物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷四

1、物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷（四） 1試用物理方法討論以下兩個(gè)數(shù)學(xué)問題（1）試用力學(xué)方法求解光滑曲線的曲率半徑（a）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線方程可表示為 EQ f(x2,A2) EQ f(y2,B2) =1此雙曲線與x軸的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)試?yán)眯⌒行抢@太陽運(yùn)動(dòng)可能采取的雙曲線軌道，計(jì)算雙曲線頂點(diǎn)處的曲率半徑 ，結(jié)果用A和B表示（b）旋轉(zhuǎn)半徑為r 、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同試用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解值（2）光滑彎曲液面上任意某點(diǎn)內(nèi)、外壓強(qiáng)差的拉普拉斯公式為P內(nèi)P外 = ( EQ f(1,1) + EQ f(1,2) ) ，其中為液體表面張力系數(shù)，1和2為曲面上該點(diǎn)任意一對(duì)正交正截面兩截線

2、的曲率半徑由于P內(nèi) 和P外 的值與一對(duì)正交正截面的選取無關(guān)，拉普拉斯公式的數(shù)學(xué)前提是，在光滑曲面上每一位置Q點(diǎn)處任意一對(duì)正交正截面兩截線的曲率半徑的倒數(shù)之和只是Q點(diǎn)位置的函數(shù)，而與這一對(duì)正交正截面的選取無關(guān)取一個(gè)圓柱面，在面上任選一點(diǎn)Q ，試自行設(shè)計(jì)一對(duì)通過Q點(diǎn)的正交正截面，并用物理方法驗(yàn)證這兩對(duì)正截面各自對(duì)應(yīng)的兩條截線在Q點(diǎn)的曲率半徑倒數(shù)之和相同2類比是物理學(xué)的重要研究方法之一，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展起過積極的促進(jìn)作用早在1697年，J伯努利在研究均勻重力場(chǎng)中最快下降路線時(shí)，想起了光在行進(jìn)中所采取的路線是經(jīng)歷時(shí)間最短的路線（費(fèi)馬原理），他發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問題在數(shù)學(xué)上是相似的于是，伯努利把待求的重力場(chǎng)中的最

3、快下降路線與光在折射率沿某方向連續(xù)變化介質(zhì)中所采取的行進(jìn)路線相類比，后者運(yùn)用光的折射定律容易求解，從而前者也被求解現(xiàn)在請(qǐng)遵循J伯努利的類比方法，試求解簡(jiǎn)單情形的重力場(chǎng)中最快下降路線問題xOgyP (a , b)如圖所示，在均勻重力場(chǎng)g中，在豎直平面建立水平向右的x軸和豎直向下的y軸（g沿y軸）在此平面內(nèi)任取P點(diǎn)，其坐標(biāo)為xP = a 0 ，yP = b 0 試找出一條從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)到P點(diǎn)的光滑曲線軌道，使得質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)靜止出發(fā)無摩擦地沿此軌道滑到P點(diǎn)所需時(shí)間最短3將自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)0 ，質(zhì)量為m ，勁度系數(shù)為K（常量）的勻質(zhì)圓柱形彈性體垂直懸掛，設(shè)懸掛過程中柱體的圓面積保持不變，且已達(dá)到平衡伸長(zhǎng)的靜

4、止?fàn)顟B(tài) LINK Word.Document.8 D:雁黃曾獻(xiàn)智2009年暑期物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷2009年暑期物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷四.doc OLE_LINK2 a r （1）試求彈性體的總伸長(zhǎng)量 LINK Word.Document.8 D:雁黃曾獻(xiàn)智2009年暑期物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷2009年暑期物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷四.doc OLE_LINK1 a r （2）取彈性體的懸掛處為坐標(biāo)圓點(diǎn)，取豎直向下的x坐標(biāo)，設(shè)K = EQ f(mg,L0) 試按彈性體伸長(zhǎng)平衡時(shí)的位形，求出其質(zhì)量線密度的分布4在如圖所示的交流電路中，三個(gè)電源的電動(dòng)勢(shì)分別為 E1 = E0c

