《泛函分析》教學(xué)大綱

1、泛函分析Functional Analysis一、課程基本情況課程類別：專業(yè)方向課課程學(xué)分：3學(xué)分課程總學(xué)時(shí)：48學(xué)時(shí)，其中講課：48學(xué)時(shí)（含習(xí)題課），不含課外輔導(dǎo)學(xué)時(shí)課程性質(zhì)：選修開(kāi)課學(xué)期：第6學(xué)期先修課程：高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)等適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等教 材：拉克斯泛函分析(中文版)，人民郵電出版社，2010年，講授第1、2、5章 Brezis泛函分析理論和應(yīng)用(葉東、周風(fēng) 譯),清華大學(xué)出版社,2009年，講授第1-5章開(kāi)課單位：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)系二、課程性質(zhì)、教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)課程性質(zhì)：泛函分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)的后續(xù)課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的的主要數(shù)學(xué)分支之一, 它

2、綜合地運(yùn)用分析、代數(shù)和拓?fù)涞挠^點(diǎn)、方法, 來(lái)研究無(wú)窮維空間上的函數(shù)及其算子, 在抽象空間上研究類似于實(shí)數(shù)上的分析問(wèn)題, 解決分析學(xué)自身的疑難問(wèn)題以及產(chǎn)生于現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理、現(xiàn)代工程技術(shù)等領(lǐng)域中的學(xué)術(shù)問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)任務(wù)：我們的目標(biāo)側(cè)重于泛函分析中相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，為學(xué)生將來(lái)掌握現(xiàn)代偏微分方程服務(wù)。為此，教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生掌握度量空間、Banach空間、Hilbert空間以及定義在這些空間上的線性泛函和線性算子的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的抽象空間概念。主要內(nèi)容、重點(diǎn)：線性空間、商空間*、線性映射及其指標(biāo)、賦范線性空間*、Hahn-Banach定理及共軛凸函數(shù)理論*、Banach-Steinh

3、uas定理*、閉圖像定理*、正交關(guān)系、無(wú)界算子、共軛算子、滿射算子的刻畫(huà)*、弱拓?fù)?、自反空間*、可分空間、一致凸空間、LP空間*和Hilbert空間*。注：重點(diǎn)用右上標(biāo)星號(hào)標(biāo)出三、教學(xué)內(nèi)容和要求第一章線性空間與商空間（4學(xué)時(shí)）（1）了解：線性空間定義基本性質(zhì)，及各種典型例子如常見(jiàn)的函數(shù)空間Ca,b等； （2）理解：線性空間的直和、線性子空間、線性張、線性映射、凸性、凸集、極值點(diǎn)； （3）掌握：商空間的定義、等價(jià)類定義、商空間的維數(shù)/余維數(shù)/基，商空間的典型例子；重點(diǎn)：商空間的維數(shù)/基、線性張、凸性、凸集難點(diǎn)：商空間的維數(shù)/基/典型例子第二章線性映射（4學(xué)時(shí)）2.1 線性映射生成的代數(shù)(2學(xué)時(shí)

4、)（1）了解：線性映射滿足的結(jié)合律、分配律，可逆性，零空間、值域、冪零空間； （2）理解：線性映射的不變子空間、商映射的零空間； （3）掌握：線性映射可逆性的判定條件；重點(diǎn)：可逆性的判定條件難點(diǎn)：商映射的零空間2.2 線性映射的指標(biāo)(2學(xué)時(shí))（1）了解：線性映射的退化、偽逆； （2）理解：偽逆的判定條件、補(bǔ)子空間、線性映射的指標(biāo)； （3）掌握：正合列、指標(biāo)的乘積公式；重點(diǎn)：正合列空間的維數(shù)交錯(cuò)和公式 難點(diǎn)：正合列的判定 第三章賦范線性空間(6學(xué)時(shí))3.1 范數(shù)(2學(xué)時(shí))（1）了解：各種具體的賦范線性空間比如, , 等及其各種具體的范數(shù)； （2）理解：范數(shù)的定義、度量空間的性質(zhì)、范數(shù)的等價(jià)性、稠

5、密子集、閉包、Cauchy列、 完備空間、商空間的完備性； （3）掌握：Sobolev空間的定義、Hlder不等式；重點(diǎn)： 稠密子集、Cauchy列、完備空間難點(diǎn)： 商空間的完備性3.2 單位球的非緊性(2學(xué)時(shí))（1）了解：閉單位球、嚴(yán)格次可加性、一致凸性、極小化序列； （2）理解：無(wú)窮維空間中的閉單位球非緊； （3）掌握：一致凸的應(yīng)用；重點(diǎn)：無(wú)窮維空間中的閉單位球非緊難點(diǎn)：一致凸的應(yīng)用3.3 等距(2學(xué)時(shí))（1）了解：等距、置換的定義； （2）理解：等距與線性的關(guān)系； （3）掌握：等距的復(fù)合；重點(diǎn)：等距與線性的關(guān)系難點(diǎn)：等距與線性的關(guān)系第四章Hahn-Banach定理、共軛凸函數(shù)理論（6學(xué)時(shí)

