高中數(shù)學選擇性必修一 1.1 空間向量及其運算（精練）(含答案)

1、1.1 空間向量及其運算(精練)【題組一 概念辨析】1(2021全國高二單元測試)下列說法中正確的是( )A兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B若非零向量和是共線向量，則、四點共線C在空間中，任意兩個單位向量都相等D零向量與任意向量平行【答案】D【解析】A項：因為兩個向量起點相同且是相等的向量，所以終點必相同，A錯誤；B項：若非零向量和是共線向量，則和平行或者重合，故、四點不一定在同一條直線上，B錯誤；C項：單位向量的模相等，但方向不一定相同，C錯誤；D項：零向量與任意向量平行，D正確，故選：D.2(2021湖南)(多選)下列命題中為假命題的是( )A任意兩個空間向量的模能比較大小B將

2、空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C空間向量就是空間中的一條有向線段D不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】BCD【解析】對于選項A，向量的模即向量的長度，是一個數(shù)量，所以任意兩個向量的模可以比較大?。粚τ谶x項B，其終點構(gòu)成一個球面；對于選項C，零向量不能用有向線段表示；對于選項D，兩個向量不相等，它們的?？梢韵嗟裙蔬x：BCD3(2021全國高二)下列說法中正確的是()A若，則，的長度相等，方向相同或相反B若向量是向量的相反向量，則C空間向量的減法滿足結(jié)合律D在四邊形中，一定有【答案】B【解析】對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向

3、相同或相反,所以A錯誤.對于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個向量.因而相反向量滿足模長相等,所以B正確.對于C,減法結(jié)合律指的是,因而由運算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律.所以C錯誤.對于D滿足的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,因而D錯誤.綜上可知,正確的為B故選:B4(2021陜西新城)給出下列命題：若空間向量滿足，則；空間任意兩個單位向量必相等；對于非零向量，由，則；在向量的數(shù)量積運算中.其中假命題的個數(shù)是( )A1B2C3D4【答案】D【解析】對于，空間向量的方向不一定相同，即不一定成立，故錯誤；對于，單位向量的方向不一定相同，故錯誤；對于，取，滿足，且，但是，故錯誤；對

4、于，因為和都是常數(shù)，所以和表示兩個向量，若和方向不同則和不相等，故錯誤.故選：D.【題組二 共線共面問題】1(2021漣水縣)是空間四點，有以下條件：； ； ，能使四點一定共面的條件是_【答案】【解析】對于，由空間向量共面定理可知四點一定共面，不滿足共面定理的條件.故答案為：2(2021江蘇)設(shè)空間任意一點和不共線三點，且點滿足向量關(guān)系，若四點共面，則_【答案】【解析】因為四點共面，三點不共線，所以因為，因為是任意一點，故可不共面，所以，故.故答案為：13(2021廣東)對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關(guān)系：，則( )A四點，必共面B四點，必共面C四點，必共面D五點，必共面【答案】B【解

5、析】因為，所以，即，根據(jù)共面向量基本定理，可得，共面，所以，四點共面故選：B4(2021湖南)已知、三點不共線，對平面外的任一點，下列條件中能確定點與點、一定共面的是( )ABCD【答案】B【解析】若，故可得即，則，故整理得又因為共面，故可得共面，而其它選項不符合，即可得四點共面.故選：B.5(2021安徽已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外的任意一點，若，試判斷向量，是否共面，并判斷點P是否在平面ABC內(nèi)【答案】見解析【解析】因為，所以，即，所以向量，共面.因為，有共同的起點P，且A，B，C三點不共線，所以P，A，B，C共面，即點P在平面ABC內(nèi).6(2021全國高二課時練習)如圖，在