5、os ( EQ f( 1 ,2)t + 30 ) ，E2 = E0cos ( t + 45 ) ，E3 = E0cos ( 2t + 60 ) ，且有 L = EQ f( 1 ,C) =R 試求通過電阻R的電流 i 以及在電阻R上消耗的平均功率5如圖所示，在p -V平面上用實(shí)線畫出了CV為常量的某理想氣體的幾條準(zhǔn)靜態(tài)過程線，其中兩條實(shí)曲線是絕熱過程，三條實(shí)直線是直線過程，其延長(zhǎng)線交于原點(diǎn)O （1）試比較12431（循環(huán)過程12431的效率，下同）與12651的大?。?）設(shè)p1*p2*p3* = 123 ，試比較12431與34651的大小絕絕線絕絕線VpOp3* p2* p1*6如圖所示，汽車

6、B沿公路由東向西做勻速運(yùn)動(dòng)，路南房子H中有一電視機(jī)正在接收從西南遠(yuǎn)方傳來的頻率為f = 60 MHz的電磁波，房子H到公路的垂直距離L =100m 汽車駛過房子所在地區(qū)時(shí)，電視機(jī)接收到的信號(hào)強(qiáng)度將發(fā)生起伏當(dāng)汽車處于正對(duì)房子的位置時(shí)，測(cè)得強(qiáng)度起伏頻率為2 Hz ；當(dāng)汽車到達(dá)距正中位置200m處時(shí)，起伏頻率突然降為0 據(jù)此，試求電磁波的發(fā)射方位及汽車行駛的速度（提示：需考慮車廂側(cè)面因不平滑而出現(xiàn)的散射）無線電波東西vBLHBkpx+7如圖所示，在一次粒子碰撞實(shí)驗(yàn)中，觀察到一個(gè)低速k 介子與一個(gè)靜止質(zhì)子p發(fā)生相互作用，生成一個(gè)+ 介子和一個(gè)未知的x粒子，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中+ 介子和x粒子的徑跡已在圖中畫

7、出已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B = 1.70T ，測(cè)得+ 介子徑跡的曲率半徑為R1 = 34.0 m 1試確定x粒子徑跡的曲率半徑R2 2請(qǐng)參考下表確認(rèn)x為何種粒子粒子名稱符號(hào)靜質(zhì)量 / MeV*電荷（e）正電子，電子e+ ，e1介子+ ，1介子+ ，1k介子k+ ，k1質(zhì)子p1中子n0粒子00正粒子+1中性粒子*0負(fù)粒子1中性粒子00負(fù)料子1粒子16751*此處靜質(zhì)量是指靜能量m0c2物理小組賽前集訓(xùn)復(fù)賽模擬試卷（四）參考答案1（1）（a）過焦點(diǎn)F作漸近線的垂線交于E點(diǎn)，如圖所示，= B 圖由面積定律：V B = VD ( C A )能量守恒定律：EQ f(1, 2 )mVEQ aalvsl

8、hslvsal(2,D) EQ f(GMm,C A) = EQ f(1, 2 )mVEQ aalvslhslvsal(2,)得VEQ aalvslhslvsal(2,D) = EQ f(GMB2,A ( C A )2) ，EQ f(GMm, ( C A )2) = EQ f(mVEQ aalvslhslvsal(2,D),) = EQ f(B2, A ) （b）設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿螺線勻速率運(yùn)動(dòng)，可分解為勻速圓周運(yùn)動(dòng) ( vr ) 和勻速直線運(yùn)動(dòng) ( vh ) ， v = EQ r(,vEQ aalvslhslvsal(2,r)+ vEQ aalvslhslvsal(2,h) )，a = EQ f(vEQ

9、 aalvslhslvsal(2,r),r)圖2rhvhvrv = EQ f(v2, a ) = ( EQ f(v, vr ) )2 r 將螺線展開如圖所示vr = v cos = EQ f(2r,r(,42r2 + h2 ) v = EQ f(42r2 + h2, 42r2) r （2）S1在Q點(diǎn)的曲率半徑相當(dāng)于傾角為1的螺線的曲率半徑，如圖所示S2圖S1 1 = EQ f(42r2 + hEQ aalvslhslvsal(2,1), 4r2) r ，h1 = 2r tan1同理 2 = EQ f(42r2 + hEQ aalvslhslvsal(2,2), 4r2) r ，h2 = 2r

