高中數(shù)學(xué)必修二 10.3.1 頻率的穩(wěn)定性（含答案）

1、 10.3.1頻率的穩(wěn)定性導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1 頻率的穩(wěn)定性大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)知識(shí)點(diǎn)2 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系(1)頻率是概率的近似，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率，頻率本身是隨機(jī)的試驗(yàn)前是不能確定的(2)概率揭示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小

2、，是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)，概率可以通過頻率來測(cè)量，某事件在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，就將eq f(nA,n)作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P(A)eq f(nA,n).(3)求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的方法是根據(jù)定義通過大量的重復(fù)試驗(yàn)用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；任何事件A的概率P(A)總介于0和1之間，即0P(A)1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.知識(shí)點(diǎn)3 頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)【合作探究】探究一 頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系【例1】下列說法正確的是()A由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩，則一

3、定為一男一女B一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)C10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大D10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1【答案】D一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確歸納總結(jié)：理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面(1)

4、概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值(2)由頻率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系對(duì)具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件【練習(xí)1】“某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq f(1,100)”意味著()A買100張彩票就一定能中獎(jiǎng)B買100張彩票能中一次獎(jiǎng)C買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中D購(gòu)買彩票中獎(jiǎng)的可能性為eq f(1,100)【答案】D某彩票的中獎(jiǎng)率為eq f(

5、1,100)，意味著中獎(jiǎng)的可能性為eq f(1,100)，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)探究二 用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)其概率【例2】某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號(hào)的燈管1 000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組0，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率思路探究根據(jù)頻率的定義計(jì)算，并利用頻率估計(jì)概率【答案】(1)頻率依次是0

6、.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.(2)樣本中使用壽命不足1 500小時(shí)的頻數(shù)是48121208223600.所以樣本中使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率是eq f(600,1 000)0.6，即燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率約為0.6.歸納總結(jié)：1頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率2解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率【練習(xí)2】某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車

7、輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠償金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率【答案】(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)eq f(150,1 000)0.15，P(B)eq f(120,1 000)0.12，由于投保額為2 800元，賠付金額大

8、于投保金額的情形是賠付3 000元和4 000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)P(B)0.150.120.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.11 000100(位)，而賠付金額為4 000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.212024(位)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為eq f(24,100)0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)0.24.探究三 游戲的公平性【例3】某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)

9、行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？思路探究計(jì)算和為偶數(shù)時(shí)的概率是否為eq f(1,2)，概率是eq f(1,2)就公平，否則不公平【答案】該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：和45671567826789378910由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1eq f(6,12

10、)eq f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2eq f(6,12)eq f(1,2)，即P1P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的歸納總結(jié)：【練習(xí)3】若在例3中，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”請(qǐng)回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會(huì)選哪種猜數(shù)方案？(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？【答案】(

11、1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B.猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因?yàn)椤安皇?的整數(shù)倍”的概率為eq f(8,10)0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B.(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A，這是因?yàn)榉桨窤是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲的公平性課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1給出下列3種說法：設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq f(3,7)；隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3【答案】

12、A由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，均不正確2設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8 000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為()A160 B7 840C7 998 D7 800【答案】B次品率為2%，故次品約8 0002%160(件)，故合格品的件數(shù)可能為7 840.3某地氣象局預(yù)報(bào)說：明天本地降水的概率為80%，則下列解釋正確的是()A明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水B明天本地有80%的時(shí)間降水，20%的時(shí)間不降水C明天本地降水的可能性是80%D以上說法均不正確【答案】C選項(xiàng)A，B顯然不正確，因?yàn)槊魈毂镜亟邓母怕蕿?0%不是說有80%的區(qū)域降水，也不是說有80%的時(shí)間降水，而是指降水的

13、可能性是80%.故選C4某中學(xué)要在高一年級(jí)的二、三、四班中任選一個(gè)班參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，有人提議用如下方法選班：擲兩枚硬幣，正面向上記作2點(diǎn)，反面向上記作1點(diǎn)，兩枚硬幣的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班按照這個(gè)規(guī)則，當(dāng)選概率最大的是()A二班B三班C四班D三個(gè)班機(jī)會(huì)均等【答案】B擲兩枚硬幣，共有4種結(jié)果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故選四班的概率是eq f(1,4)，選三班的概率為eq f(2,4)eq f(1,2)，選二班的概率為eq f(1,4)，故選B5給出下列四個(gè)命題：設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正

14、面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq f(51,100)；隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率；拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是eq f(9,50).其中正確命題有()AB CD【答案】D錯(cuò)，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對(duì)200件產(chǎn)品來說的；混淆了頻率與概率的區(qū)別正確6甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是()A拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝B同時(shí)拋兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝C從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則

15、乙勝【答案】B對(duì)于A，C，D，甲勝、乙勝的概率都是eq f(1,2)，游戲是公平的；對(duì)于B，點(diǎn)數(shù)之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等，但點(diǎn)數(shù)等于7時(shí)乙勝，所以甲勝的概率小，游戲不公平7(多選題)投擲一枚普通的正方體骰子，四位同學(xué)各自發(fā)表了以下見解，其中正確的是()A出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的概率等于出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”的概率B只要連擲6次，一定會(huì)“出現(xiàn)1點(diǎn)”C投擲前默念幾次“出現(xiàn)6點(diǎn)”，投擲結(jié)果“出現(xiàn)6點(diǎn)”的可能性就會(huì)加大D連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不可能等于19【答案】AD擲一枚骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率都是eq f(1,2)，故A正確；“出現(xiàn)1點(diǎn)”是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；概率是客觀存在的，

