奧數(shù)第九講(枚舉與其他組合方法)

1、三年級(jí)秋季班（五級(jí)下）9. 第九講：枚舉與其他組合方法一、解決問題：計(jì)數(shù)類問題宗旨：不重不漏枚舉法：將符合要求的結(jié)果一一列舉出來重要思想：1、有序2、會(huì)分類二、最短路線宗旨：不走冤枉路，就要朝著目標(biāo)走方法：標(biāo)數(shù)法步驟：1、找方向（目標(biāo)及車站）2、從起點(diǎn)標(biāo)數(shù)，起點(diǎn)標(biāo)13、按順序每個(gè)點(diǎn)都要標(biāo)到4、每個(gè)點(diǎn)的數(shù)字=能直接到它的點(diǎn)的數(shù)字之和例1一只螞蟻從A想到B,你能給它找到幾條最短路線呢?A三年級(jí)秋季班（五級(jí)下）9. #解析：最短路線就要不走回頭路、不走重復(fù)路。怎么走呢?目的地在右下方，那么路線就向右、向下就可以了。那么每個(gè)點(diǎn)需要加的數(shù)就是它左邊和上邊的點(diǎn)的數(shù)，標(biāo)數(shù)如下:2336A1B11目標(biāo)：右下車

2、站：左上三年級(jí)秋季班（五級(jí)下）9. #三年級(jí)秋季班（五級(jí)下）9. #可知從A到B的最短路線有6條。例2小新和爸爸決定去黃山玩，請(qǐng)問從北京道黃山的最短路線有多少條呢?解析：三年級(jí)秋季班（五級(jí)下）9. 可知從北京到黃山的最短路線有10條。家庭作業(yè)4圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法。解析：每種讀法都是“我愛希望杯”五個(gè)字，相當(dāng)于沿著這五個(gè)字的一種“走法”，所以我們可以把每個(gè)字看做“點(diǎn)”（車站），用標(biāo)數(shù)法解答。起點(diǎn)是“我”1我愛1希1望1杯1愛2希3望4杯1希3望6杯1望4杯1杯最后要注意的是終點(diǎn)有5個(gè)喲！所以要把5個(gè)“杯”的數(shù)都加起來。最終結(jié)果是1+4+6+4+1=16（種）三、樹形圖適合：1

3、、步驟少2、每步的選擇少例3某人游覽A,B,C三個(gè)風(fēng)景區(qū)，計(jì)劃旅游5天，最后要回到A區(qū)（不能連續(xù)兩天在同一個(gè)風(fēng)景區(qū)），符合條件的游覽路線可以有幾條？解析：方法一，出發(fā)地點(diǎn)不確定，那么我們應(yīng)該按照出發(fā)地分為三大類（1）從A出發(fā)共6種第一天第二天第三天第四天第五天ABABCAACBAABACCABCA（2）從B出發(fā)共5種第一天第二天第三天第四天第五天BCAABCBAABACCABCA從C出發(fā)共5種同學(xué)們想想，為什么從C出發(fā)的也是5種呢？一一因?yàn)锽和C是同級(jí)別的，比如在上幅樹形圖中，將B換成C,把C換成B不就可以了嗎？那同學(xué)們?cè)傧胂耄瑸槭裁碆,C和A不是同級(jí)別的呢？那么共有6+5+5=16（條）游覽

4、路線。方法二，倒推法第五天第四天第三天第二天第一天BAACCAB第五天在A,那么第四天就有2種可能（在B或C），如果在C,第三天又有2種可能，如果在B,第三天也有2種可能（像不像以前學(xué)的細(xì)胞分裂？）那么最后到第一天的可能就是1X2X2X2X2=16（種）四、分類枚舉例4有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)（不同順序表示不同信號(hào)），共可以組成多少種不同的信號(hào)？解析：分兩類同色：紅紅，藍(lán)藍(lán)，黃黃，共3種信號(hào)異色：紅+黃，紅+藍(lán)，黃+藍(lán)，共2X3=6（種）信號(hào)紅黃紅藍(lán)黃藍(lán)黃紅藍(lán)紅藍(lán)黃注意：要留意什么時(shí)候與順序有關(guān)。符號(hào)相同時(shí)，與順序無關(guān)，比如11與11是一樣的符號(hào)不同

