均值不等式應(yīng)用全面總結(jié)+題型總結(jié)

1、均值不等式應(yīng)用全面總結(jié)+題型總結(jié)（含具體解析）解：因 4x50,所以第一要“ 調(diào)整” 符號(hào),又4x2g 415不是常數(shù),所以對(duì)4x2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),x一均值不等式3231Qx5 , 454x0,y4x241554x51x1. （1）如a,bR,就a2b22ab 2如a,bR,就aba22b2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）x4當(dāng)且僅當(dāng)54x51x,即x1時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x1時(shí),ymax1；2. 1如a,b* R,就a2bab 2如a,bR*,就ab2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）4評(píng)注：此題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值；3 如a ,bR*,就aba2b2 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)

2、取“=” ）技巧二：湊系數(shù)3. 如x0,就x12 當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=” ）; 如x0,就x12 當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=” ）xx如x0,就x12 即x12或x1-2 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）xxx3. 如ab0,就ab2 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）ba如ab0,就ab2 即ab2 或ab-2 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）bababa例 1. 當(dāng)時(shí),求yx82 x 的最大值；4. 如a,bR,就a2b2a22b2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=” ）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí),可以求它們的和的最小值,當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值,正所謂“ 積定和最小,和定積最大”（2）求最值的條件

3、“ 一正,二定,三取等”3均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范疇、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例 1：求以下函數(shù)的值域（1）y3x 21 2x 2（2）yx16 ,+）解析：由知,2x82 ,利用均值不x解：（1）y3x 21 2x 2 23x 21 2x 2 6 值域?yàn)?等式求最值,必需和為定值或積為定值,此題為兩個(gè)式子積的形式,但其和不是定值；留意到8為定值,故只需將yx82 x 湊上一個(gè)系數(shù)即可；（2）當(dāng) x0 時(shí), yx1 x2x12；x1=2 x當(dāng) x0 時(shí), yx1 x = （x1 x） 2x值域?yàn)椋?2 2,+）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例 1：已知x

4、5,求函數(shù)y4x2415的最大值；4x當(dāng),即 x 2 時(shí)取等號(hào)當(dāng) x2 時(shí),yx 82 x 的最大值為8；當(dāng), 即時(shí) ,y2（x1x4159（當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)取“ ” 號(hào)）；評(píng)注：此題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值；變式：設(shè)0 x3,求函數(shù)y4x32x的最大值；2技巧四 ：換元解：0 x332x0y4x32x 22x 32x22x32x29解析二：此題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式,可先換元,令t=x 1,化簡(jiǎn)原式在分別求最值；yt2 17t1 +10=t25 t4t45222ttt當(dāng)且僅當(dāng)2x32x ,即x30 ,3時(shí)等號(hào)成立；42技巧三 ： 分別

5、例 3. 求yx27x10 x1的值域；x1）的項(xiàng),再將其分別；x1解析一：此題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有（當(dāng), 即 t=分析：“ 和” 到“ 積” 是一個(gè)縮小的過(guò)程,而且3a 3b定值,因此考慮利用均值定理求最小值,即解：a 3 和3b都是正數(shù),3a3b23 a3 b23ab6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立,由ab2及3ab 3得ab1即當(dāng)ab1 時(shí),3a3b的最小值是6變式：如log4xlog4y2,求1 x1的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí),要留意取等號(hào)的條件的一樣性,否就就會(huì)出錯(cuò)；2：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；

6、y錯(cuò)解：Qx0,y0,且1 x91,xy19xy292xy12故xymin12；時(shí),y2t459（當(dāng) t=2 即 x1 時(shí)取“ ” 號(hào)）；yxyxyt錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式,在xy2xy等號(hào)成立條件是xy,在 1 x929等號(hào)成立條件是19評(píng)注：分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值；即化為ymg x AB A0,B0,gx 恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值；xyyxyg x 技巧五：留意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí),如遇等號(hào)取不到的情形,應(yīng)結(jié)合函數(shù)f x xa的單調(diào)性；y9x ,取等號(hào)的條件的不一樣,產(chǎn)生錯(cuò)誤；因此,在利用均值

7、不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟,x而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法；例：求函數(shù)y2 x5的值域；正解 ：Qx0,y0,191,xyxy19y9x10610162 x4xyxyxy解：令x24t t2,就yx252 x4x14t1 t2當(dāng)且僅當(dāng)y9x時(shí),上式等號(hào)成立,又191,可得x4,y12時(shí),xymin16；x242txyxy因t0,t11,但t1解得t1不在區(qū)間2,故等號(hào)不成立,考慮單調(diào)性；變式：（1）如x,yR且2xy1,求11的最小值ttxy由于yt1在區(qū)間 1,單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù),故y5；2已知a,b,x,yR且ab1,求xy的最小值t2x

