高中數(shù)學必修二 專題11 隨機事件的概率與事件的相互獨立性（課時訓練）（含答案）

1、專題11 隨機事件的概率與事件的相互獨立性A組 基礎鞏固一、單選題1有一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（ ）A至多有1次中靶B2次都中靶C2次都不中靶D只有1次中靶【答案】C【分析】根據(jù)對立事件的定義可得事件“至少有1次中靶”的對立事件【詳解】由于兩個事件互為對立事件時，這兩件事不能同時發(fā)生，且這兩件事的和事件是一個必然事件.再由于一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的反面為“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的對立事件是“2次都不中靶”，故選：C.2先后拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為7的概率為（ ）ABCD【答案】C【分析】由題意知本題是一

2、個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是拋擲兩顆骰子，共有種結果，滿足條件的事件是點數(shù)之和是7，可以列舉出所有的事件，共有6種結果，得到概率【詳解】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是拋擲兩顆骰子，共有種結果，滿足條件的事件是點數(shù)之和是7，可以列舉出所有的事件，共有6種結果，根據(jù)古典概型概率公式得到.故選：C3從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩個事件是互斥事件的為（ ）A“都是紅球”與“至少1個紅球”B“恰有2個紅球”與“至少1個白球”C“至少1個白球”與“至多1個紅球”D“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”【答案】D【分析】分析每個選項中的兩個事

3、件是否有共同的基本事件判斷并作答.【詳解】對于A選項：“至少1個紅球”的事件中含有“都是紅球”這一事件，即兩個事件可以同時發(fā)生，A中的兩個事件不互斥；對于B選項：“恰有2個紅球”和“至少1個白球”的事件中都含有“兩紅球，一白球”的事件，B中的兩個事件不互斥；對于C選項：“至少1個白球”與“至多1個紅球”的事件中都含有“三白球”與“一紅球，兩白球”的兩個事件，C中的兩個事件不互斥；對于D選項，3個球中“2個紅球，1個白球”的事件與“2個白球，1個紅球”的事件不可能同時發(fā)生，是互斥事件，所以兩個事件是互斥事件的為D.故選：D4某部三冊的小說，任意排放在書架上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1，2

4、，3冊的概率為（ ）ABCD【答案】B【分析】先根據(jù)全排列求出總事件的種數(shù)，再找出滿足條件的種數(shù)，結合概率公式即可.【詳解】所有樣本點為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)其中從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊包含2個樣本點，所以p.故選B5利用拋硬幣產生隨機數(shù)1和2，出現(xiàn)正面表示產生的隨機數(shù)為1，出現(xiàn)反面表示產生的隨機數(shù)為2小王拋兩次，則出現(xiàn)的隨機數(shù)之和為3的概率為（ ）ABCD【答案】A【分析】首先列出所以可能的基本事件，再利用古典概型概率公式計算可得；【詳解】解：拋擲硬幣兩次，產生的隨機數(shù)的情況有(1，1)，(1，2)，(2，

5、1)，(2，2)共四種，其中隨機數(shù)之和為3的情況有(1，2)，(2，1)兩種，故所求概率為故選：A6京劇臉譜，是一種具有中國文化特色的特殊化妝方法.由于每個歷史人物或某一種類型的人物都有一種大概的譜式，就像唱歌奏樂都要按照樂譜一樣，所以稱為“臉譜”.臉譜的主要特點有三點：美與丑的矛盾統(tǒng)一，與角色的性格關系密切，其圖案是程式化的.在京劇中，并不是每個人物都要勾畫臉譜，臉譜的勾畫要按照人物角色的分類來進行.京劇的角色主要分為“生”“旦”“凈”“丑”四種，其中“凈”和“丑”需要畫臉譜，“生”“旦”只略施脂粉，俗稱“素面”.現(xiàn)有男生甲乙和女生丙共三名同學參加學校京劇社團的角色扮演體驗活動，其中女生丙想

6、扮旦角，男生甲想體驗畫臉譜的角色，若三人各自獨立地從四個角色中隨機抽選一個，則甲丙至少有一人如愿且這三人中有人抽選到需要畫臉譜的角色的概率為（ ）ABCD【答案】B【分析】首先求出總數(shù)，由于獨立的選擇互不影響，故共有種結果，再分甲如愿和甲不如愿乙如愿兩種情況進行討論，即可得解.【詳解】三人選角的不同結果共種，若甲如愿，則已滿足題意，故乙丙可隨機選擇，此種情況包含甲丙都如愿，此時共種；若甲未如愿，則丙必選旦角，則甲選生角或旦角，乙只能選凈角或丑角，共種；所求概率為，故選：B.7冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復計算，