10、tan2EQ f(1, 1 ) + EQ f(1, 2 ) = EQ f(4r2,( 42r2 + hEQ aalvslhslvsal(2,1) ) r ) + EQ f(4r2,( 4r2 + hEQ aalvslhslvsal(2,2) ) r )= ( EQ f(1, 1 + tan21 ) + EQ f(1, 1 + tan22 ) ) EQ f(1, r )1 + 2 = EQ f(, 2 ) ， tan1 = EQ f(1, tan2 ) ，EQ f(1, 1 ) + EQ f(1, 2 ) = EQ f(1, r ) 光線切線圖2在折射率隨y坐標(biāo)分層連續(xù)變化的情況下，光因連續(xù)折射

11、，其行進(jìn)路線如圖所示的彎曲光線在光線上任一點(diǎn)S作光線的切線由折射定律 n ( y ) sin = 常量，即 n ( y ) cos = 常量，u ( y ) = EQ f(c,n ( y ) ，其中u ( y )為光在y處的速度圖yy EQ f(cos,u ( y ) = 常量本題所求的從O點(diǎn)到P點(diǎn)的最快下降路線如圖所示，則曲線在y處的速率 u ( y ) = EQ r(,2gy )根據(jù)類比的方法應(yīng)有：EQ f(cos,EQ r(,2gy ) = 常量或EQ f(cos,EQ r(,y ) = 常量y = tan = EQ f(dy,dx) ，cos = EQ f(1,EQ r(,1 + y

12、2 ) ，y ( 1 + y 2 ) = A（常量）設(shè)y = R ( 1cos ) = 2Rsin2 EQ f(, 2 )y 2 = EQ f(A,2Rsin2 EQ f(, 2 ) 1 = EQ f(1,sin2 EQ f(, 2 ) 1令2R = Ay = cot EQ f(, 2 )y = EQ f(dy,dx) = EQ f(dy,d) EQ f(d,dx) = 2Rsin EQ f(, 2 ) cos EQ f(, 2 ) EQ f(d,dx) = cot EQ f(, 2 )即：EQ f(d,dx) = EQ f(1,2Rsin2 EQ f(, 2 )dx = 2Rsin EQ f

13、(, 2 ) d兩邊積分得：x = R ( sin ) 得出質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中下降最快的路線的參量表達(dá)式可見最快下降路線是一條滾輪線，參量R可由P點(diǎn)的坐標(biāo)a 和b通過以下兩式確定 ，的取值范圍在0到p之間，p也由以上兩式確定3在彈性體未伸長(zhǎng)時(shí)，在彈性體上刻制與x坐標(biāo)完全一致的x 坐標(biāo)，當(dāng)彈性體伸長(zhǎng)時(shí)，x 坐標(biāo)尺隨彈性體一起伸長(zhǎng)但x 的讀數(shù)不變彈性體伸長(zhǎng)后，在x 坐標(biāo)尺上取x 到x + dx 的小段彈性體，如圖所示dG = 0dx gdGF(x )F(x+dx )dxF ( x + dx ) F ( x ) = 0g dx 兩邊積分：F ( L0 ) F ( x ) = F ( L0 ) = 0故F

14、 ( x ) = 0g ( L0 x ) ，F(xiàn) ( x ) = EQ f(kL0,dx) dl由以上兩式得：dl = EQ f( 0g,kL0) ( L0 x ) dx兩邊積分：Lx = = EQ f( 0g,kL0) ( L0 EQ f(x, 2 ) ) x當(dāng)x = L0時(shí)：L = EQ f( 0g,kL0) ( L0 EQ f(L0, 2 ) ) L0 = EQ f( 0gL0,2k) 因?yàn)?0 = EQ f(m,L0)所以 L = EQ f(mg,2k)（2）dm = 0dx伸長(zhǎng)后，dx小段的實(shí)際長(zhǎng)度 dx + dl = dx + EQ f( 0g,kL0) ( L0 x ) dx故伸長(zhǎng)

