圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、學(xué)問(wèn)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式；（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率ktan,0,By 02C 夾 角 公 式 ： 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離dAx 02 ABtank 2k 11k k 2 1（3）弦長(zhǎng)公式直線 yk2kxb 上兩點(diǎn)A x 1,y 1,B x 2,y 2間的距離：AB1k2x 1x 21x 1x224x x2或AB11y 1y 2k2（4）兩條直線的位置關(guān)系 1l2k k =-1 l 1/l2k 1k 2且b 1b 22、圓錐曲線方程及性質(zhì)1、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）

2、標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y21m0,n0 且mn2amn距離式方程：xc 2y2xc2y2參數(shù)方程：xacos ,ybsin2、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：x2|y21m n20 xc2y2| 2amn距離式方程：xc2y3、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：2 ba2；雙曲線：2 b2；拋物線：2pa4、圓錐曲線的定義你記清晰了嗎？如：已知F 、F 2是橢圓x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn),平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M 滿43足MF 1MF22就動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是（）A、雙曲線； B、雙曲線的一支； C、兩條射線； D、一條射線5、焦點(diǎn)三角形面積公式：P在橢圓上時(shí),SF PF 12b2 tan2ey 0P在雙曲線上時(shí),

3、SF PF 1 2b2 cot2（其中F PF 2,cos|PF 12 |PF 22 |4 c2,PF 1PF 2|PF 1|PF 2|cos）|PF 1| |PF 26、記住焦半徑公式：（1）橢圓焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)為aex 0;焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為a,可簡(jiǎn)記為“ 左加右減,上加下減”；（2）雙曲線焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)為e x 0|a（3）拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|x 1|p,焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為|y 1|p226、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清晰嗎？其次、方法儲(chǔ)備 1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問(wèn)題）設(shè)Ax 1, y1、Bx 2, y2,Ma ,b為橢圓x2y21的弦 AB 中點(diǎn)就有43x 12x 1y 1221,

4、x22y2211；兩式相減得x 124x22y123y22043x43yAB=3ax 1y23y 1y2kx244b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？假如有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程,并且與曲線的方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)二次方程, 使用判別式0,以及根與系數(shù)的關(guān)系, 代入弦長(zhǎng)公式,設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A x y 1 1,B x 2,y 2,將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 1 2 兩個(gè)式子,然后 1 -2 ,整體消元,如有兩個(gè)字母未知數(shù), 就要找到它們的聯(lián)系, 消去一個(gè),比如直線過(guò)焦點(diǎn),就可以利用三點(diǎn)A、B、F 共線解決之；如有向量的關(guān)系,就尋找坐標(biāo)之間

5、的關(guān)系, 根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理；一旦設(shè)直線為 y kx b ,就意味著 k 存在；例 1、已知三角形 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 4 x 2 5 y 2 80 上,且點(diǎn) A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A 在 y 軸正半軸上） . （1）如三角形 ABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn),試求直線 BC 的方程 ; （2）如角 A 為 90 ,AD 垂直 BC 于 D,試求點(diǎn) D 的軌跡方程 . 分析：第一問(wèn)抓住“ 重心”,利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC 的斜率,從而寫(xiě)出直線 BC 的方程；其次問(wèn)抓住角 A 為 90 可得出 ABAC,從而得 x 1 x 2 y 1 y 2 14 y 1 y

6、2 16 0,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn) D 的軌跡方程；解 ：（ 1） 設(shè) B（x , y ） ,C x , y 2 ,BC 中點(diǎn)為 x 0, y 0 ,F2,0就 有2 x 12 y 1,1x2 2y2 2101 20162016兩式作差有x 1x2x 1x2y1y2y 1y20 x0y0k201654F2,0為三角形重心,所以由x 13x22,得x03,由y1y240得3y 02,代入（ 1）得k680,得5直線 BC 的方程為6x5y2802由 ABAC 得x 1x 2y 1y 214 y 1y2160（2）設(shè)直線BC方程為ykxb ,代入4x25 y245 k2x210 bkx