7、最終都將會得到數(shù)字1.如給出正整數(shù)5，則進行這種反復運算的過程為5168421，即按照這種運算規(guī)律進行5次運算后得到1.若從正整數(shù)6，7，8，9中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算，則至少有1個數(shù)的運算次數(shù)為奇數(shù)的概率為（ ）ABCD【答案】D【分析】由題設的運算方法，分別確定6，7，8，9四個數(shù)的運算次數(shù)，應用古典概型的概率求法求任取2個數(shù)至少有1個數(shù)的運算次數(shù)為奇數(shù)的概率即可.【詳解】1、正整數(shù)6的運算過程為63105168421，運算次數(shù)為8；2、正整數(shù)7的部分運算過程為722113417522613402010，當此運算次數(shù)為10，結合正整數(shù)6的運算過程知：正整數(shù)7總的運算次數(shù)為；3、

8、正整數(shù)8的運算次數(shù)為3；4、正整數(shù)9的部分運算過程為928147，當此運算次數(shù)為3，結合正整數(shù)7的運算過程知：正整數(shù)9總的運算次數(shù)為.6，7，8，9的運算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)，從6，7，8，9中任取2個數(shù)，所有的情況有種，其中至少有1個數(shù)的運算次數(shù)為奇數(shù)的情況有種，故所求概率，故選：D.【點睛】關鍵點點睛：依照題設運算規(guī)則分別求出6，7，8，9的運算次數(shù)，結合分類分步計數(shù)求任取2個數(shù)至少有1個數(shù)的運算次數(shù)為奇數(shù)的情況種數(shù)，應用古典概型的概率求法求概率.8五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取兩個音階

9、，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中不含宮和羽的概率為（ ）ABCD【答案】A【分析】先從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序的基本事件總數(shù)，其中這個音序中不含宮和羽的基本事件個數(shù)，然后由古典概率計算公式可得答案.【詳解】解：中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，基本事件總數(shù)，其中這個音序中不含宮和羽的基本事件個數(shù).則這個音序中不含宮和羽的概率為.故選：A.9某人要從甲乙等四位好友中，隨機邀請兩位一同去觀看體育比賽，則甲和乙中至少有一人被邀請的概率是（ ）ABCD【答案】A【分析】基本事件總數(shù)，其中甲和乙中至少有一人被

10、邀請包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲和乙中至少有一人被邀請的概率【詳解】解：某人要從甲、乙等四位好友中，隨機邀請兩位一同去觀看體育比賽，基本事件總數(shù)，其中甲和乙中至少有一人被邀請包含的基本事件個數(shù)，則甲和乙中至少有一人被邀請的概率是故選：10“你是什么垃圾？”這句流行語火爆全網(wǎng)，垃圾分類也成為時下熱議的話題.某居民小區(qū)有如圖六種垃圾桶：一天，張三提著六袋屬于不同垃圾桶的垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個垃圾箱再各投一袋垃圾就滿了，作為一名法外狂徒，張三要隨機投放垃圾，則法外狂徒張三只投對兩袋垃圾的概率為（ ）ABCD【答案】D【分析】任選兩袋投對的組合種，其它4個元素，再求出6袋任意投的總方法數(shù)，應用古典

11、概型的概率求法求概率.【詳解】根據(jù)題意，六袋垃圾隨機投入六個垃圾桶共有種方法，任意兩袋種組合投對時，其他個元素全錯位，概率為.故選：D.11孫子算經是中國古代重要的數(shù)學著作，據(jù)書中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為五級：男子伯侯公.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共5人，要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分個(為正整數(shù))，若按這種方法分橘子，“子”恰好分得13個橘子的概率是（ ）ABCD【答案】B【分析】設男子伯侯公各分得個橘子，即可求，根據(jù)每人分到橘子且為正整數(shù)即可確定其可能取值，由“子”恰好分得13個橘子可得m值，進而求概率即可.【詳解】設男子伯侯公各分得個橘子，由題意有：

