專題一一次函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題方法總結(jié)

1、專題一：一次函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題方法總結(jié) 類型一、等腰三角形以A( x , y ) A A、B ( x , y ) B B為三角形的邊，在 x 軸上找一點(diǎn) P 使 eq oac(,得)PAB為等腰三角形（二定一動(dòng)）一.找法：畫圓和作垂直平分線以 A 為圓心，線段 AB 為半徑畫圓，與 x 軸交點(diǎn)即為P1、P2點(diǎn)；（AB=AP）以 B 為圓心，線段 AB 為半徑畫圓，與 x 軸交點(diǎn)即為 P 、 P 點(diǎn)；（AB=BP）3 4作線段 AB 的垂直平分線，與 x 軸交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)；（AP=BP）5二、算法：利用兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行計(jì)算公式：AB ( x x ) A B2 ( y y ) 2 A B

2、，設(shè)P ( x , y ) p p，分三種情況：AB=AP 時(shí)( x x ) A B2( y y ) A B2 ( x x ) A P2( y y ) A P2可得P1、P2，（特殊情況可能是一個(gè)點(diǎn)，例如P2與B重合）AB=BP 時(shí)( x x ) 2 ( y y ) 2 ( x x ) 2 ( y y ) A B A B B P B P2可得P3、P4，（特殊情況可能是一個(gè)點(diǎn)，例如P3與A重合）AP=BP 時(shí)( x x ) A P2( y y ) A P2 ( x x ) B P2( y y ) B P2可得 P 、51 2 2 1 2 1 3 3 例題 1、已知，如圖直線l : y 112x

3、 1分別與 x、y 軸交于點(diǎn) A、B.將直線l 平移后過(guò)點(diǎn)C(4,0)得到直線l ，點(diǎn) D 在y 軸的正半軸，且直線l 交直線 AD 于點(diǎn) E，交 y 軸于點(diǎn) F，且EA = EC(1)求直線l2的解析式；(2)在 x 軸上是否存在點(diǎn) M，使得以點(diǎn) A、B、M 為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M 的坐標(biāo)，若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1) 直線l 平移過(guò)點(diǎn)C(4,0)得到直線l ，設(shè)直線l2的解析式為y = 12x + b點(diǎn)C(4,0)在直線l2， 0 = 4 + b， 2 b = 2，直線l2的解析式為y = 12x + 2(2)令x = 0，則y = 1， B(0, 1

4、) AB = (0 + 2)2 + (1 0)2 = 5 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(a, 0)，令y = 0，則0 = 12x 1， x = 2， A(2,0)當(dāng)AM = BM時(shí) eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形，則(2 a)2 = (a 0) 2 + (0 + 1)2，即4 + 4a + a2 = a2 + 1，解得a = ，4即點(diǎn)M( , 0)4當(dāng)AM = AB時(shí) eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形， 則(a + 2)2 = 5，整理得a2+ 4a 1 = 0， 3 a =452解得a1= 2 + 5，a = 2 5，2即點(diǎn)M(2 + 5,

5、0)或(2 5, 0) 當(dāng)BM = AB時(shí) eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形，則5 = (a 0)2 + (0 + 1)2，即5 = a2+ 1，解得a = 2，當(dāng)A = 2時(shí)與點(diǎn) A 重合，此時(shí)不符合題意，故a = 2舍去即點(diǎn)M(2,0)綜上所述，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為( , 0)或(2 + 5, 0)或(2 5, 0)或(2,0)4練習(xí)：1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn) A 的兩條直線分別交 y 軸與 B（0，3），C（0，-1）兩點(diǎn)，且ABC 30，ACAB 于點(diǎn) A.（1）求線段 AO 的長(zhǎng)，及直線 AC 的解析式；（2）若點(diǎn) D 在直線 AC 上，且 DB=D

6、C，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，直線 BD 上是否存在點(diǎn) P，使得 P、A、B 三點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在請(qǐng)直接 寫出 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）AO 3，A( 3,0)，AC 解析式：y 33x 1（2）B (0,3) D ( 2 3,1)（3）BD 解析式：y 33x 3AB=AP（以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓與直線 BD 交點(diǎn)即為 P ( 3 3,0)1P1）AB=BP（以 B 為圓心，AB 為半徑畫圓與直線 BD 交點(diǎn)即為 P ( 3,3 3) , P (3,3 3)2 3P 、P2 3）AP=BP（作 AB 線段的垂直平分線交直線

7、BD 與點(diǎn) P ( 3,2)4P4）4練習(xí)2：如圖，直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，且 （1）求 B 點(diǎn)的坐標(biāo)和 k 的值OC 4OB 3（2）若點(diǎn) A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線 y=kx-4 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí) eq oac(,，)AOB 的面積是 6？（3）在（2）成立的情況下，x 軸上是否存在點(diǎn) P，使POA 是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）C (0, 4)，B (3,0)，k 43解析式：y 43x 4（2）設(shè) A 的縱坐標(biāo)為 hSAOB1 OB h=62，解得 h=4代入直線 BC 解析式：y 4

8、3x 4A(6, 4)OA 2 13（3）A0=0P（以 0 為圓心，A0 為半徑畫圓與 x 軸交點(diǎn)即為P、P1 2）P ( 2 13,0) 1、P (2 13,0)2A0=AP（以 1 為圓心，A0 為半徑畫圓與 x 軸交點(diǎn)即為 P ）3P (12,0)3AP=OP（作 A0 線段的垂直平分線交 x 軸與點(diǎn) 13P ( ,0)3P4）練習(xí) 3：如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y 33x 2的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) B（1）已知 OCAB 于 C，求 C 點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在 x 軸上是否存在點(diǎn) P，使PAB 為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【

9、答案】（1）A( 2 3,0) ， B (0, 2) ，在ABC 中，OCAB 于 C則AO2AC AB,解得AC 3利用等面積法可得：3 3, )D ( 則2 2CD 32、AD 3 32AB 4（2）AB=AP（以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓與直線 BD 交點(diǎn)即為 P (42 3,0) 、P (4 2 3,0)1 2P、P1 2）AB=BP（以 B 為圓心，AB 為半徑畫圓與直線 BD 交點(diǎn)即為 P ）3P (2 3,0)3AP=BP（作 AB 線段的垂直平分線交直線 BD 與點(diǎn)P4）P ( 42 33,0)練習(xí) 4：.如圖，一次函數(shù)y 3 x 3的函數(shù)圖象與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn)

10、A，B，以線段 AB 為直角邊在第一象限內(nèi)作 eq oac(,Rt)ABC，且使ABC=30 （1）求ABC 的面積；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn) P（m，32），試用含 m 的代數(shù)式表示APB 的面積，并求當(dāng)APB 與ABC 面積相等時(shí) m 的值；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn) Q，使QAB 是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 所有可能的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）A(1,0)，B (0, 3)，AB 2設(shè)AC x，則BC 2 x由勾股定理得：4 x2x24 ，解得： x 2 33SABC1 2 3 2 3 2 2 3 3過(guò) P 作 PDx 軸，垂足為 DSAPBS梯形 ODPBSAOBSAPD3 3 2 3m 2 4 35m 解得：6（3）AB 2AB=AQ（以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓與直線 BD 交點(diǎn)即為Q 、Q 、Q 1 45）Q ( ,0) 、Q (3,0)、Q (0, 3)1 4 5