選修2-3-1.2排列與組合

1、排列與組合排列N=m1+m2+mn 做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 .種不同的方法分類加法計數(shù)原理N=m1m2mn 做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有 _種不同的方法.分步乘法計數(shù)原理 問題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？ 分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名，按照參加上午的

2、活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？上午下午相應(yīng)的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙 第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從3名中任選1名，有3種選法.第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理：32=6 即共6種方法。 把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題就可以敘述為： 從3個不同的元素a,b,c中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb 問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 分析：解決這個問題分三個步驟： 第

3、一步先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法； 第二步確定中間的字母，從余下的3個字母中取，有3種方法； 第三步確定右邊的字母，從余下的2個字母中取，有2種方法。 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有 43224種不同的排法。如下圖所示有此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。同樣，問題可以歸結(jié)為： 從個不同的元素a，b，c，d中任取個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc, abd, ac

4、b, acd, adb, adc; bac, bad, bca, bcd, bda, bdc;cab, cad, cba, cbd, cda, cdb; dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 上面兩個問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？(1)有順序的(2)不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等? 一般的，從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列的定義：排列的特征(1)排列問題實際包含兩個過程：先從n個不同元素中取出m個不同的元素;再把這m個不同元素按照一定的順序排成一列.(2)兩個

5、排列相同的條件：元素完全相同;元素的排列順序也相同. 例如123與213為什么是不同的排列。例1 下列問題中哪些是排列問題？（1）10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會的選法；（2）10名學(xué)生中選2名做正、副組長的選法；（3）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘積的個數(shù)；（4）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除商的個數(shù)；（5）20位同學(xué)互通一次電話的次數(shù)；（6）以圓上的10個點為端點作弦的條數(shù)；（7）以圓上的10個點中的某一點為起點，作過另 一個點的射線的條數(shù)；（8）有10個車站，共需要多少種車票；（9）安排5個學(xué)生為班里的5個班干部，每人一個職位.那些是全排列？排列中的注意點：1、元素不能重復(fù)。n

6、個中不能重復(fù)，m個中也不能重復(fù)。2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是 否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相 同，而且元素的排列順序也完全相同。4、mn時的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好 采用“樹形圖”。排列數(shù)： 從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)。用符號 表示?！芭帕小焙汀芭帕袛?shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？ “一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； “排列數(shù)”是指從n個不同元素中，任取m個元素的所有排列的個數(shù)，是一個

7、數(shù)；所以符號 只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列. 問題1 中是求從3個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，記為: 問題2 中是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，記為:從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù) 是多少？第1位第2位nn-1第1位第2位第3位n-2nn-1同理 可以這樣計算 第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-(m-1)一般地 可以這樣計算：排列數(shù)公式觀察排列數(shù)公式有何特征： （1）第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1（2）最后一個因數(shù)是nm1（3）共有m個因數(shù) n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中的n=m，即有: 就是說，n個不同

8、元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示，所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成另外，我們規(guī)定0!1例1 計算：我們發(fā)現(xiàn)：這個結(jié)果有一般性嗎？例2 (1)若,則n= ，m= 解：（1）n=17，m=14 (2)若則用排列數(shù)符號表示為 例3 某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，求總共要進(jìn)行多少場比賽. 解：任意兩隊間進(jìn)行1次主場比賽與 1 次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列因此，比賽的總場次是=1413=182. 例4（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共

9、有多少種不同的送法？ （2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(種)(種)百位十位個位解法一：直接法0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（優(yōu)先）處理。有限制條件的排列問題1 特殊元素、特殊位置問題 例5 用 0 到 9 這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？對排列方法分步思考。解法三：間接法. 所求的三位數(shù)的個數(shù)是:求以0為排頭的排列數(shù)為:從總數(shù)中去掉不合條件的排列的種數(shù)求總數(shù)：從0到9這十個數(shù)字中任取三個數(shù)字的排列數(shù)為:解法二：直接法 第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有第二類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)有第三類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有 符合條件的三位數(shù)的

10、個數(shù)是: 小 結(jié)一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。練習(xí) 用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的1) 五位數(shù)； 2)六位偶數(shù)；3)大于213045的自然數(shù). 1)解1 位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5種排法,其余4個位置有A45種排法， 由乘法原理知共有 5 A45=55432=600 1)解2.（間接法） 6個數(shù)中取5個數(shù)的排列中有不滿足要求的數(shù)如02134等，O這樣的數(shù)共有: A56-A45=600 第二類個位不是0,個位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法，第二

