高中數(shù)學(xué)必修二 專題01 平面向量的概念及線性運算（重難點突破）（含答案）

1、專題01 平面向量的概念及線性運算一、考情分析二、考情分析知識點1平面向量的線性運算運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫作a與b的差aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當0時，a與a的方向相同；當0時，a與a的方向相反；當0時，a0(1)結(jié)合律：( a) a(a)；(2)第一分配律：()aa a；(3)第二分配律：(ab)ab知識點2共線向量定理、平面向量基本定理及應(yīng)用1向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)使得ba，

2、則向量b與a共線(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個實數(shù)，使得ba.(3)A，B，C是平面上三點并且在同一條直線上，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線AB上，則存在實數(shù)，使得_(如圖所示)三、題型分析(一) 關(guān)于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量與單位向量）例1（多選題）下列關(guān)于平面向量的說法中不正確的是（ ）A已知，均為非零向量，則存在唯-的實數(shù)，使得B若向量，共線，則點，必在同一直線上C若且，則D若點為的重心，則【答案】BC對于選項A，由平面向量平行的推論可得其正確；對于選項B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點，不必在同一直線上，故B錯誤

3、；對于選項C，則，不一定推出，故C錯誤；對于選項D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.故選BC【變式訓(xùn)練1】（2020河南高二月考）關(guān)于位移向量說法正確的是( )A數(shù)軸上任意一個點的坐標有正負和大小，它是一個位移向量B兩個相等的向量的起點可以不同C每一個實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的唯一的一個位移向量D的長度是數(shù)軸上兩點到原點距離之差【答案】B【解析】A，因為一個點不能構(gòu)成位移向量，位移向量需要有起點和終點，故錯誤.B，兩個相等的向量起點可以不同，故正確.C.實數(shù)只對應(yīng)一個點，構(gòu)不成位移向量，故錯誤.D，的長度是數(shù)軸兩點之間的距離，故錯誤.【變式訓(xùn)練2】（2019浙江高二月考）下列說法正確的個數(shù)是（

4、 ）兩個有公共終點的向量是平行向量；任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點；向量與不共線，則與都是非零向量；若，則.A1B2C3D4【答案】B【解析】有公共終點的向量的方向不一定相同或相反，所以不正確；兩個相等的非零向量可以在同一直線上，故不正確；向量與不共線，則與都是非零向量，不妨設(shè)為零向量，則與共線，這與與不共線矛盾，故正確；，則的長度相等且方向相同；，則的長度相等且方向相同，所以的長度相等且方向相同，故，正確.故選：B【變式訓(xùn)練3】（2019成都高一期末）下列說法正確的是（ ）A與向量共線的單位向量只有B向量與平行，則與的方向相同或相反C向量與向量是兩平行向量D單位向

5、量都相等【答案】C【解析】與向量共線的單位向量有，故A項錯誤.因為零向量與任一向量平行，因此，若與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故B項錯誤.因為向量與方向相反，所以二者是平行向量，故C項正確;單位向量的長度都相等，方向任意，而向量相等不僅需要長度相等，還要求方向相同，故D項錯誤.故選：C(二) 平行向量與共線向量例2（2020浙江高一月考）在ABC中，已知D是BC上的點，且CD2BD，設(shè)，則_(用，表示)【答案】【解析】【變式訓(xùn)練1】已知不共線的非零向量，若與平行，則實數(shù)的值為_【答案】-4.【解析】因為與平行，所以所以，解得：【變式訓(xùn)練2】已知，若，且AD與BC交于E點，則=_.(用

6、、表示) 【答案】【解析】因為,三點共線,所以存在實數(shù)m使得;又三點共線, 所以存在實數(shù)n使得,解得，所以，故填：.:【變式訓(xùn)練3】【2015天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，動點E和F分別在線段BC和DC上，且eq o(BE,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(DF,sup6()eq f(1,9)eq o(DC,sup6()，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()的最小值為_【答案】eq f(29,18)【解析】如圖，分別過C，D作CNAB于N，DMAB于M，則AMBNeq f(1,2)，CDMN1.eq o(

7、AE,sup6()eq o(AF,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(CF,sup6()412eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,9)eq f(1,2)eq blc(rc)

8、(avs4alco1(1f(1,9)eq f(17,18)eq f(2,9)eq f(,2)eq f(17,18)2eq r(f(1,9)eq f(29,18)，當且僅當eq f(2,9)eq f(,2)，即eq f(2,3)時等號成立，此時eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()有最小值eq f(29,18).例3（2020北京高考模擬）已知平行四邊形中，若是該平面上任意一點，則滿足（）.（1）若是的中點，求的值；（2）若、三點共線，求證：.【答案】（1） （2）證明見解析【解析】（1）由題意,又,故,即.（2）、三點共線，設(shè),則,又,故,即.【變式訓(xùn)練1】已知，不共線，若，

9、試確定的值【答案】【解析】不共線；又；存在實數(shù)，使；即，解得.【變式訓(xùn)練2】已知、是兩個不平行的向量，試判斷、的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】、三點在一條直線上.【解析】由已知得，又因為，所以，所以又，所以、三點在一條直線上.故得解.得解得所以.(三) 向量的線性運算（三角形法則與平行四邊行法則）例4（1）（多選題）設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點，則（ ）ABCD【答案】CD由題意：故 即,故選：CD（2）.（2019湖北高三月考（文）在中，是的中點，則( )ABCD【答案】D【解析】在中，為邊上的中線，為的中點，所以，故選D.【變式訓(xùn)練1】（2020廣東高三學(xué)業(yè)考試）如圖，是平行四邊形的兩條對角

10、線的交點，則下列等式正確的是（ ）ABCD【答案】D【解析】對于，故錯誤；對于，故錯誤；對于，故錯誤.故選D【變式訓(xùn)練2】已知分別是的邊的中點，且 給出下列等式：其中正確的等式是_（請將正確等式的序號填在橫線上）（6分）【答案】【解析】由題意，如圖所示，因為，且中，所以是正確的；中，由三角形法則，可得，所以是正確的；中，因為是邊的中點，則，所以不正確；中，由三角形法則，可得，所以是正確的，綜上可知，正確命題的序號為.(四) 向量的數(shù)乘與幾何意義例5（2019貴州凱里一中高二期中）已知是正方形的中心，則_.【答案】【解析】由正方形的性質(zhì)和向量的加法法則和減法法則得：故填：.【變式訓(xùn)練1】若O是所在平面內(nèi)一點，D為邊的中點，且，那么（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖，D為的中點，.故選C.【