6、）4.1 Hahn-Banach定理的解析形式(2學(xué)時(shí))（1）了解：zorn引理，對(duì)偶范數(shù)； （2）理解：Hahn-Banach定理的解析形式，嚴(yán)格凸； （3）掌握：線性延拓；重點(diǎn)：Hahn-Banach定理的解析形式；難點(diǎn)：線性延拓；4.2 Hahn-Banach定理的幾何形式(3學(xué)時(shí))（1）理解：超平面，嚴(yán)格分離，凸集； （2）掌握：Hahn-Banach定理的第一、二幾何形式；重點(diǎn)：Hahn-Banach定理的第一、二幾何形式；難點(diǎn)：第一、二幾何形式的應(yīng)用，用于證明某子向量空間是稠密的。4.3 共軛凸函數(shù)理論簡(jiǎn)介(3學(xué)時(shí))（1）了解：圖像，下半連續(xù)，上包絡(luò)； （2）理解：凸函數(shù)，共軛函數(shù)

7、，F(xiàn)enchel-Moreau定理，F(xiàn)enchel-Rockafellar定理（3）掌握：支撐函數(shù)，指標(biāo)函數(shù)；重點(diǎn)：凸函數(shù)，共軛函數(shù)；難點(diǎn)：Fenchel-Moreau定理，F(xiàn)enchel-Rockafellar定理。第五章Banach-Steinhaus定理和閉圖像定理、正交關(guān)系、無(wú)界算子、共軛算子、滿射算子（8學(xué)時(shí)）5.1 Baire引理(0.5學(xué)時(shí))（1）理解：Baire引理軛證明； 5.2 Banach-Steinhaus定理(2學(xué)時(shí))（1）了解：連續(xù)線性算子空間及其范數(shù)； （2）理解：Banach-Steinhaus定理(一致有界原理)； （3）掌握：Banach-Steinhaus

8、定理的應(yīng)用；重點(diǎn)：Banach-Steinhaus定理的應(yīng)用；難點(diǎn)：Banach-Steinhaus定理5.3 開(kāi)映射定理和閉圖像定理(2學(xué)時(shí))（1）了解：連續(xù)線性算子空間及其范數(shù)； （2）理解：開(kāi)映射定理，閉圖像定理； （3）掌握：開(kāi)映射定理和閉圖像定理的應(yīng)用；重點(diǎn)：開(kāi)映射定理和閉圖像定理的應(yīng)用即從；難點(diǎn)：開(kāi)映射定理，閉圖像定理。5.4 拓?fù)溆嘧涌臻g，(左)右可逆算子(0.5學(xué)時(shí))（1）了解：拓?fù)溆嘧涌臻g，投影算子，(左)右可逆算子及其性質(zhì)； 5.5 直角關(guān)系(1學(xué)時(shí))（1）理解：兩閉子空間的和與閉子空間的拓?fù)溆嘧拥暮偷牡葍r(jià)關(guān)系； 5.6 無(wú)界線性算子簡(jiǎn)介，共軛算子定義 (1學(xué)時(shí))（1）了解

9、：無(wú)界線性算子，閉算子及其圖、像集與和，稠密； （2）理解：閉算子的性質(zhì) 難點(diǎn)：閉算子的性質(zhì)。5.7 閉圖像算子的刻畫(huà)，滿射算子，有界算子 (1學(xué)時(shí))（1）理解：閉圖像算子的值域的閉的等價(jià)性； （2）掌握：無(wú)界算子的運(yùn)用及先驗(yàn)估計(jì)；重點(diǎn)：無(wú)界算子的運(yùn)用；難點(diǎn)：先驗(yàn)估計(jì)。第六章弱拓?fù)?、自反空間、可分空間、一致凸空間（8學(xué)時(shí)）6.1 使一族映射連續(xù)的最粗糙的拓?fù)?0.5學(xué)時(shí))（1）了解：最粗糙的拓?fù)洌蛹惖臉?gòu)造，拓?fù)淇臻g序列收斂的等價(jià)定義； 6.2 弱拓?fù)涞亩x和基本性質(zhì) (1學(xué)時(shí))（1）了解：嚴(yán)格粗糙，不可度量化； （2）理解：弱拓?fù)?，可分離性，弱收斂； （3）掌握：弱收斂與強(qiáng)收斂的有條件轉(zhuǎn)化