11、類共有24A44=192, 2)可分為兩類，第一類是個位為0的有A55個;由加法原理共有 A55+192=312 練習(xí) 用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的大于213045的自然數(shù).A13A55A13A44A12A33A12A22第五類：形如213054有一個因此滿足要求的數(shù)共有449個 第一類：形如3,4,5,這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有： 第二類：形如 23，24，25這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有： 第三類：形如214,215這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第四類：形如2134, 2135的數(shù)有A66=720.共有A61 A66 =4320.,共有A61 A66 =4320.所以

12、共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.例6 7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？A775040. 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列解：問題可以看作：7個元素的全排列 7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個位置之一有A61種，其余6人全排列有A66 種，解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61剩下6人(含甲)全排列,有A66解三：7人全排列有A77,甲在首位的有A66解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲,乙站在兩端有則共有A22 A55 =240種排列方法甲乙乙甲 a

13、bcde ebdcaA55A55A22A22 例6 (4)7位同學(xué)站成一排甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？A22種.第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種所以一共有A52 A55 2400種排列方法 例6 (5)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 解：第一步 從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法第二步 從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有A55種方法例6 (6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法一（直接法）：以甲作為分類標(biāo)準(zhǔn),分為兩類：第一類：先安排甲在中間,再安排乙,有第二類：先安排甲在排尾,再安排其

14、他人,有共有：3720種方法例6 (6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的.所有排法：甲在排頭：乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：共有：3720種方法(7)7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計數(shù)原理:76543217！=5040.有限制條件的排列問題2 相鄰問題(9)甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？例6 (8)甲、乙兩同學(xué)相鄰的排法共有多少種？解:甲、乙合在一起有A22種排法,與另五個同學(xué)全排列有A66種排法，共有N= A22 A66=720捆綁法3 不相鄰問題(9)解法一：間接法(11)甲、乙、丙按指定順序排

15、列。(10)甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解法二：先將其余五個同學(xué)排好有:再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個“空位”有:所以一共有種方法種方法，此時他們留下六個“空位”，種方法,插空法A44A53=1440其余四人在7個位置中選4個，有:A74方法，甲、乙和丙三個同學(xué)在其余3個位置中，只有一種方法共有N= A741=840種站法.練習(xí)1 若有四個男孩和三個女孩站成一排照相： 若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？所以在全排列中， A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等解:A在B左邊的一種排法必對應(yīng)著A在B右邊的一種排法種排法。因此有：插空法 若三個女孩要站在一起，四個男

16、孩也 要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）捆綁法若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有A44種排法，五個空檔(包括兩端)再把三個女孩插入空檔中有A53種方法共有：種排法。插空法若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？ 練習(xí)2 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命種恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？ 解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開 ，如圖表示沒有命中，_ 命中的三槍看作一個元素和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中有A52=54=20種排法 練習(xí)3 一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種 ？ 練習(xí)4 一排長椅上共

17、有10個座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個連續(xù)空位的坐法種數(shù)為 。（用數(shù)字作答）480A63 練習(xí)5 同室4名學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？ 第一個同學(xué)從中拿一張賀卡，滿足要求的拿法有3種解：第一步 考慮被第一個同學(xué)拿走賀卡的那個同學(xué)也有3種拿法，第二步第三步、第四步各有一種拿法，由乘法原理共有3311=9 如果女生全排在一起，有多少種不同排法？ 如果女生全分開，有多少種不同排法？ 如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？ 如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400

18、 A52A66+2A31A51A66=36000或A88- A32 A66=36000練習(xí)6 三名女生和五名男生排成一排，某些元素不能在或必須排列在某一位置；某些元素要求連排（即必須相鄰）；某些元素要求分離（即不能相鄰）； 某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”； 某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”。 有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法“優(yōu)限法”；2基本的解題方法：1對有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下

