shù)2. 展開為近點角的函數(shù)對 r f t, t0 r0 g t, t

10、0 v0 x f t, t0 x0 g t, t0 x0 ,分離變量：y f t, t y g t, t y0000由此可以解出：yx0yx0 xy0 xy0f t, t ,g t, t .y xy xyy00 xx00000000 x r cos f ,x r cos fy r sin f ,而 na2fsin Er1 e1 e2 r2y r sin f rf cos f na e cos f nacos E1 e2r0 x0 , y0 , v0 x0 , y0 2.5.2 f,g函數(shù)求解得到： a rcos E E0 1 1ft, t00 1 sin E Eg t, t t t E En

11、0000對 v f t, t0 r0 g t, t0 v0則有：2f t, t an sin E E ,0rr00g t, t a cos E E 1 1.r 00 x a cos E e, y a 1 e2 sin E2.5.3 橢圓運動中的平均值平均化及其意義：對 E, f , M 等“快變量”取平均值的過程，稱為平均化平均化廣泛應(yīng)用于研究天體的長期動力學演化（分析方法和數(shù)值方法）一個表達式 F 在橢圓周期T 內(nèi)的平均定義為：1T 1 22TFFdt FdM .002.5.3 橢圓運動中的平均值 r m r m r ma1. 若 F 中含 a , a sin E,cos E, r , co

12、s f , sin f 等 a cos E e , sin f1 e2 sin E 化成先利用r a 1 e cos E , cos f1 e cos E1 e cos EE 的函數(shù), 再利用Kepler公式將對 M 的平均化成對 E 的平均 1 2 1 222F 1 e cos E dEFFdM00mmmf , m 1 等2.a 1 e2 先利用r 1 e cos ff 的函數(shù), 再利用角動量積分 r f h 公式2化成將對 M 的平均化成對 f 的平均3 2 1 e cos f2.5.3 橢圓運動中的平均值若 F 是 f , E 的復雜的混合表達式時直接將該表達式用對 M 的橢圓展開代入,得到關(guān)于 M 的級數(shù), 然后截斷到e