7、2 5 b800 x 1x2410kb,x 1x25 b2805 k245 k241, 即y 1y248k2,y 1y24 b280k2代入（ 2）式得5 k45k29 b2432 b2160,解得b4 舍或b45k9直 線 過(guò) 定 點(diǎn) （ 0 ,4 , 設(shè) 9D （ x,y）, 就yx4yx99y29 x232y160所以所求點(diǎn) D 的軌跡方程是x2y162202y4；994、設(shè)而不求法例 2、如圖,已知梯形 ABCD 中AB2CD,點(diǎn) E 分有向線段 AC 所時(shí),成的比為,雙曲線過(guò) C、D、E 三點(diǎn),且以 A、B 為焦點(diǎn)當(dāng)2334求雙曲線離心率e的取值范疇；分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比

8、分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運(yùn)算才能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的才能；建立直角坐標(biāo)系 xOy ,如圖,如設(shè) C2 c , h,代入a x 22b y2 21,求得 h,進(jìn) 而 求 得 x E , y E , 再 代 入a x 22 b y 22 1, 建 立 目 標(biāo) 函 數(shù)f a b c 0,整理 f e , 0,此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難 .我們對(duì) h可實(shí)行設(shè)而不求的解題策略 , 建立目標(biāo)函數(shù) f a b c 0,整理 f e , 0 ,化繁為簡(jiǎn) . 解法一：如圖,以 AB 為垂直平分線為 y軸,直線 AB 為 x 軸,建立直角坐標(biāo)系 xOy ,就 CD y軸由于雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C、D

9、,且以 A、B 為焦點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性知C、D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱依題意,記 A ,c 0,C c , h,E x 0, y 0,其中 c 1 AB | 為雙2 2曲線的半焦距,h 是梯形的高,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cx 0 c2 2 c,y 0 h1 2 1 1設(shè)雙曲線的方程為a x 22 b y2 21,就離心率 ea c由點(diǎn) C、E 在雙曲線上,將點(diǎn) C、E 的坐標(biāo)和 e c 代入雙曲線方a程得由式得e22h21,1h214b22e2411,b2h2 eb24將式代入式,整理得e24412,AE,AC 用E C 的橫坐4故1e231由題設(shè)23得,212 e3233434解得7e10所以雙曲

10、線的離心率的取值范疇為7,10分析：考慮AE,AC 為焦半徑 ,可用焦半徑公式 , 標(biāo)表示,回避 h 的運(yùn)算 , 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一,AEaex E,ACaex ,e231,由題xEcc22c,又AE1,代入整理1211AC設(shè)23得,21e 232334347,10解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范疇為5、判別式法例 3已知雙曲線 C : y x1,直線 l 過(guò)點(diǎn) A 2 , 0,斜率為 k ,當(dāng) 0 k 1 2 22 2時(shí),雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B 到直線 l 的距離為 2 ,試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)；分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)討論幾何圖形的

11、一門學(xué)科,因此,數(shù)形結(jié)合必定是討論解析幾何問(wèn)題的重要手段 . 從“ 有且僅有”這個(gè)微觀入手,對(duì)比草圖,不難想到：過(guò)點(diǎn)B 作與 l 平行的直線,必與雙曲線 C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 . 由此動(dòng)身,可設(shè)計(jì)如下解題思路：l:ykx20k120直線 l 在 l 的上方且到直線l 的距離為l:ykx2 k把直線 l的方程代入雙曲線方程,消去 2 2 2 ky,令判別式解得 k 的值解題過(guò)程略 . 分析 2：假如從代數(shù)推理的角度去摸索,就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá),即所謂“ 有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為2 ” ,相當(dāng)于化歸的方程有唯獨(dú)解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}