19、類型：小結(jié)：數(shù)學(xué)、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有 種, 例7 某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？ 第一類數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有 種,第三類第四類其他有 種，共有 種； 其他有 種，一第二類共有 種； 數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種； 數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種； 所以符合條件的排法共有 種對特殊元素:數(shù)學(xué)和體育進(jìn)行分類解決. 第一節(jié)和第六節(jié)均不排數(shù)學(xué)、體育，有 種 例7 某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育

20、共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？ 第一類第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有 種，第三類第四類其他有 種，共有 種； 其他有 種，一第二類共有 種； 第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)不排體育有 種，其他有 種，共有 種； 第一節(jié)不排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有 種，其他有 種，共有 種； 所以符合條件的排法共有 種解法二：對特殊位置:第一節(jié)和第六節(jié)進(jìn)行分類解決. 例7 某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？ 本題也可采用間接排除法解決解法3：不考慮任何限制條件共有 種排法，不符合題目要

21、求的排法有：（1）數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有 種； （2）體育排在第一節(jié)有 種； 考慮到這兩種情況均包含了數(shù)學(xué)排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況 種 所以符合條件的排法共有 種。 例8 某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為多少？ 第一步:將一班的3位同學(xué)“捆綁”成一個大元素; 第二步:這個大元素與其它班5位同學(xué)共6個元素的全排列 第三步:這個大元素與其它班的5位同學(xué)共6個元素的全排 列排好后產(chǎn)生的7個空擋中排列二班的2位同學(xué); 第四

22、步:“釋放”一班的3位同學(xué)“捆綁”成的大元素， 解：符合要求的基本事件（排法）共有：所以共有 個；而基本事件總數(shù)為 個;所以符合條件的概率為 例9 在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 個. 解：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制; 個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法;十位和百位方法數(shù)為 種千位在余下的4個非0數(shù)中選擇也有4 種方法，故方法總數(shù)為 種 例10 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 個.（用數(shù)字作答）解：第一步: 將1和

23、2“捆綁”成一個大元素，3和4“捆綁”成一 個大元素，5和6“捆綁”成一個大元素;第二步: 排列這三個大元素;第三步: 在這三個大元素排好后產(chǎn)生的4個空擋中的任 何2個排列7和8，第四步: “釋放”每個大元素（即大元素內(nèi)的每個小元素 在“捆綁”成的大元素內(nèi)部排列）;所以共有 個數(shù) 了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計算。 排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”;“一定順序”就是與位置有關(guān);這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。 根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當(dāng)兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同

24、.組合 問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？ 問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個問題有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二 從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序組合定義: 一般地,從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.排列與組合有什么共同點與不同點？組合的特征：（1）每個組合中元素互不相

25、同；（2）“只取不排”無序性；（3）組合相同即元素相同； （4）排列與組合問題共同點是“從n個不同元素中任意取出m （mn）個元素”，不同點是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合 組合數(shù) 從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)如何計算？組合a b ca b da c db c d排列a b c b a c c a ba c b b c a c b aa b d b a d d a ba d b b d a d b

26、aa c d c a d d a ca d c c d a d c ab c d c b d d b cb d c c d b d c b第一步第二步=從a, b, c, d這四個字母中選三個的組合與排列的關(guān)系： 求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù), 第1步,從這n個不同元素中取出m個元素,共有 種不同的取法;Cnm可看作以下2個步驟得到: 第2步,將取出的m個元素做全排列,共有種不同的 排法. Anmn,mN*,并且mn.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=1例1計算：（1）（2）原式=例2求證：組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3 計算：（1）和（2）和（3）（4）（5）解:原式=(4)原式或,

27、 原式 (5)原式例4 解方程(1)(2)解 (1)原方程化為：且不合題意，舍去，(2)原方程化為： 例1 一位教練的足球隊共有17名初級學(xué)員,他們中以前沒有一人參加過比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問:簡單的組合問題 (1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案? (2)如果在選出11名上場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學(xué)員中選出11人上場第2步,從上場的11人中選1名守門員 例2 (1)平面內(nèi)有10個點,以其中每2個點為端點的線段共有多少條?10個不同元素中