5、時(shí)，要考慮順序，比如12與21是不一樣的。例5下午茶的時(shí)候。老師給同學(xué)們準(zhǔn)備了蘋果、香蕉、橘子三種水果，每種都有足夠多個(gè)昊昊想挑3個(gè)水果吃，他一共有多少種挑法？解析：先分類，怎么分好呢？我們可以分為一種水果：蘋，香，橘，共3種兩種水果：蘋+香，蘋+橘，香+橘，3種搭配，但每種搭配中都有2種選法（2蘋1香共2X3=6（種）選法1蘋2香）三種水果：蘋+香+橘，就1種共：3+6+1=10（種）（提高）學(xué)案4老師拿來三張卡片，上面分別寫著數(shù)字1,2,3，昊昊可以用這些卡片拼出多少個(gè)不同的數(shù)？解析：題目只問不同的數(shù)，并沒有要求位數(shù)。那么我們按照位數(shù)來分類一位數(shù)：3個(gè)二位數(shù)：12,13,21,23,31,

6、32共6個(gè)三位數(shù)：123,132,213,231,312,321共6個(gè)總計(jì)：3+6+6=15（個(gè)）注：在組數(shù)問題中，經(jīng)常按照位數(shù)的多少來分類。五、整數(shù)拆分基本功：會(huì)有序進(jìn)行整數(shù)的拆分注意：判斷題目屬于有序拆分問題還是無序拆分問題1、無序拆分問題把相同的東西放到相同的盤子里方法：進(jìn)行整數(shù)的拆分即可2、有序拆分問題把相同的東西放到不同的盤子里方法：第一步：進(jìn)行整數(shù)的拆分，第二步：對(duì)拆分結(jié)果進(jìn)行組數(shù)鋪：程老師有7個(gè)相同的蘋果，（1）放到3個(gè)相同的盤子里有多少種方法？保證每個(gè)盤子至少放一個(gè)。解析：7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3共計(jì)4種方法（2）如果放到3個(gè)不同的盤子里呢？保證每個(gè)盤

7、子至少放一個(gè)。先拆分7=1+1+5115,151,511三種=1+2+4124,142,214,241,412,421六種=1+3+3133,313,331三種=2+2+3223,232,322三種共計(jì)3+6+3+3=15種方法例6濤濤有5個(gè)相同的飛機(jī)模型，他要把它們放在一個(gè)3層的貨架上，每層至少要放1個(gè)，濤濤一共有多少種不同的放法？過了幾天，他又要把18個(gè)相同的汽車模型放到另一個(gè)3層貨架上，每層最少要放5個(gè)，這時(shí)有多少種不同的放法？解析：貨架分上中下三層，是不同的，所以是有序拆分問題。那么先拆分，再組數(shù)。（1）5=1+1+3113,131,311三種=1+2+2122,212,221三種共計(jì)

8、3+3=6種（2）每層最少放5個(gè)，那么拆數(shù)時(shí)最小數(shù)是518=5+5+8558,585,855三種=5+6+7567,576,657,675,756,765六種=6+6+6666一種共計(jì)3+6+1=10種六、反面思考（尖子）學(xué)案4班主任要從巍巍、濤濤、昊昊、錚錚、包包這5個(gè)小朋友里面選出四人參加羽毛球賽，有多少種不同的選法？如果已經(jīng)選出了巍巍、濤濤、昊昊、錚錚，現(xiàn)在要將它們分成兩組打比賽，有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)小朋友中選4個(gè)比較復(fù)雜，可從5個(gè)小朋友中選1個(gè)就簡(jiǎn)單多啦！題目要求從5個(gè)中選4個(gè)參加比賽，不就相當(dāng)于從5個(gè)中選1個(gè)不參加比賽嗎？顯然有5種嘛！這就是反面思考問題，是不是簡(jiǎn)單很多呢？已經(jīng)選了4名同學(xué)，我們不妨將他們標(biāo)號(hào)為1號(hào)、2號(hào)