12、關(guān)于 x 的方程kx2k2x212k20k1有唯獨(dú)轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解簡(jiǎn)解 ：設(shè)點(diǎn)Mx ,2x2為雙曲線 C 上支上任一點(diǎn),就點(diǎn)M 到直線 l 的距離為：kx2k2x22k20k11于是,問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程 . 2k .由于0k1,所以2x2xkx,從而有kx2x22 kkx2x2于是關(guān)于 x 的方程kx2x22k2 k21 2k20的二根同2x222 k212 kkx 2,2k212kkx0k212 x2 k2 k21 2 kx2 k21 2 k220,2k21 2 kkx.0由0k1可知：方程k21x22 k2k212kx2 k212k正,故2k21 2kkx0恒成立

13、,于是等價(jià)于2220. k21x22 k2k21 2kx2 k21 由如上關(guān)于x 的方程有唯獨(dú)解,得其判別式0 ,就可解得k255. 點(diǎn)評(píng) ：上述解法緊扣解題目標(biāo),不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換,充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 . 例 4 已知橢圓 C:x 2 2 y 2 8和點(diǎn) P（4,1）,過(guò) P 作直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn),在線段 AB 上取點(diǎn) Q,使AP PB在曲線的方程 . AQ QB,求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡所分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題,解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾,同學(xué)往 往不知從何入手；其實(shí),應(yīng)當(dāng)想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 . 因此,第一是選定參數(shù),然后想方設(shè)法將點(diǎn) 達(dá),最終通過(guò)消參可達(dá)到解題的

14、目的 . Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表由于點(diǎn) Q x , y 的變化是由直線 AB 的變化引起的,自然可挑選直線AB 的斜率 k 作為參數(shù),如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn) Q 在直線 AB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：APPB QB來(lái)轉(zhuǎn)化 .由 A、B、AQP、Q 四點(diǎn)共線,不難得到 x 4 x A x B 2 x A x B,要建立 x 與 k 的關(guān)系,只需8 x A x B 將直線 AB 的方程代入橢圓 C 的方程,利用韋達(dá)定理即可 . 通過(guò)這樣的分析,可以看出,雖然我們?nèi)詻](méi)有開(kāi)頭解題,但對(duì)于如何解決此題,已經(jīng)做到心中有數(shù) . AP AQx4PBQB2xAx BxAxB8x

15、Ax Bxf將直線方程代入橢圓方程,消去y,利用韋達(dá)定理k k利用點(diǎn) Q 滿意直線 AB 的方程： y = k x 4+1,消去參數(shù)點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 x f k 之后,假如能夠從整體上把握,熟悉到：所謂消參,目的不過(guò)是得到關(guān)于 x, 的方程（不含 k）,就可由 y k x 4 1 解得k y 1,直接代入 x f k 即可得到軌跡方程；從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)x 4程；簡(jiǎn)解 ：設(shè) A x 1 , y 1 , B x 2,y 2 , Q x , y ,就由 AP AQ 可得：4 x 1 x x 1,PB QB x 2 4 x 2 x解之得：x 4 x 1 x 2 2 x 1 x 2（1）8 x

16、 1 x 2 設(shè)直線 AB 的方程為：y k x 4 1,代入橢圓 C 的方程,消去 y得出關(guān)于 x 的一元二次方程：2 k 21 x 24 k 1 4 k x 2 1 4 k 28 0（2）4 k 4 k 1x 1 x 22 k21 ,2x 1 x 2 2 1 42 k 8 .2 k 1代 入（1）,化 簡(jiǎn) 得：x 4 k 3.k 23 與yk x4 1聯(lián)立,消去 k 得：2xy4x4 k0 .410,結(jié)合（3）在（2）中,由64k264k240,解得21024可求得16210 x16210.9940（16210 x16210）. 故知點(diǎn) Q 的軌跡方程為：2xy99點(diǎn)評(píng)： 由方程組實(shí)施消元

17、 ,產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程,其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到 . 這當(dāng)中,難點(diǎn)在引出參,活點(diǎn)在應(yīng)用參,重點(diǎn)在消去參.,而“ 引參、用參、消參”三步曲,正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道 . 6、求根公式法2 例 5 設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（0,3）,和橢圓x 9y21順次交于 A、B 兩點(diǎn),4試求AP PB的取值范疇 . PB=x ,但從今后卻一 x B分析：此題中,絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：籌莫展 , 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上,所謂求取值范疇,不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程） ,這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二