28、取2個元素的組合數(shù). 10個不同元素中取2個元素的排列數(shù). (2)平面內(nèi)有10個點,以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?例3 四面體的頂點和各棱的中點共10個點(1)從中任取三點確定一個平面,共能確定多少個平面？ 解決問題(1)可考慮間接法, 由間接解法，共能確定不同平面4+6+12+7=29個； 四面體的每一個面上的6個點只能確定同一個平面，六個中點中又有3對互相平行的連線，每一條棱上的三個點和棱外的點只能確定一個平面,即從3個點的組合扣除3點共線,四點共面和六點共面的情形.(2)以這10個點為頂點,共能確定多個少凸棱錐？問題(2)首先要對凸棱錐的類型做出判斷,然后分類統(tǒng)計.所以有 個

29、三棱錐. 即不考慮限制后，減去4個面上4點共面虛構(gòu)的、6條棱上三點共線虛構(gòu)的和3對平行中位線4點共面虛構(gòu)的.依四面體的性質(zhì)，若從 10 個點中取頂點作棱錐,只能是:三棱錐和四棱錐每一組不共面的 4 點確定一個三棱錐，無三點共線的共面 4 點與該平面外一點確定一個四棱錐，又每一面上6點，僅確定6個不同凸四邊形， 和不在該面上的另外4點之一為第5個頂點,可做成四棱錐 又每對平行的中位線段為四邊形二邊可確定一個底面四邊形，另取其余6點之一為第5個頂點，可做四棱錐 C64-3C33C21-3C32C22+3=6 例4 (1)有4本不同的書，一個人去借，有多少種不同的借法？ (2) 有13本不同的書，其

30、中小說6本，散文4本，詩歌3本，某人借6本，其中有3本小說，2本散文，1本詩歌，問有幾種借法？(1)此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個步驟完成，共有（種） 練習(xí) 在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個不同元素中取3個元素的組合數(shù)(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有 練習(xí) 在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法

31、2100件中抽3件減98件合格品中抽3件主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。利用組合和排列的關(guān)系得到了組合數(shù)公式。n個不同元素m個元素m個元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結(jié)：1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問題：例1一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球，從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？從口袋內(nèi)取出3個球,含有1個黑球,有多少種取法?從口袋內(nèi)取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法？或按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只

32、有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例2（1）（2）（3）（4），或（5）（6） 例3 在產(chǎn)品檢驗中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查,根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多. 例1平面上有五個藍(lán)點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍(lán)點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？2 某些特殊元素有特殊歸類問題：解法一：（直接法）設(shè)五個點所在直

33、線為l，分為兩類：(1)過l上的三個紅點：可與l外的三個藍(lán)點各連一條直線,有條，又與l上的兩個藍(lán)點只連一條直線，可連條(2)過l外的四個紅點：可與五個藍(lán)點各連一條直線，有條共可連（條） 例1平面上有五個藍(lán)點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍(lán)點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點共線，有其中共線的五個點可連條，條而這條只能是一條共可連（條） 說明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問題，即題中共線的五個點，只能作一條直線： 例2有劃船運(yùn)動員10人，其中人會劃右舷，人會劃左舷，其余人都會劃，現(xiàn)要從中選出人，平均分配在船的兩舷，有多

34、少種選法？解：按左舷分三類：（1）只會劃左舷人都被選（2）只會劃有左舷人被選：（3）只會劃左舷人都不選：共有（種）例3 由數(shù)1、2、3、4可組成多少個不同的和？3 組合中的有重復(fù)問題：解：選兩個數(shù)相加有選三個數(shù)相加有選四個數(shù)相加有但 1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4（個）例4 以正方體的四個頂點為頂點可以確定多少個三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有個側(cè)面和6個對角面，共有解法二：從正方體的8個頂點中任選4個有種，其中共面的有6個面和6個對角面，共有（種）4 “不相鄰”的組合問題： 例1現(xiàn)有十只燈，為節(jié)約用電，可以將其中的三只燈關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩只或

35、三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，關(guān)燈方法有多少種？解：10只關(guān)掉3只余7只，7只之間的6個空選3個，有為所求 例2某儀表顯示屏上一排個小孔，每個小孔可顯示紅與黃兩種顏色信號，若每次有三個小孔同時給出信號，但相鄰的兩孔不能同時給出信號，求此顯示屏可顯示多少種不同的信號？解：有孔不顯示信號,其空有,選三空顯示信號,有種，每孔都有紅、黃兩種顏色有種，可顯示（種）5 “名額分配”問題： 例1有10個參加數(shù)學(xué)競賽的名額,要分給7所學(xué)校,每校至少一個名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個名額中的7個名額分給7個學(xué)校每校一個，則轉(zhuǎn)化為剩下的三個名額如何分配的問題，可分三類方法.第一類:選三個學(xué)校,每個學(xué)