6、四面體OABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點求證：四邊形EFGH是矩形【答案】證明見解析；【解析】取的中點D，聯(lián)結(jié)OD，CD，由，知，又，故平面，又平面，因此又E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點則，故，四邊形EFGH是平行四邊形同理，且，又所以，四邊形EFGH是矩形【題組三 線性運算】1(2021全國高二課時練習)如圖，已知平行六面體，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)，向量如圖所示；(2)，向量如圖所示；(3)，向量如圖所示；(4)，向量如圖所示；【解析】(1)，向量如圖所示；(2)在平行六面體中，

7、有，故，向量如圖所示；(3)由知，取的中點為E，向量如圖所示；(4)由(2)知，取的三等分點F點，向量如圖所示；2(2021福建)如圖，E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點、化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4).3(2021全國高二課時練習)舉出一些表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量的實例【答案】實例見解析；【解析】在三棱錐中，不同在一個平面內(nèi)；長方體中，從一個頂點A引出的三個向量，不同在一個平面內(nèi).4(2021全國高二課時練習)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中

8、，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，則( )ABCD【答案】A【解析】由題圖觀察，平移后可以首尾相接，故有.故選：A.5(2021靜寧縣)如圖：在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，則下列向量中與相等的向量是( )ABCD【答案】A【解析】，故選：A.【題組四 數(shù)量積】1(2021海南)已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若對角線BD2，AC4，則EG2HF2的值是( )A5B10C12D不能確定【答案】B【解析】如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)可得,.所以四邊形EFGH是

9、平行四邊形，因為，所以 .故選：B.2(2021四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中， ，則( )ABCD2【答案】A【解析】因為四棱柱中，底面是正方形，則，所以.故選：A.3(2021四川省內(nèi)江市第六中學)如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，分別是，的中點，則_.【答案】【解析】設(shè)，則且兩兩夾角為 所以 ，所以故答案為：4(2021全國高二單元測試)已知球內(nèi)切于正四面體，且正四面體的棱長為，線段是球的一條動直徑(，是直徑的兩端點)，點是正四面體的表面上的一個動點，則的最大值是_【答案】8【解析】由正四面體棱長為，其內(nèi)切圓的半徑為，由題意，是直徑的兩端點，可得，則，當點在正

10、四面體頂點時，最大，且最大值為，則的最大值為，故答案為：5(2021北京)若平面向量為單位向量， 空間向量滿足，則對任意的實數(shù)，的最小值為_【答案】【解析】即，當且僅當取等號即的最小值為故答案為：6(2021河北新樂市第一中學高二開學考試)如圖，在平行六面體中，為的中點，則_.【答案】6【解析】設(shè)因為所以解得故答案為：67(2021廣東珠海市高二期末)如圖，在一個直二面角的棱上有兩點，分別是這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于的線段，且，則_【答案】【解析】由已知，可得，故答案為8(2021東莞市光明中學高二開學考試)如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩所成的二面角為，測

11、得從到庫底與水壩的交線的距離分別為米、米，米，則甲乙兩人相距_米.【答案】70【解析】由題意，米，米，米，庫底與水壩所成的二面角為，米.故答案為：70.9(2021全國高二單元測試)已知P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任意一點，則的最大值為_.【答案】2【解析】由題意畫出圖形，如圖所示，因為，且是向量在上的投影，所以當P在棱C1C上時，投影最大，所以的最大值為.故答案為：210(2021山東威海市高二期末)已知四面體ABCD的每條棱長都等于1，點G是棱CD的中點，則_.【答案】【解析】因為四面體ABCD的每條棱長都等于1，點G是棱CD的中點，所以，且，所以，故答案為：.11(2021全國高二課時練習)如圖所示，已知是所在平面外一點，求證：在平面上的射影是的垂心【答案】證明見解析【解析】，平面，由題意可知，平面，同理可證，是的垂心12(2021山西)如圖，在平行四邊形中，沿著它的對角線將折起，使與成角，求此時，之間的距離【答案】或【解析】因為，所以，因為與成角，所以或因為，所以，所以當時，即；當時，即綜上，可知，之間的距離為或13(2021全國高二課時練習)如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點求：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)【答案】(1)；(2)；(3)