18、就 是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系 . 分析 1:從第一條想法入手,AP PB= x 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式,但由于 x B有兩個(gè)變量 x , Ax B,同時(shí)這兩個(gè)變量的范疇不好掌握,所以自然想到利 用第 3 個(gè)變量直線 AB 的斜率 k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將 x , Ax B 轉(zhuǎn)化 為關(guān)于 k 的表達(dá)式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去 y 得 出關(guān)于 x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出 . 把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程, 消去 y 得 到關(guān)于 x 的一元二次方程 求根公式xA= f（ k）, xB = g（k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量關(guān)于k

19、的函數(shù)關(guān)系式k 的取值范疇由判別式得出所求量的取值范疇y簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí),可求得AP1; PB5當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí),設(shè)Ax 1,y 1,B x2,y 2,直線 l 的方程為：kx3,代入橢圓方程,消去y 得9 k24x254 kx450解之得x 1 ,227kk69k25.924由于橢圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱,點(diǎn) P 在 y 軸上,所以只需考慮k0的情形. 當(dāng)k0時(shí),x 127 k69k225,x 227kk69k25,92185k2. 9k24924APx 1所以=1=9k29k5=19 k18 k2PBx 29k29k21529 k59由0, 解得k25,54k 2

20、1809 k249所以18,11綜上295k2591AP PB1 5. 分析 2: 假如想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,就應(yīng)當(dāng)考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k 的取值范疇,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k 聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說(shuō),韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁,但此題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理,緣由在于 AP x 1 不是關(guān)于 x 1, x 2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 緣由找到后,解決問(wèn)題的PB x 2方法自然也就有了,即我們可以構(gòu)造關(guān)于 x 1, x 2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程, 消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程韋達(dá)定理x

21、A+ xB = f（ k）,xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）構(gòu)造所求量與k 的關(guān)系式k 的取值范疇由判別式得出關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線 l 的方程為：ykx3,代入橢圓方程,消去y 得9 k24x2254 kx450k25,（*）就x 1x2x29 k9k54k,24x 1454.324k2.2令x 1,就,1x245k220在（*）中,由判別式0 可得91從而有141324k236,所以41236,解得45k220555. 1得1 5. 1. 5結(jié)合05AP綜上,PB點(diǎn)評(píng) ：范疇問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多,諸如判別式法,均值不等式法,變量的有界性法,函數(shù)

22、的性質(zhì)法,數(shù)形結(jié)合法等等 . 此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手,給出又一美麗解法 . 解題如同打仗,不能只是忙于沖鋒陷陣,一時(shí)局部的成功并不能說(shuō)明問(wèn)題,有時(shí)甚至?xí)痪植克U纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在,只有見(jiàn)微知著,樹(shù)立全局觀念,講究排兵布陣,運(yùn)籌帷幄,方能決勝千里 . 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式,它是數(shù)學(xué)求解的核心； 以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題, 即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù),挑選恰當(dāng)?shù)慕忸}方法,達(dá)到解題目標(biāo),得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程； 在推理過(guò)程中, 必需留意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等）理嚴(yán)密；通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦,做到

23、摸索縝密、推 快速提高解題才能；且AF例 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B, O為橢圓中心,F 為橢圓的右焦點(diǎn),FB1,OF1（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為 M ,直線 l 交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn),問(wèn)：是否 存在直線 l ,使點(diǎn) F 恰為 PQM 的垂心？如存在,求出直線 l 的方程 ; 如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；思維流程：（）由AFFB1,OF1ac ac1,c1a2,b1寫(xiě)出橢圓方程PQMF MPFQkPQ1由 F為PQM 的重心（）xy2x2m2消元3 x24mx2 m2202y兩根之和,MPFQ0得出關(guān)于解出 m 兩根之積m 的方程解題過(guò)程：（）如圖建系,設(shè)橢圓方程為x2y21ab2

