復(fù)數(shù)知識點歸納 2

1、- 復(fù) 數(shù)【學(xué)問梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念、虛數(shù)單位的性質(zhì)i 叫做虛數(shù)單位,并規(guī)定: i 可與實數(shù)進(jìn)行四就運(yùn)算；2i1;這樣方程x21就有解了,解為xi或xi2、復(fù)數(shù)的概念（1）定義：形如 a bi ,bR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù), 其中 i 叫做虛數(shù)單位, 叫做 ,b 叫做；全體復(fù)數(shù)所成的集合 C 叫做復(fù)數(shù)集；復(fù)數(shù)通常用字母 z表示,即 z a bi（a,b對于復(fù)數(shù)的定義要留意以下幾點 : z a bi a,b）被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,其中 bi 表示 b 與虛數(shù)單位 i 相乘復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù) ,否就不是代數(shù)形式（2分類：滿意條件 a,b 為實數(shù) ai 為實數(shù) . b=0復(fù)數(shù)的分類 +bi 為虛數(shù)

2、 . b 0+bi 為純虛數(shù) . a=0 且 0例題 :當(dāng)實數(shù) m 為何值時 ,復(fù)數(shù) m5 m6m 23 m i是實數(shù) .虛數(shù) .純虛數(shù)？二、復(fù)數(shù)相等abicdiac,bda,b,c,dR - - 也就是說,兩個復(fù)數(shù)相等,充要條件是他們的實部和虛部分別相等留意 :只有兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù),才可以比較大小,否就無法比較大小例題 :已知xy3x4i0求x,y的值三、共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac ,bda ,b ,c ,dRb2zabi_的共軛復(fù)數(shù)記作abi,且za2zz四、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面, x 軸叫做實軸 , y 軸叫做虛軸；明顯,實軸上的點都

3、表示實數(shù)；除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)；2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)的點Za,b及平面對量OZa ,b a,bR是一一對應(yīng)關(guān)系 （復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對,有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點,也可以表示一個平面對量相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)例題：（1當(dāng)實數(shù) m 為何值時 ,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z2 m8 m15 2 m5 m14 i的點位于第三象限；位于直線yx上2復(fù)平面內(nèi)AB2 ,6,已知CD/AB,求 CD 對應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模 :- - 向量 OZ 的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模 , 記作 z 或abi,表示點a ,b到原點的距離b,即 zabia2b2,zzz 1z 2ac 2表示a,b

4、到c,d的距離 ,即z 1z2d2如z1abi,z2cdi,就例題 :已知z2i,求z 1i的值五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1運(yùn)算法就：設(shè)z1=ai,2cdi, b,c,R如圖給出 錯誤 . z 1z 2abicdiac bdiz 1z 2abi cdi acbdbcad iz 1abiabicdiacbdbcad iz2cdicdicdic2d2（2幾何意義： 復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法就進(jìn)行的平行四邊形Z1 可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義,即錯誤 . +錯誤 . ,錯誤 . =錯誤 . 錯誤 .未定義書簽； .六、常用結(jié)論（1 i ,2i1,i3i,4i1i 的幾次1求ni ,只需

5、將 n 除以 4 看余數(shù)是幾就是例題 :i675（2） 1i22 i,1i22 i（3）13i31,13i3 2222【摸索辨析】判定下面結(jié)論是否正確 請在括號中打“ ” 或“ ” ）- - ）方程 x2+x+10 沒有解 （2）復(fù)數(shù) za+ia,bR中,虛部為b. 3復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小4原點是實軸與虛軸的交點. ）,也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模5復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離【考點自測】1.（ 205安徽 ）設(shè) i 是虛數(shù)單位 ,就復(fù)數(shù) 1-i +）等于 ）.33i . 1+3i C.3i D.12.215課標(biāo)全國 已知復(fù)數(shù) 滿意 z1i 1i,就

6、等于 A. -2i B.-2+i 2 D.+i3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 6+5i,-2+3對應(yīng)的點分別為 A,B.如 C 為線段 AB 的中點 ,就點 C 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 .48i B.8 2i C.2+ D. i4.已知 a,b ,i 是虛數(shù)單位 .如 ai=-b,就（ +b2等于（A -4i B.3 i C.-3i D4+3i5.已知 1 i錯誤 .未定義書簽； 43i,就 _【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例 11設(shè)是虛數(shù)單位.如復(fù)數(shù) =a-f10,3-aR是純虛數(shù),就a 的值為 A -.-1 .1 D.2已知 aR,復(fù)數(shù) z12+, z2=12i,如z z2為純虛數(shù) ,就復(fù)數(shù) 錯誤 . 的虛部為

