整式的乘法與因式分解中考真題匯編解析版

1、一、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題(難)我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等 式.例如由圖1可以得到a2+ab+2b2=(a + 2b)a+b 請(qǐng)回答下列問題：寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式是:如圖3,用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么?(用含有X, y的式子表示)；通過上述的等量關(guān)系，我們可知：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小， 則積越 (填大或小)；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小，則和 越 (填大或小).【答案】(1) (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 2b2

2、 + 5ab ； (2) (x+刃2 =(x-y)2 +4xy J(3)大小【解析】【分析】圖2面積有兩種求法，可以由長為2a+b,寬為a+2b的矩形面積求出，也可以由兩個(gè) 邊長為a與邊長為b的兩正方形，及4個(gè)長為a,寬為b的矩形面積之和求出，表示即可；陰影部分的面積可以由邊長為x+y的大正方形的面積減去邊長為x-y的小正方形面積 求出，也可以由4個(gè)長為X,寬為y的矩形面積之和求出，表示出即可；兩正數(shù)和一定，則和的平方一定，根據(jù)等式4 Xy = (X+y)2-(x-刃？，得到被減數(shù) 一定，差的絕對(duì)值越小，即為減數(shù)越小，得到差越大，即積越大；當(dāng)兩正數(shù)積一定時(shí)，即 差一定，差的絕對(duì)值越小，得到減數(shù)

3、越小，可得出被減數(shù)越?。弧驹斀狻靠磮D可知，(2 + b)( + 2b) = 2+ 2夕+5b(x+ y)2 = (x-y)2 + 4xy當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則積越大；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí), 它們的差的絕對(duì)值越小則和越小.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算，此題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式 法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中應(yīng)用 較多.十字相乘法：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù) 項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右

4、上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng) 系數(shù)(如圖)，如：將式子 + 3+2和2亍+ x3分解因式，如圖：XI? +1?町 -I? *1? Bl請(qǐng)你仿照以上方法，探索解決下列問題：分解因式：r-7y+12;分解因式：3x2-2x-1 【答案】(1) (x-3) (-4) ；(2) (X-I)(3x+l).【解析】【分析】將1分成1乘以1, 12分成-3乘以4,交叉相乘的結(jié)果為7,即可得到答案；將3分成1乘以3,分成-1乘以1,由此得到分解因式的結(jié)果.【詳解】 y2 - 7y+12= (-3) (-4)； 3x2 - 2x - I= (X- 1) (3x+l).【點(diǎn)睛】此題考查十字

5、相乘法分解因式，將二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)相乘，交叉相乘的 結(jié)果相加得到一次項(xiàng)的系數(shù)，能準(zhǔn)確分解因數(shù)是解題的關(guān)鍵.材料：數(shù)學(xué)興趣一小組的同學(xué)對(duì)完全平方公式進(jìn)行研究：因(-)20,將左邊展開 得到a2-2ab+b2 0 移項(xiàng)可得：a2 + b2 2ab數(shù)學(xué)興趣二小組受興趣一小組的啟示，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)非負(fù)數(shù)用、，都存 在n + 72.并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)加、的和一定存在著一個(gè)最小值 根據(jù)材料，解答下列問題： +3x+2 = (xl)(x+2);Zx2 + X3 = (X- l)(2x+3).1v,IVa(1) (2x)2 +(5y)2 (o, yo)； X2丄)1入22入3

6、(x 0 )；求6x + -(x0)的最小值；92x-6已知x3,當(dāng)X為何值時(shí)，代數(shù)式2x+ +2007有最小值，并求出這個(gè)最小 值._Q9【答案】(1) 20Xy , 2：(2) 215;(3)當(dāng)X =-時(shí)，代數(shù)式2x+ 2007的22x-6最小值為2019.【解析】【分析】根據(jù)閱讀材料即可得出結(jié)論；根據(jù)閱讀材料介紹的方法即可得出結(jié)論；92x-6把已知代數(shù)式變?yōu)?x-6 + -一 +2013,再利用閱讀材料介紹的方法，即可得到 結(jié)論.【詳解】.o, yo, (2x)2 + (5y)2 22x-5y = 20 xy ,. X 0,、(1 丫 1 H x+ 2x-= 2 ；x) (2)當(dāng)xO時(shí)，