12、，即，又且為正整數(shù)，若“子”恰好分得13個橘子，則，即.“子”恰好分得13個橘子的概率為.故選：B12杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨，揭示了戰(zhàn)爭給人民帶來的巨大不幸和困苦“三吏”是指新安吏石壕吏潼關吏，“三別”是指新婚別無家別垂老別語文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學們課外閱讀，那么語文老師選的含新安吏和無家別的概率是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用列舉法求得總的選法種數(shù)和符合條件的選法種數(shù)，從而可得答案.【詳解】新安吏、石壕吏、潼關吏分別記為a、b、c, 新婚別、無家別、垂老別分別記為d、e、f,從“三史”中選兩篇，從“三別”中選一篇

13、，有:abd,abe,abf；acd,ace,acf；bcd,bce,bcf,共計9種不同的結果,每種結果都是等可能的，其中含新安史和無家別的選法有abe,ace，共有2種，所求概率為,故選：A.13甲、乙二人獨立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為，乙破譯密碼的概率為.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率；（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下：解：“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”，所以隨機事件“密碼被破譯”可以表示為，所以.請指出小明同學錯誤的原因？并給出正確解答過程【答案】（1）0.56

14、；（2）0.38；（3）0.94.【分析】（1）由相互獨立事件概率乘法公式即可求解；（2）恰有一人破譯密碼有兩種情況：甲破譯且乙沒有破譯和甲沒有破譯且乙破譯，由互斥事件概率加法公式及相互獨立事件概率乘法公式即可求解；（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，由此能求出密碼被破譯的概率【詳解】解：（1）由題意可知，且事件A，B相互獨立，事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥所以（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，小明求解時沒有減掉甲、乙同時破譯的概率，正確解法為：B組 能力提升14（多選題

15、）下列命題中是真命題的是（ ）A做7次拋擲一枚均勻硬幣的試驗，結果有4次出現(xiàn)正面，因此出現(xiàn)正面的概率是B盒子中有大小均勻的3個黑球，2個白球，1個紅球，則每種顏色被摸到的可能性相同C從-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一個數(shù)，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率D分別從2名男生，2名女生中各選一名作為代表，則每名學生被選中的可能性相同【答案】CD【分析】根據(jù)題意求出各試驗事件發(fā)生的概率，逐一判斷即可得出選項.【詳解】解析：A中，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是，故錯誤；B中，摸到黑球白球紅球的可能性分別為，故錯誤，C中，取得小于0的概率為，取得不小于0的概率為，故正確；D中，每名學生被選中

16、的可能性都為，故正確.故選：CD.15（多選題）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（ ）A個球都是紅球的概率為B個球不都是紅球的概率為C至少有個紅球的概率為D個球中恰有個紅球的概率為【答案】ACD【分析】利用獨立事件的概率乘法公式、對立事件的概率公式求出各選項中事件的概率，進而可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，個球都是紅球的概率為，A選項正確；對于B選項，個球不都是紅球的概率為，B選項錯誤；對于C選項，至少有個紅球的概率為，C選項正確；對于D選項，個球中恰有個紅球的概率，D選項正確.故選：ACD.16（多選題）近年來，某市為促

17、進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱為調查居民生活垃圾的分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計生活垃圾，經分揀以后統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：）根據(jù)樣本估計本市生活垃圾的分類投放情況，則下列說法正確的是（ ）“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A廚余垃圾投放正確的概率為B居民生活垃圾投放錯誤的概率為C該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是可回收垃圾D廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為18000【答案】ABC【分析】由表依

18、次算出各類垃圾投放正確的概率，再算出廚余垃圾在各垃圾箱投放量的均值和方差即可.【詳解】對于A：廚余垃圾的投放的正確的概率為，故A正確；對于B：居民生活垃圾的投放的錯誤概率，故B正確；對于C：該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是“可回收垃圾”，故C正確；對于D：廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均數(shù)，所以，故D錯誤故選：ABC17（多選題）一個口袋中有大小形狀完全相同的3個紅球和4個白球，從中取出2個球.下面幾個命題中正確的是（ ）A如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是對立事件B如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率一定小于第1次取到紅球

19、的概率C如果是有放回地抽取，那么取出1個紅球1個白球的概率是D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球的概率是【答案】CD【分析】對于A，利用對立事件的概念判斷即可；對于B，分別計算出第2次取到紅球的概率和第1次取得紅球的概率進行比較即可；對于C，有放回地抽取，取出1個紅球1個白球包括第1次為紅球第2次為白球、第1次為白球第2次為紅球，然后求出概率；對于D，有放回地抽取，至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球包括第1 次紅球第2次白球、第1次白球第2次紅球、兩次都是紅球，從而可求得其概率【詳解】對于A，不放回地抽取兩個球，包括兩個都是紅球、兩個都是白球和一個紅球一個