7、 ）A.1 .i .錯誤 .D.03）如 z1m 2+m1）+（m2m i mR,232i,就“m=1” 是“z2” 的 .充分不必要條件B.必要不充分條件- - C.充要條件 .既不充分又不必要條件引申探究1對本例（ 1中的復(fù)數(shù) z,如 |=錯誤 .未定義書簽； ,求 的值 .2.在本例 中,如z1 為實數(shù) ,就 a_ _ _.思維升華 解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及留意事項1復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)當(dāng)滿意的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式 ,列出實部和虛部滿意的方程 不等式 組即可 .2解題時肯定要先看復(fù)數(shù)是否為 ai（ a,bR的形式 ,以確定實部和虛部 .1 如

8、復(fù)數(shù) zx2-1x i 為純虛數(shù) ,就實數(shù) x 的值為（A. - . C.1 D.1 或 12201 浙江 已知 i 是虛數(shù)單位, a,bR,就“=b1” 是“a+b2=i” 的 A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件題型二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算命題點 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例 2 1 015 湖北 i 為虛數(shù)單位 ,i6的共軛復(fù)數(shù)為 A.i B. C. .1- - 2022 北京 復(fù)數(shù) i2 -i）等于 12i B.-2i C.- 2i D.12i命題點 2 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算例 3 1）（ 01湖南 已知 f（ i2,1+i 為虛數(shù)單位） ,就復(fù)數(shù) 等于（.1i 1-

9、 C. i D. 1i（錯誤 .未定義書簽； ） 錯誤 .未定義書簽； _.命題點 3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例1） 215天津 i 是虛數(shù)單位,如復(fù)數(shù)1-2i a+i 是純虛數(shù) ,就實數(shù) 的值為 _22 14江蘇 ）已知復(fù)數(shù) 5+2i命題點 4 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算i 為虛數(shù)單位） ,就 的實部為 _ _.例 121安徽 設(shè) i 是虛數(shù)單位 ,錯誤 . 表示復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) .如 z=1i,就錯誤 .未定義書簽；i 錯誤 . 等于 A. 2 B.2i C2 .i（2如復(fù)數(shù) z 滿意（ -4z=|4+3i|,就 的虛部為（.-4 B.錯誤 .未定義書簽；C .錯誤 .未定義書簽；思維升華

10、 復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略1）復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四就運(yùn)算 ,可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類同類項,不含 i 的看作另一類同類項,分別合并即可 .2復(fù)數(shù)的除法 .除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù) ,解題中要留意把 i 的冪寫成最簡形式 .- - （ 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題 ,先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法就化簡 ,一般化為 abi ,b的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答 .）復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題 .先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法就化簡,一般化為 bia,bR的形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答（5復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算 .分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法就進(jìn)行運(yùn)算 ,要留意運(yùn)算次序,要

11、先算乘除, 后算加減,有括號要先算括號里面的 .12 5 山東 如復(fù)數(shù) 滿意 錯誤 . i, 其中 i 為虛數(shù)單位 ,就 z 等于 A.1 B.+i 1-i D. -1+i） 錯誤 . 2 016_.（3） 錯誤 . +錯誤 .未定義書簽；2 016=_.題型三 復(fù)數(shù)的幾何意義例 6 1）2022重慶 實部為 -2,虛部為的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的.第一象限B.其次象限C.第三象限.第四象限2 ABC 的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為應(yīng)的點為ABC 的 1,z2,3,如復(fù)數(shù) z 滿意 |z 1|z2=|z-z3|,就 z 對A. 內(nèi)心垂心C.重心D外心要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時,思維升華由于復(fù)平面內(nèi)

12、的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的,只要找出所求向量的始點和終點,或者用向量相等直接給出結(jié)論即可. 1如圖 ,在復(fù)平面內(nèi) ,點 A 表示復(fù)數(shù) z,就圖中表示z 的共軛復(fù)數(shù)的點是.B.B C.DD- - （2）已知 z 是復(fù)數(shù), 2、 fz,2-）均為實數(shù) 應(yīng)的點在第一象限 ,求實數(shù) a 的取值范疇 .【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想i 為虛數(shù)單位 ,且復(fù)數(shù) ai）2在復(fù)平面內(nèi)對典例 已知 x,為共軛復(fù)數(shù) ,且y）2-y 4-6,求 ,y. 思維點撥 1）,為共軛復(fù)數(shù) ,可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；（2利用復(fù)數(shù)相等 ,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題溫馨提示1）復(fù)數(shù)問題要把握一點,即復(fù)數(shù)問題實

13、數(shù)化,這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.（）此題求解的關(guān)鍵是先把x、 y 用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來,再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法）此題易錯緣由為想不到利用待定系數(shù)法,或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.【方法與技巧】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程2.復(fù)數(shù) za+a,bR是由它的實部和虛部唯獨確定的,兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題 轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法 .對于一個復(fù)數(shù) z=abi a,b,既要從整體的角度去熟悉它,把復(fù)數(shù)看成一個整體 ,又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去熟悉 .3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中,加法和減法對應(yīng)向量的三