24、0,就c1a2b2又AFFB1即ac ac1a2c ,a2故橢圓方程為x2y212（）假設(shè)存在直線 l 交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且 F 恰為PQM 的垂心,就設(shè) P x y 1 1 , Q x 2 , y 2 ,M 0,1, F 1,0,故 k PQ 1,y x m于 是 設(shè) 直 線 l 為 y x m , 由 2 2 得 ,x 2 y 22 23 x 4 mx 2 m 2 0MP FQ 0 x x 2 1 y 2 y 1 1 又 y i x i m i 1,2得 x x 2 1 x 2 m x 1 m 1 0 即2 x x 2 x 1 x 2 m 1 m 2m 0 由韋達(dá)定理得22 2 m 2

25、4 m m 1 m 2m 03 3解得 m 4或 m 1（舍）經(jīng)檢驗(yàn) m 4符合條件3 3點(diǎn)石成金： 垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊,然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例 7、已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn), 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上, 且經(jīng)過(guò)A 2,0、B2,0、C1,3三點(diǎn)2（）求橢圓 E 的方程：（）如點(diǎn) D 為橢圓 E 上不同于 A、B 的任意一點(diǎn),F 1,0,H1,0,當(dāng) DFH 內(nèi)切圓的面積最大時(shí),求 思維流程：DFH 內(nèi)心的坐標(biāo)；（）由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為mx2ny21得 到m,n的 方 程解出m,n（）由DFH 內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為DFH 面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的肯定值最大

26、最大D 為橢圓短軸端點(diǎn)DFH 面積最大值為0 ,33S DFH1周長(zhǎng)r 內(nèi)切圓r 內(nèi)切圓332得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)為3解題過(guò)程：（）設(shè)橢圓方程為mx2ny21m,0 n0, 將A 2,0、B2,0、C3 1, 2代入橢圓 E 的方程,得x2y214 m1,1解得m1,n1.橢圓 E 的方程9 4nm4343（） |FH|2,設(shè) DFH 邊上的高為S DFH12hh2當(dāng)點(diǎn) D 在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),設(shè) DFH 的內(nèi)切圓的半徑為h 最大為3 ,所以SDFH的最大值為3 R,由于 DFH 的周長(zhǎng)為定值6所以,S DFH1 R 26所以 R的最大值為 3所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 30,3 . 3 點(diǎn)石成金：S

27、的內(nèi)切圓 1 的周長(zhǎng) r 的內(nèi)切圓2例 8、已知定點(diǎn) C 1, 及橢圓 x 23 y 25,過(guò)點(diǎn) C 的動(dòng)直線與橢圓相交于 A,B 兩點(diǎn). （）如線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 12,求直線 AB 的方程；（）在 x軸上是否存在點(diǎn) M ,使 MA MB 為常數(shù)？如存在, 求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 思維流程：（）解：依題意,直線 AB 的斜率存在,設(shè)直線 AB 的方程為 y k x 1,將 y k x 1 代入 x 23 y 25, 消去 y 整理得 3 k 21 x 26 k x 23 k 25 0.設(shè) A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,4 2 236 k 43 k

28、13 k 5 0 1 就x 1 x 2 62 k 2. 23 k 12由線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 12,得 x 12 x 23 k 32 k1 12,解得k 3,符合題意；3所以直線 AB 的方程為 x 3 y 1 0,或 x 3 y 1 0 . （）解：假設(shè)在 x軸上存在點(diǎn) M m ,0,使 MA MB 為常數(shù) . 當(dāng) 直 線 AB 與 x 軸 不 垂 直 時(shí) , 由 （ ） 知2 2x 1 x 2 62 k,x x 2 3 k2 5 . 33 k 1 3 k 1所以 MA MB x 1 m x 2 m y y 1 2 x 1 m x 2 m k 2 x 1 1 x 2 1 k 21 x