36、校一個名額,分配方法數(shù)第二類:選兩個學(xué)校,決定哪個學(xué)校分別給一個或兩個名 額，分配方法種數(shù)為第三類:選一個學(xué)校,三個名額都給該校,分配方法種數(shù)為所以不同的名額分配方法種數(shù)為則“擋板”的一種插法恰好對應(yīng)10個名額的一種分配方法,解法二：注意到10個名額之間是沒有差別的，設(shè)想將10個名額排成一排，每兩個“相鄰”的名額間形成一個空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“”表示相同的名額，“ 設(shè)想在這幾個空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個名額分割成七個部分， 將第一、二、三、七個部分所包含的名額數(shù)分給第一、二、三、七所學(xué)校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數(shù)與名額的分配

37、方法種數(shù)是相等的，為 解：在五個1之間添加兩個加號，添加的方法種數(shù)就等于方程解的個數(shù)故有 解法一：5個1之間用加號相連,可以添兩個加號(表示y0) 每一個均加1，然后再均減1則可以將原來的問題理解為：求例2已知方程，求有多少組正整數(shù)解？有多少組非負(fù)整數(shù)解？也可以添一個加號(表示y=0)所以解法二：此問題則可以解釋為：先將的正整數(shù)解個數(shù)，同（1），則實際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法 本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對應(yīng)關(guān)系，而且每個位置至少應(yīng)分配一個元素與解法一相比，擋板法比較簡捷，但不如解法一易于理解 例3第17屆世界杯足球賽于2002年夏

38、季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32支球隊有幸參加，他們先分成8個小組循環(huán)賽，決出16強(qiáng)（每隊均與本組其他隊賽一場，各組一、二名晉級16強(qiáng)），這支球隊按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場比賽？小組循環(huán)賽：每組有6場，8個小組共有48場；八分之一淘汰賽：共有8場；四分之一淘汰賽：共有4場；半決賽：共有2場；決賽：確定冠亞軍，第三、四名 共有2場.綜上，共有場 例 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種1注意區(qū)別“恰好”與“至少” 例 從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多

39、少種2特殊元素（或位置）優(yōu)先安排 例 將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種3“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧 例 對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？4混合問題，先“組”后“排” （1）今有10件不同獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法? （2）今有10件不同獎品, 從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少種分法? （3）今有10件不同獎品, 從中選6件分成三份,每份2

40、件, 有多少種分法? 5分清排列、組合、等分的算法區(qū)別 例1 從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理 例2. 要從7個班中選10人參加數(shù)學(xué)競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數(shù)進(jìn)行分類，或用插板法求解解法一：共分三類：第一類，一個班出4人，6個班各出1人，有 C71 種；第二類，有2個班分別出2人，3人，其余5個班各出1人有 A72 種；第三類，有3個班各出2人，其余4個班各出1人，共有 種有 C73 種，C71 +A72 +C73=84 注意：本題易把10個名額看成10個不同的元素，從而得出錯誤的結(jié)果 解法二：將10

41、人看成10個元素，這樣元素之間共有9個空（兩端不計）； 例1 從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96 從這9個空位里任選6個（即這6個位置放入隔板，將其分為七部分），有 種放法，如 | 表示什么意義？ 它表示表示第1個班1人，第2個班2人，第3個班1人，第4個班1人，第5個班3人，第6、7個班各1人排列與組合的綜合問題 解排列組合問題，要正確使用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1 特殊(元素,位置)優(yōu)先法:2 科學(xué)分類法：3 插空法：4 捆綁法：5 “分組”問題

42、：6 隔板處理(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表,某男生必須擔(dān)任科代 表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表1 特殊(元素,位置)優(yōu)先法: 對于特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法. 例1: 有5個男生和3個女生，從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表(2)某女生一定要擔(dān)任語文科代表(1)有女生但人數(shù)必須少于男生5400種=840種=360種前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有 種， 例2 對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出， 從4件中確定最后一件次品有 種方法，前4次測試中的順序有 種， 576。 對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)