14、角形法就,其方向是應(yīng)留意的問題,平移往往和 加法、減法相結(jié)合 .- - 【失誤與防范】1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù) ,僅留意虛部等于 0 是不夠的 ,仍需考慮它的實部是否有意義2.兩個虛數(shù)不能比較大小 .3留意復(fù)數(shù)的虛部是指在 abi （, 中的實數(shù) b,即虛部是一個實數(shù) .【鞏固練習(xí)】1.015福建 如1i23i= abi,bR,i 是虛數(shù)單位） ,就,b 的值分別等于 ）.3,2 .3,2C.,3 .D.-1,42.設(shè) z=錯誤 .未定義書簽； i,就 |z|等于 A. 錯誤 .未定義書簽；B.錯誤 . C.錯誤 . D.3.（ 215課標(biāo)全國 如 a 為實數(shù) ,且+ai a-2i- ,就 a 等于

15、 A. -1 B0 C.1 D2.如為虛數(shù)單位 ,圖中復(fù)平面內(nèi)點 Z 表示復(fù)數(shù) z,就表示復(fù)數(shù) 錯誤 . 的點是 .F C. D.H52022 江西 ）錯誤.未定義書簽； 是的共軛復(fù)數(shù) ,如 z+錯誤. 未定義書簽； =2,錯誤.未定義書簽； i=2 （i 為虛數(shù)單位） ,就等于 A. i .-1 C.-+ D -i601江蘇 設(shè)復(fù)數(shù) 滿意 2=3+4（ i 是虛數(shù)單位 ,就 z 的模為 _.7.如 錯誤 .未定義書簽； aa, b 為實數(shù) ,i 為虛數(shù)單位 ,就 a+b _ _.8復(fù)數(shù) i -（2 對應(yīng)的點在第三象限內(nèi),就實數(shù) 的取值范疇是 _.9運(yùn)算 :1 錯誤 . ;（2錯誤 .未定義書

16、簽； ;（ 錯誤 .未定義書簽； 錯誤 . ;）錯誤 .未定義書簽； .- - 10復(fù)數(shù) z1=錯誤 . 1-a2, z2=錯誤 .未定義書簽； 2a-5i,如 錯誤 .未定義書簽；1+z2 是實數(shù) ,求實數(shù) a 的值 .【才能提升】11.復(fù)數(shù) z1, z2 滿意 1=m（ 4-m2） i,z22cos +3 （ m, ,并且 z1,就 的取值范疇是 A. -1,1.錯誤 . C.錯誤 .未定義書簽；D.錯誤 .未定義書簽；12.設(shè)（ n錯誤 . n錯誤 . n（nN *,就集合 f（ n） 中元素的個數(shù)為 ）A.1 B. C.3 D. 很多個已知復(fù)數(shù) z xyi,且 |z2| ）,就 錯誤

17、.未定義書簽； 的最大值為 _ _. .設(shè)R,如復(fù)數(shù) z錯誤 . 錯誤 .未定義書簽； 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線 x 0 上,就的值為 _ _. .如 +r2i 是關(guān)于 x 的實系數(shù)方程 2bx+c=的一個復(fù)數(shù)根- ,就 b=_,c_ _- 【鞏固練習(xí)參考答案】.23.B4.D.D. 6.錯誤 . . 7. 8.m錯誤 .未定義書簽；.9.解 1錯誤 . =錯誤 .未定義書簽； =-1 i2錯誤 . 錯誤 .未定義書簽； 錯誤 .未定義書簽； =錯誤 .未定義書簽； =錯誤 . 錯誤 .未定義書簽；i.3）錯誤 .未定義書簽； 錯誤 .未定義書簽； =錯誤 .未定義書簽； 錯誤 .未定義書簽；

18、 =+i2錯誤 .未定義書簽；-.） 錯誤 .未定義書簽； 錯誤 .未定義書簽； =錯誤 . 錯誤 . =-錯誤 . 錯誤 . i.10.解z 1+z2=錯誤 .未定義書簽； a-10i+ 錯誤 . 2a-5i= 錯誤 .未定義書簽；+（ a 2-10） +a5i 3=a+ a-1 +a22a-15）錯誤 .未定義書簽；1z2 是實數(shù), a 2a15=,解得 =-5 或 a= .又（ a5a-1 0,a -5 且 a 1,故 a=3.11.解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 錯誤 . 化簡得 -4os sin ,由此可得 4co 3si 4= 1sn2-sin + sin23sin =4 錯誤 .未定義書簽；2-錯誤 .未定義書簽；,由于 sin ,1,所以 in23 n 錯誤 . . 答案 C2.解析 （n）=錯誤 . 錯誤 .未定義