10、；重點(diǎn)：弱收斂與強(qiáng)收斂的有條件轉(zhuǎn)化；難點(diǎn)：可分離性。6.3 弱拓?fù)?凸集和線性算子 (1學(xué)時(shí))（1）理解：弱閉的等價(jià)條件，弱拓?fù)渖嫌成涞倪B續(xù)性； （2）掌握：弱收斂與下半連續(xù)凸函數(shù)的關(guān)系；重點(diǎn)：弱閉的等價(jià)條件；6.4 弱*拓?fù)?1.5學(xué)時(shí))（1）了解：典則嵌入，弱*拓?fù)浼捌溥\(yùn)用； （2）理解：可分離性，弱*收斂與強(qiáng)收斂的有條件等價(jià)性； 6.5 自反空間(3學(xué)時(shí))（1）理解：自反及其判定條件,Helly引理，Goldstine引理，可分性與可度量化的關(guān)系； （2）掌握：自反性的應(yīng)用；重點(diǎn)：自反性的應(yīng)用；難點(diǎn)：自反及其判定條件,Helly引理，Goldstine引理。6.6 一致凸空間(1學(xué)時(shí))（

11、1）理解：一致凸，一致凸與自反性的關(guān)系； 第7章Lp空間（6學(xué)時(shí)）7.1積分理論回顧（1學(xué)時(shí)）（1）了解：-有限測(cè)度，Tonelli定理、Fubini定理；（2）理解：-代數(shù)，測(cè)度，可測(cè)函數(shù)與積分，Cc (n)在L1 (n)中的稠密性；（3）掌握：?jiǎn)握{(diào)收斂定理、控制收斂定理、Fatou引理，；重點(diǎn)：三個(gè)積分收斂定理7.2 Lp空間定義與基本性質(zhì)（2學(xué)時(shí)）（1）了解： Young不等式，Hlder不等式的推廣形式；（2）理解：Lp空間定義，Lp空間為線性空間；（3）掌握：Hlder不等式，Lp空間的完備性；重點(diǎn)：Hlder不等式難點(diǎn)：Lp空間的完備性證明7.3 Lp空間的自反性、可分性、對(duì)偶空間

12、（3學(xué)時(shí)）（1）了解：Lp (n) (1p)的可分性，L在一般情況下不可分；（2）理解：Cc (n)在Lp (n) (1p)中的稠密性，L1、L在一般情況下非自反；（3）掌握：Lp空間(1p)的一致凸性、自反性，Lp空間為L(zhǎng)p空間(1p)的對(duì)偶、Riesz表示定理；重點(diǎn)：Lp空間為L(zhǎng)p空間(1p)的對(duì)偶、Riesz表示定理難點(diǎn)：L1、L在一般情況下非自反性的證明第8章 Hilbert空間（6學(xué)時(shí)）8.1內(nèi)積、投影（2學(xué)時(shí)）（1）了解：一致凸Banach空間中的投影算子，投影算子的壓縮性；（2）理解：L2空間與2空間作為Hilbert空間的例子；（3）掌握：內(nèi)積定義、平行四邊形法則，一點(diǎn)到閉凸集

13、的投影、正交投影；重點(diǎn)：平行四邊形法則，正交投影算子；難點(diǎn)：到閉凸集的投影的存在性證明8.2 RieszFrchet表示定理（2學(xué)時(shí)）（1）掌握：RieszFrchet表示定理；重點(diǎn)：RieszFrchet表示定理；8.3 Stampacchia定理和LaxMilgram定理(2學(xué)時(shí))（1）了解：二次型；（2）理解：coerciveness， Banach不動(dòng)點(diǎn)定，Stampacchia定理；（3）掌握：LaxMilgram定理；重點(diǎn)：LaxMilgram定理；難點(diǎn)：Stampacchia定理的證明；8.4 可分Hilbert空間的正交完備基(選學(xué)內(nèi)容，不占總學(xué)時(shí))（1）了解：線性空間意義下的

14、基（Hamel基）；（2）理解：可分Hilbert空間，正交完備基定義；（3）掌握：正交完備基存在性、Bessel-Parseval等式， Gram-Schmidt正交化；重點(diǎn)：Bessel-Parseval等式；難點(diǎn)：Gram-Schmidt正交化過(guò)程，Hilbert空間的基與其線性空間意義下的基的區(qū)別；8.5 Hilbert空間上的有界算子(選學(xué)內(nèi)容，不占總學(xué)時(shí))（1）理解：投影算子，酉算子；（2）掌握：伴隨算子、自伴算子，2空間上常見(jiàn)有界算子；8.6 譜論初步(選學(xué)內(nèi)容，不占總學(xué)時(shí))（1）了解：自伴緊算子的譜分解定理；（2）理解：緊算子，F(xiàn)redholm擇一定理；（3）掌握：緊算子的譜的結(jié)構(gòu)；重點(diǎn)：緊算子的譜；難點(diǎn)：Fredholm擇一定理的證明，緊算子