7、2%, 2均為正數(shù)，.*. 6x+- 22x所以，6x + 的最小值為25 2x2%6當(dāng) x3時(shí)，2xf , 2x-6 均為正數(shù),92x + 20072x-69= 2x-6 + 20132x-62x 62J(2x-6)+2013 = 29 + 2013 = 2019由(a-b)20可知，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，a2+b2取最小值, TOC o 1-5 h z QQ當(dāng)2x-6 =,即x =時(shí)，有最小值.2x 62Tx399故當(dāng)X=-時(shí)，代數(shù)式2x+- +2007的最小值為2019.22x-6【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料所介紹的方法.閱讀材料：若 m2 -

8、2mn+2n2 - 8n+16=0,求 ms n 的值.解：Vm2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0 f .*. ( m2 - 2mn+n2) + ( n2 - 8n+16 ) =0.*. (m-n)2+(n-4) 2=0 , *. ( m - n ) 2=0 , ( n - 4 ) 2=0 , .,. n=4 , m=4 .根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：已知 x? - 2xy+2y2+6y+9=0,求 Xy 的值；已知ZkABC的三邊長a、b、C都是正整數(shù)，且滿足a2+b2 - IOa - 12b+61=0,求ABC 的最大邊C的值；已知 a - b=8 , ab+c2 - 16c+8

9、0=0,求 a+b+c 的值.【答案】9：(2) ZXABC的最大邊C的值可能是6、7、8、9、10 ； (3)8.【解析】試題分析：(1)直接利用配方法得出關(guān)于X, y的值即可求出答案；直接利用配方法得出關(guān)于a , b的值即可求出答案；利用已知將原式變形，進(jìn)而配方得出答案.試題解析:(1) Vx2 - 2xy+2y2+6y+9=0 f.*. ( X2 - 2xy+y2 ) + ( y2+6y+9 ) =0 ,* ( X - y ) 2+ ( y+3 ) 2=0 ,x - y=0 , y+3=0 I*= - 3 , y= - 3 ,xy= ( -3)x( - 3 ) =9 ,即Xy的值是9 .

10、(2 ) Va2+b2 - IOa - 12b+61=0 ,(a2 - 10a+25 ) + ( b2 - 12b+36 ) =0 ,.*. (a-5)2+(b-6) 2=0 fa - 5=0 , b - 6=0 , a=5 , b=6 IV 6 - 5 c 6 ,6cll fABC的最大邊C的值可能是6、7、8、9、10 .(3 ) Va - b=8 , ab+c2 - 16c+80=0 ,a ( a - 8 ) +16+ ( c - 8 ) 2=0 ,.*. (a-4)2+(c-8) 2=0 ,.*. a - 4=0 , C - 8=0 , a=4 , c=8 , b=a - 8=4 -

11、8= - 4 ,： a+b+c=4 - 4+8=8 f 即a+b+c的值是8 .觀察以下等式：(x+l)(x2-x+l)=x3l(x+3 ) (x2-3x+9 ) =x3+27(x+6) (x2-6x+36) =x3+216按以上等式的規(guī)律，填空：(a+b) () =a3+b3利用多項(xiàng)式的乘法法則，證明(1)中的等式成立.利用(1)中的公式化簡：(x+y) (x2-xy+y2) - (x-y) (x2+xy+y2)【答案】(1) a2-ab+b2;(2)詳見解析；(3) 2y3.【解析】【分析】(1)根據(jù)所給等式可直接得到答案(a+b) (a2-ab+2) =a5+b3;(2)利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)

12、式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一 項(xiàng)，再把所得的積相加進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；(3)結(jié)合題目本身的特征，利用(1)中 的公式直接運(yùn)用即可.【詳解】(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3;(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3;(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+y3- (x3-y3)=2y3.【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘法法則，注意觀察所給例題，找出其 中的規(guī)律是解決本題的基本思路.一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為X ,十位上和個(gè)位