8、y所以,所求函數(shù)的值域?yàn)? , 2；技巧七 、已知 x,y 為正實(shí)數(shù),且 2 x 2y 2 1,求 x1y2 的最大值 . 練習(xí)求以下函數(shù)的最小值,并求取得最小值時(shí),x 的值 . 分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采納公式aba 2b 2；2（1）y2 x3x1,x0（2）y2xx13,x3 3y2sinx1x,x0,同時(shí)仍應(yīng)化簡(jiǎn)1y2中 y2 前面的系數(shù)為1 2,x1y2 x21y 22 x 2 2y 2sinx22已知 0 x1,求函數(shù)yx 1x 的最大值 .；30 x2,求函數(shù)yx 2 3 x 的最大值 . 下面將 x, 2 2y 2分別看成兩個(gè)因式：3x1 2y 2x 2 2 2y

9、 2 2 2 x 2 y 213即 x1y2 2 x1 2y 232 應(yīng)用二、應(yīng)用均值不等式條件求最值222424技巧八：已知a,b 為正實(shí)數(shù), 2bab a30,求函數(shù) y1 ab的最小值 . 分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題,通常有兩個(gè)途徑,一是通過(guò)消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題,再用單調(diào)性或基本不等式1. 如實(shí)數(shù)滿意ab2,就3a3b的最小值是 . 求解,對(duì)此題來(lái)說(shuō),這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式,對(duì)此題來(lái)說(shuō),因已知條件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值,考慮用基本不等式放縮后,再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行；法一： a302b b1,ab302bb2 b230b1）正數(shù) a

10、,b,c 滿意 abc1,求證： 1a1b1c8abc21abc2bc,b1b1例 6：已知 a、b、 cR ,且abc1；求證：1111118由 a0 得, 0b15 abc令 tb+1,1 t16,ab2t234t31 2（t16） 34 t162t168 tttt分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2” 連乘,又1 a1 ab18 y1 18當(dāng)且僅當(dāng) t4,即 b3,a 6 時(shí),等號(hào)成立；aaa可由此變形入手；法二：由已知得：30aba2b a 2b22 ab 30ab22 ab解： Q a、b、cR ,abc1；111aabac2bc；同理1 b12

11、ac,1 c1ab；上述三個(gè)不等令 uab就 u 2 22 u300, 52 u32 aabcab32 ,ab18, y118式兩邊均為正,分別相乘,得點(diǎn) 評(píng) ： 本 題 考 查 不 等 式a2bab（a,bR）的 應(yīng) 用 、 不 等 式 的 解 法 及 運(yùn) 算 能 力 ； 如 何 由 已 知 不 等 式1111112bc2 gac2 gab8；當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)取等號(hào)；3abcabcaba2 b30（a,bR）出 發(fā) 求 得 ab 的 范 圍 , 關(guān) 鍵 是 尋 找 到ab 與ab之 間 的 關(guān) 系 , 由 此 想 到 不 等 式應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題a2bab（a,bR）,這樣將已

12、知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式,進(jìn)而解得ab的范疇 .例：已知x0,y0且1 x91,求使不等式xym恒成立的實(shí)數(shù)m 的取值范疇；y變式： 1.已知 a0,b0,ab ab1,求 ab 的最小值；2.如直角三角形周長(zhǎng)為1,求它的面積最大值；解：令xyk x0,y0,191,xkxy9x9y1.10y9x1技巧九、取平方5、已知 x, y 為正實(shí)數(shù), 3x2y 10,求函數(shù) W3x 2y 的最值 . xykykkxky解法一：如利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,aba 2b 2,此題很簡(jiǎn)潔11023；k16,m,1622kk3x 2y2 （3x ）2（2y ）22 3x 2y 25 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：如ab,1Plgalgb,Q1lgalgb,Rlga2b,就P,Q,R的大小關(guān)系是 . 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式,設(shè)法直接用基本不等式,應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式,再向“ 和為定值” 條件靠2攏；分析：ab1lga0,lgb0W0,W23x2y 2 3x 2y 102 3x 2y 103x 22y 2 10 3x2y20 W20 2 5 Q1（lgalgb lgalgbp變式 : 求函數(shù)yx2x15 2 1x 5 的最大值；2 22x 的和為定值；2解析：留意到 21與 5Rlga2blgab1lgabQRQP；2y22x152 2422x152