20、白球，共3種情況，所以取出兩個紅球和取出兩個白球不是對立事件，所以A錯誤；對于B，不放回地抽取，第2次取到紅球的概率為，第1次取得紅球的概率為，所以第2次取到紅球的概率等于第1次取到紅球的概率，所以B錯誤；對于C，有放回地抽取，取出1個紅球1個白球包括第1次為紅球第2次為白球、第1次為白球第2次為紅球，所以所求概率為，所以C正確，對于D，有放回地抽取，至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球包括第1 次紅球第2次白球、第1次白球第2次紅球、兩次都是紅球，所以所求概率為，所以D正確，故選：CD18（多選題）如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯

21、處今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到，處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達，處為止，則下列說法正確的有（ ）A甲從到達處的方法有120種B甲從必須經過到達處的方法有9種C甲、乙兩人在處相遇的概率為D甲、乙兩人相遇的概率為【答案】BD【分析】對選項A，利用組合數(shù)原理即可判斷A錯誤，對選項B，利用分步計數(shù)原理即可判斷B正確，對選項C，利用古典概型公式計算即可判斷C錯誤，對選項D，首先計算甲、乙兩人相遇的走法數(shù)，再利用古典概型公式計算即可得到D正確.【詳解】對選項A，甲從到達處，需要走步，其中向上步，向右步，所以從到達處的方法有種，故A錯誤.對選項B，甲從到達

22、，需要走步，其中向上步，向右步，共種，從到達，需要走步，其中向上步，向右步，共種，所以甲從必須經過到達處的方法有種，故B正確.對選項C，甲經過的方法數(shù)為，乙經過的方法數(shù)為，所以甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，故甲、乙兩人在處相遇的概率，故C錯誤.對選項D，甲、乙兩人沿著最短路徑行走，只能在，處相遇，若甲、乙兩人在處相遇，甲經過處，必須向上走3步，乙經過處，則前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法有1種.若甲、乙兩人在或處相遇，由選項C知，各有種，若甲、乙兩人在處相遇，甲經過處，必須向右走3步，乙經過處，則乙前三步必須向下走，則兩人在處相遇的走法有1種.所以甲、乙兩人相遇的概率，故D正確.故選：B

23、D19（多選題）做試驗“從一個裝有標號為1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個，構成有序數(shù)對(x，y)，x為第一次取到的小球上的數(shù)字，y為第二次取到的小球上的數(shù)字”.（1）求這個試驗樣本點的個數(shù)；（2）寫出“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”這一事件.【答案】（1）12；（2）(2，1)，(2，3)，(2，4).【分析】（1）分x=1,2,3,4，分別考慮y的不同情況，即可得到樣本試驗點的個數(shù)；（2）即為x=2時的樣本點的集合，由（1）的分析可得.【詳解】（1）當x=1時，y=2，3，4；當x=2時，y=1，3，4；同理當x=3，4時，也各有3個不同的有序數(shù)對，所以共有12個

24、不同的有序數(shù)對.故這個試驗結果樣本點的個數(shù)為12.（2）記“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”為事件A，則A=(2，1)，(2，3)，(2，4).20（多選題）在一次口試中，考生要從5道題中隨機抽取3道進行回答，答對其中2道題為優(yōu)秀，答對其中1道題為及格，某考生能答對5道題中的2道題，試求：（1）他獲得優(yōu)秀的概率為多少；（2）他獲得及格及及格以上的概率為多少.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設這5道題的題號分別為1,2,3,4,5，其中，該考生能答對的題的題號為4,5，然后用列舉法求解即可；（2）用列舉法求解.【詳解】設這5道題的題號分別為1,2,3,4,5，其中，該考生能答對的題的題號為4,

25、5，則從這5道題中任取3道回答，該試驗的樣本空間(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10個樣本點. （1）記“獲得優(yōu)秀”為事件A，則隨機事件A中包含的樣本點個數(shù)為3，故P(A).（2）記“獲得及格及及格以上”為事件B，則隨機事件B中包含的樣本點個數(shù)為9，故P(B).21（多選題）流浪地球是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節(jié)檔上影，該片上影標志著中國電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無數(shù)的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進.某網(wǎng)絡調查機構調查了大量觀眾的評分，得到如下統(tǒng)計表：評分12345678910頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（