29、x 2 k 2m x 1 x 2 k 2 m 將 3 代入,整理得MA MB 6 m3 k 12 k1 25 m 2 2 m 13 33 kk 22 11 2 m 143 m 22 1 6 m 14m 2 m 2 .3 33 k 1留意到 MA MB 是與 k 無(wú)關(guān)的常數(shù),從而有 6 m 14 0,m 7, 此時(shí)3MA MB 4 .9 當(dāng) 直 線 AB 與 x 軸 垂 直 時(shí) , 此 時(shí) 點(diǎn) A,B 的 坐 標(biāo) 分 別 為1,2、1,2,當(dāng) m 7 時(shí), 亦有 MA MB 4.3 3 3 9綜上,在 x軸上存在定點(diǎn) M 7 0, ,使 MA MB 為常數(shù) . 3點(diǎn)石成金：MA MB 6 m 1

30、2 k 25 m 2 2 m 13 3 k 22 1 2 m 143 m 23 k 1 3 k 12 1 6 m 14m 2 m 2 .3 33 k 1例 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（2,1）,平行于 OM 的直線 l 在 y 軸上的截距為 m（m 0）, l 交橢圓于 A、B 兩個(gè)不同點(diǎn)；（）求橢圓的方程；（）求 m 的取值范疇；（）求證直線MA、MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為x a28y21 ab0 橢圓方程為x2y212b2就a2 b解得 1a241b2282a2b2（）直線 l 平行于 OM

31、 ,且在 y 軸上的截距為 m 解得又 K OM=1 2x22 mx2m24l的方程為：y1xm2由y1xm2x2y210兩 個(gè) 不 同 點(diǎn) ,82與 橢 圓 交 于A 、 B 直 線l4 0 ,2 m 24 2 m22m,2且m0（） 設(shè)直線 MA、MB 的斜率分別為 k1,k2,只需證明 k1+k 2=0即可設(shè)A x 1,y 1,B x2,y2,且x 1x 22 m ,x 1x 222 m41 x 12 就k 1y 11,k2y21x 12x 22由x 22 mx2 m240 可得x 1x 22 m ,x 1x22 m24而k 1k2y 11y21y 11x 22 xy 22 x 12x2

32、2x 12 2. 1x 1m1 x 22 1x2m1 x 12 22x 12 x22 x 1x 2 m2 x 1x24 m1x 12 x22 22 m4 m2 2 m 4 m1x 12 x 22 22 m42 2 m4 m4m40 x 12 x 22 k 1k20故直線 MA 、MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形點(diǎn)石成金：直線 MA、MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形0 ,Bk 1bk20例 10、已知雙曲線x2y21的離心率e233,過(guò)Aa ,22,0的直ab線到原點(diǎn)的距離是3.2（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線ykx5 k0 交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D 且 C,D 都k 的值.

33、在以 B 為圓心的圓上,求思維流程：解 ： （ 1 ）c233,原 點(diǎn) 到 直 線AB ：xy1的 距 離aab3. daabb2ab2c2y , 整 理 得b1,a3.x2y21.故所求雙曲線方程為3（ 2 ） 把ykx5代入x23y23中 消 去 13k2x230kx780. 的中點(diǎn)是Ex 0y0,就設(shè)Cx 1,y 1,Dx2,y2,CDx0 x12x2115k2y0kx0515k2,3k3kBEy0011.xk0,又k0,k27kx 0ky0k0 ,即115k215kk23k3故所求 k=7 . 點(diǎn)石成金 : C,D 都在以 B 為圓心的圓上BC=BDBECD; 例 11、已知橢圓 C

34、的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3,最小值為 1（）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；x 軸上,橢圓 C 上的（II ）如直線 l y=kx+m 與橢圓 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)（ A、B 不是左右頂點(diǎn)）,且以 AB 為直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn) 求證：直線 l 過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維流程：解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21 ab0,0a2b2由已知得：ac3,ac1,a2,c1,3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y212 ba2c243（II ）設(shè)A x 1,y 1,B x 2,y 2ykxm,聯(lián)立2 xy21.43得34k22 x8 mkx42 m30,就642 m k21634 k2m230,即34k2m20,x 1x 238mk2,4kx x 1 24m2k2 3 .34又y y2kx 1m kx 2m 2 k x x 2mk x 1x 2m2