16、不因?yàn)槿说囊饽疃淖?，故C錯(cuò)誤；連續(xù)擲3次，每次都出現(xiàn)最大點(diǎn)數(shù)6，則三次之和為18，故D正確故選AD二、填空題8某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率39.95,39.97)100.1039.97,39.99)200.2039.99,40.01)500.5040.01,40.03200.20合計(jì)1001.00若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00 mm，則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03 mm的概率約為_【答案】0.90標(biāo)準(zhǔn)尺寸是40.00 mm，并且誤差不超過0.03 mm，即直徑需落在

17、39.97,40.03范圍內(nèi)由頻率分布表知，所求頻率為0.200.500.200.90，所以直徑誤差不超過0.03 mm的概率約為0.90.9小明和小展按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有5支鉛筆，每次取1支或2支，最后取完鉛筆的人獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則_(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人第一次取2支時(shí)，還剩余3支，無論是第二個(gè)人取1支還是取2支，第一個(gè)人在第二次取鉛筆時(shí)，都可取完，即第一個(gè)人一定能獲勝，所以不公平10種子發(fā)芽率是指在規(guī)定條件和時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)成的正常幼苗數(shù)占供檢種子數(shù)的百分率種子發(fā)芽率的測(cè)定通常是在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行，隨機(jī)取600粒種子置于發(fā)芽床上，通常以100粒種子為一個(gè)重復(fù)，

18、根據(jù)不同種類的種子控制相應(yīng)的溫度、水分、光照等條件，再到規(guī)定的時(shí)間鑒定正常幼苗的數(shù)量，最后計(jì)算出種子的發(fā)芽率下表是獼猴桃種子的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果：種子粒數(shù)100100100100100100發(fā)芽粒數(shù)797881798082發(fā)芽率79%78%81%79%80%82%根據(jù)表格分析獼猴桃種子的發(fā)芽率約為_【答案】80%由表格中的數(shù)據(jù)可知，該獼猴桃種子的發(fā)芽率約為80%.三、解答題11某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq f(m,n)(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約

19、是多少？【答案】解(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.12某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表：每批粒數(shù)2510701307001 5002 0003 000發(fā)芽的粒數(shù)249601166371 3701 7862 709發(fā)芽的頻率(1)請(qǐng)完成上述表格(保留3位小數(shù))；(2)該油菜籽發(fā)芽的概率約為多少？【答案】解(1)填入題表中的數(shù)據(jù)依次為1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如

20、下：每批粒數(shù)2510701307001 5002 0003 000發(fā)芽的粒數(shù)249601166371 3701 7862 709發(fā)芽的頻率1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903(2)由(1)估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率約為0.900.B組 能力提升一、選擇題1在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題由于回答哪一個(gè)問題只有被測(cè)試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答

21、問題如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為()A 4.33% B 3.33% C 3.44% D 4.44%【答案】B因?yàn)閿S硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為eq f(1,2)，大約有150人回答第一個(gè)問題，又身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個(gè)問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，另外5個(gè)回答“是”的人服用興奮劑因此我們估計(jì)這群人中大約有3.33%的人服用過興奮劑2下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球，游戲1游戲2游戲33個(gè)黑球和1個(gè)白球1個(gè)黑球和1個(gè)白球2個(gè)黑球和2個(gè)白球任取兩個(gè)球取

22、1個(gè)球任取兩個(gè)球取出的兩個(gè)球同色甲勝取出的球是黑球甲勝取出的兩個(gè)球同色甲勝取出的兩個(gè)球不同色乙勝取出的球是白球乙勝取出的兩個(gè)球不同色乙勝問其中不公平的游戲是()A游戲1B游戲1和游戲3C游戲2D游戲3【答案】D游戲1中取2個(gè)球的所有可能情況有：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲勝的概率為eq f(3,6)eq f(1,2)，所以游戲1是公平的游戲2中，顯然甲勝的概率是0.5，游戲是公平的游戲3中取2個(gè)球的所有可能情況有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1), (黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲勝的概率為e

23、q f(1,3)，所以游戲3是不公平的二、填空題3某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1 000度，按照上個(gè)月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過指標(biāo)，若這個(gè)月(按30天計(jì))仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標(biāo)的概率約是_【答案】0.4由頻率的定義可知用電量超過指標(biāo)的頻率為eq f(12,30)0.4，由頻率估計(jì)概率知第一天用電量超過指標(biāo)的概率約是0.4.三、解答題4某教授為了測(cè)試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力出了10個(gè)智力題，每個(gè)題10分，然后做了統(tǒng)計(jì)，下表是統(tǒng)計(jì)結(jié)果：貧困地區(qū)參加測(cè)試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū)參加測(cè)試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率(1)利用計(jì)算器計(jì)算兩地區(qū)參加測(cè)試的兒童中得60分以上的頻率(結(jié)果精確到0.001)；(2)求兩個(gè)地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的概率【答案】解(1)貧困地區(qū)參加測(cè)試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