13、上的數(shù)字之和為V,如 果X=y,那么稱這個(gè)四位數(shù)為和平數(shù)例如：1423, x = l + 4, y = 2 + 3,因?yàn)樨?兒所以1423是“和平數(shù)直接寫出：最小的和平數(shù)是_,最大的和平數(shù)是:將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字 交換位置，稱交換前后的這兩個(gè)“和平數(shù)為一組相關(guān)和平數(shù)例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”求證：任意的一組相關(guān)和平數(shù)”之和是Illl的倍數(shù).（3）求個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的 倍數(shù)的所有和平數(shù)：【答案】（1） 1001, 9999；（2）見詳解：（3） 2754 和 4848【

14、解析】【分析】（1）根據(jù)和平數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)為麗，甌（a, b, c, d分別取0, 1, 2,9且a0, b0）,于是得到abed+ badc =HOO（a+b） +11 （c+d） =IllI （a+b）,即可得到結(jié) 論.（3）設(shè)這個(gè)和平數(shù)為abed，于是得到 d=2a, a+b=c+d, b+c=12k,求得 2c+a=12k,即 a=2、4, 6, 8, d=4. 8、12 （舍去）、16 （舍去）；、當(dāng) a=2, d=4 時(shí)，2 （c+l）=12k,得到c=5則b=7；、當(dāng)a=4, d=8時(shí)，得到c=4則b=&于是得到結(jié)論；【詳解】解：（1）由題

15、意得，最小的“和平數(shù)” 1001,最大的“和平數(shù)” 9999,故答案為：1001, 9999：（2）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為abed badc （a，b, c, Cl分別取0, 1, 2,，9 且 aH0, b0）,貝IJabed + badc =11（a+b） +11 （c+d） =IllI （a+b）；即兩個(gè)相關(guān)和平數(shù)”之和是IlH的倍數(shù).（3）設(shè)這個(gè)和平數(shù)為abed 則 d=2a, a+b=c+d, b+c=12k,.*. 2c+a=12k,即 a=2、4, 6, 8, d=4. 8、12 （舍去）、16 （舍去），當(dāng) a=2, d=4 時(shí)，2 （c+l） =12k,可知 c+l=6

16、k 且 a+b=c+d,c=5 則 b=7,當(dāng)a=4, d=8時(shí)，2 （c+2） =12k,可知 c+2=6k 且 a+b=c+d, c=4 則 b=8,綜上所述，這個(gè)數(shù)為：2754和4848.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念和平數(shù)”是解題的關(guān)鍵.閱讀下列材料：1637年笛卡爾在其幾何學(xué)中，首次應(yīng)用“待定系數(shù)法將四次方程分解為兩個(gè)二次方程 求解，并最早給出因式分解定理.他認(rèn)為：對(duì)于一個(gè)高于二次的關(guān)于X的多項(xiàng)式，X=Q是該多項(xiàng)式值為O時(shí)的一個(gè)解與 這個(gè)多項(xiàng)式一定可以分解為(X-Q)與另一個(gè)整式的乘積可互相推導(dǎo)成立.例如：分解因式+2-3V X = I是疋+ 2F3 = O的一個(gè)

17、解， x3 + 2x2-3可以分解為(X-I)與另一個(gè)整式的乘 積.設(shè) X3 + 2x2 - 3 = (x-l)(v2 +Zzx+c) 而(x-l)(x2 +bx+c = ax3 +(b-a)x2 +(c-Z?)x-c ,則有b-a = 2 C-/? = Oa = I得 b = 3 ,從而兀+ 2x 3 = (xl)(x + 3x+3)c = 3 運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問題：運(yùn)用上述方法分解因式x3+2x+3時(shí)，猜想出x3 + 2x+3 = O的一個(gè)解為(只填寫一個(gè)即可)，則+2x+3可以分解為與另一個(gè)整式的乘積；分解因式 + 2x+3;若1與x+2都是多項(xiàng)式+nx2+nx+p的因式，求

