2013級數(shù)值分析試卷答案

1、數(shù)值分析試卷(A)合肥工業(yè)大學(xué) 2013 級一、判斷題：( ) ( ) ( ) ( ) ( )二、填空題：3. a U -3U， b U -2U， f (3) U 0U.1.U 10 U，U 4 U.2.U 0.5 U.3U5. x-x .4. 4.25.UUU10 x3 5,x3 8,三、(本題滿分 10 分) 解：原方程組可等價改為： 3x 15.3由于修改后的方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，故由此構(gòu)造的Gauss-Seidel 迭代格式均收斂，且Jacobi 迭代格式和,( 1) ( ) ( ) k 0,1,.( 1) ( )x 8 ,(k )Jacobi 迭代格式：315.( 1)

2、32x 10(k )(k )3x12,1)( ( ) ( ) k 0,1,.(1) (1)x 8 ,(k )Gauss-Seidel 迭代格式：315.3x 2x(k 1)(k 1)( 31) 1012四、(本題滿分 8 分) 解：設(shè) x* 至少有l(wèi) 位有效數(shù)字，由于6 43 7 ，故 43 的第一個非零數(shù)字是 6，即 x* 的第一位有效數(shù)字 a 6 ，由題意知143 x*12a11210l 1 10l1 0.001%x*1解得： l 4.92081五(本題滿分 10 分) 解：構(gòu)造差商表如下：xi0yi2111)2 x3 x 1所以插值多項式： p六(本題滿分 12 分) 解：x2 , x3

3、 ，帶入求積公式并令等式成立得(1) 分別取 f 2 A1 A2 0 Ax A x A 1 A1 12 212x 1132，解得：x A x A x22, 3121 12 230 A x A x331 12 2t 122(2) 令 x ，則11 1t t 18111x 2d t (t 1) 1 cos(t 1) d tIcos222110 1 1 1 1 1 1 cos1 0.296891 1 1 1 cos 1318 8 33 3七(本題滿分 12 分) 證及解：)xk ), k 0,1,(1) Newton 迭代格式：)(x)迭代函數(shù)為： ，則 f (x)2 f (x) f (x) f (

4、x)2f (x)f (x)(x) 1由于 x* 是方程 f (x) 0 的單根，故(x*) 0 ，故 Newton 迭代法求單根至少是平方收斂的。xk 1f (x ), k 1, 2,(2) 弦截法迭代格式：kf (x)k 1k2x 1 帶入得：將 fx 1x3k x, k 1, 2,1 2x 1kkk 2xk 1, k 1, 2,k 2xk取初值 x0 1.5, x1 1.6 計算： x2 1.619962, x3 1.618005.八(本題滿分 10 分) 解：根據(jù)題意： m 3, 設(shè)擬合 1 次最小二乘多項式為：p1 (x) c0 c1 xm 1xyi ci 410 c 5.5 法方程組

5、： ，即 0 0 .x y 1030 c1 16.7c2xii i i解得c0 0.1,c1 0.59.故所求多項式為： p1(x) 0.1 0.59x .3總誤差： Q yi p(xi ) 0.0072i0九(本題滿分 12 分)證：(1) 設(shè) yn y(tn ) ，則 y(tn ) f (xn , y(tn ) .將 y(tn1 ) 在tn 處作 Taylor 展開2y(t) y(t h) y(t ) hy(t ) h y( ) ， t ntn1n1nnn2!由 Euler 方法得yn1 yn h f (tn , yn ) y(tn ) h f (tn , y(tn ) y(tn ) h

6、y(tn )上面兩式相減得2 hy( ) O(h ) ,y(t) y2n1n12于是 p 1 2 p 1 ，即 Euler 方法是具有一階精度的數(shù)值方法，證畢！t y解：(2) 根據(jù)題設(shè)知 f (t, y) ，則改進的 Euler 方法的計算格式為t yn1 yn h f (tn , yn ), yh f (t), y, y ) f (t, yn1nnnn1n12由 y0 y(0) 1， h 0.5 ，得3 y h f (t , y ) 1 0.5 31 2.5, y10001 0 313 2.5 h20.5 f (t0 , y0 ) f (t1, y1) 1 y y 10 3,21 01 0.5 3 3