18、加-”的值.【答案】(1)：x=-l；(x+l) ； x3 +2x+3=(x + l)(x2 -x+3) :(2) 3【解析】【分析】計(jì)算當(dāng)X=-I時(shí)，方程成立，則 + 2x+3必有一個(gè)因式為(x+l),即可作答；根據(jù)待定系數(shù)法原理先設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算即可求得結(jié) 論；)設(shè)Xi + mx2 +mx+ P=(X-l)(x+2) (其中M為二次整式)，由材料可知， x=l, x=2是方程x5 + mx2 + nx+p = O的解，然后列方程組求解即可.【詳解】解：(1)x3+2x+3,觀察知，顯然X=I時(shí)，原式=0,則3 + 2x+3 = 0的一個(gè)解為 =-l;原式可分解為

19、(+l)與另一個(gè)整式的積.故答案為：x=-l:(x+l)設(shè)另一個(gè)因式為(2+ax+b),(x+l)(x2+ax+b) =x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+ (a+l) X2+ (a+b) x+b a+l=0 I a=-l I b=3多項(xiàng)式的另一因式為x2-+3.*. x3 + 2x+ 3=(X+l)(x2 -X+3).設(shè) X3 + mx2 +nx+ P=(XI)(X+2)M (其中 M 為二次整式)，由材料可知，=l, =-2是方程xi + nc2+nx+p = O的解，1 + /M+ /?+/? = O 可得Z-8 + 4/w -2n + p = O 得 m-n=3 mn的值為3.【

20、點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，正確理解題意，利用待定系數(shù)法和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則求解 是解題的關(guān)鍵.由多項(xiàng)式的乘法：(x+a) (x+b) =x+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用，即可得到 用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：x+ (a+b)x+ab= (x+a) (x+b).實(shí)例 分解因式：x+5x+6 = x+(2 + 3)x+2X 3= (x+2) (x + 3) 嘗試分解因式：X=6x&應(yīng)用 請(qǐng)用上述方法解方程：x2-3x-4 = 0.【答案】(1) (x+2)(x+4); (2) x=4 或 x=-l.【解析】【分析】類比題干因式分解方法求解可得；利用十字相乘法將左邊因式分解后

21、求解可得.【詳解】原式=(x+2) (x+4)；x-3x4= (x4) (x+l) =0,所以 -4 = 0 或 x+l=0,即 x=4 或 x=-1.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開 平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的 關(guān)鍵.閱讀材料：小明發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2 2 = d+2 ) 2,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)ab2= (m+n2 ) 2 (其中a、b、ITI、n 均為正整數(shù))則有：a+b52 =m2+2n2+2mn52 所以 a=m2+2n2, b=2m

22、n.這樣小明 就找到了一種把a(bǔ)+b2的式子化為平方式的方法.請(qǐng)仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3= (m+n3 ) 2,用含m、n的式子分別表示 a、b,得 a=, b=(2)若a+4J = (m+n ) 2 (其中a、b、m、n均為正整數(shù)),求a的值.【答案】(1) m2+3n2, 2mn； (2) 13.【解析】試題分析：(1)根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，即可得出a、b的表達(dá)式；(2)根據(jù)題意， 4=2mn,首先確定mx n的值，通過分析m=2 , n=l或者m=l , n=2,然后即可確定好a的 值.試題解析：Ta+b JJ=(m+n JJ)2

23、 , a+b yj3 =m2+3n2+2mn T ,*.a=m2+3r? , b=2mn.故 a=m2+3n2 f b=2mn ；,亠 Z fa = m2+ 3/?2(2)由題意，得4 = 2mnV4=2mn,且m、n為正整數(shù)， m=2 , n=l 或 m=l , n=2 ,a=22+312=7 或 a=l2+322=13在現(xiàn)今互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活己經(jīng)緊密相連，密不可分.而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的6位 數(shù)密碼就很有必要了.有一種用“因式分解法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè) 多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：x3+2x2-x-2因式分解的結(jié)果為(X-I) (x+l) (x+2), 當(dāng)X= 18時(shí)，X- 1 = 17, x+l = 19