15、后dx小段的質(zhì)量線密度為 = EQ f(dm,dx + dl) = EQ f( 0,1 + EQ f( 0g,kL0) ( L0 x )將kL0 = mg ， 0 = EQ f(m,L0) 代入，得 = EQ f(m,2L0 x)x = x +Lx = x + EQ f( 0g,kL0) ( L0 EQ f(x, 2 ) ) x = x + EQ f(1,L0) ( L0 EQ f(x, 2 ) ) x即x 2 4L0 x + 2L0 x = 0 x = 2L0 EQ r(,4LEQ aalvslhslvsal(2,0) 2L0 x )（因?yàn)閤 = 0對(duì)應(yīng)x = 0 ，所以只能取負(fù)） = EQ

16、 f(m,EQ r(,4LEQ aalvslhslvsal(2,0) 2L0 x ) 圖4提供答案采用復(fù)數(shù)解法，也可用L 、C 、R相位關(guān)系求，請(qǐng)認(rèn)真復(fù)習(xí)高一暑期所講這部分基本知識(shí)，以防萬一（1）當(dāng)E1單獨(dú)存在時(shí)，如圖所示= j EQ f(R, 2 ) ，= j2R = R += R + EQ f(j f(R, 2 ) (j2R ),j f(R, 2 ) j2R ) = R + ( 1 + EQ f(2, 3 )j )10 = arctanEQ f(2, 3 ) = 33.7i1 = I10cos ( EQ f(1, 2 )t + 3033.7 ) = cos ( EQ f(1, 2 )t 3

17、.7 ) = EQ f(3E0,r(,13 )R) cos ( EQ f(1, 2 )t 3.7 )圖E2Lii2（2）當(dāng)E2單獨(dú)存在時(shí)，如圖所示= jR ，= jR =+= jR + EQ f(R (jR ),R jR ) = EQ f(R, 2 ) ( 1 + j )20 = 45i = I20cos (t + 4545 ) = EQ f(r(,2 )E0, R ) cos ( t )圖E3i3RLC= EQ f(1, 2 ) ( 1 j ) 2 = 45（是否有誤 ？）i20 = EQ f(r(,2 )E0, R )EQ f(r(,2 ), 2 ) cos (t 45 )（3）當(dāng)E3單獨(dú)

18、存在時(shí)，如圖所示= j2R ，= jEQ f(R, 2 ) ，=+= j EQ f(R, 2 ) + EQ f(R j2R,R + j2R ) = EQ f(R, 10 ) ( 8 j )=EQ f(1, R ) = = EQ f(12 + 8j,13R)3 = arctan EQ f(2, 3 ) = 33.7 ，| = EQ f(4,r(,13 ) EQ f(E0, R ) i3 = EQ f(4,r(,13 ) EQ f(E0, R ) cos ( 2t + 93.7 ) i = i1 + i2 + i3= EQ f(E0, R ) EQ f(3,r(,13 ) cos ( EQ f(t

19、, 2 ) 3.7 ) + cos (t 45 ) + EQ f(4,r(,13 ) cos ( 2t + 93.7 ) 電阻R上消耗的瞬時(shí)功率為P = i 2R = EQ f(EEQ aalvslhslvsal(2,0), R ) EQ f(3,r(,13 ) cos ( EQ f(t, 2 ) 3.7 ) + cos (t 45 ) + EQ f(4,r(,13 ) cos ( 2t + 93.7 ) 2把上式平方中的交叉項(xiàng)展開，其中隨t變化的部分的平均值是0 因?yàn)橹话椒巾?xiàng)的平均值，也就相當(dāng)于電流i1 ，i2 ，i3各自單獨(dú)通過R時(shí)消耗的平均功率之和即= + + ，= EQ f(9,2

20、6) EQ f(EEQ aalvslhslvsal(2,0), R ) ，= EQ f(1, 2 ) EQ f(EEQ aalvslhslvsal(2,0), R ) ，= EQ f(16,26) EQ f(EEQ aalvslhslvsal(2,0), R ) = EQ f(19,13) EQ f(EEQ aalvslhslvsal(2,0), R ) 5（1）將12 ，34 ，56吸熱分別記為Q1 、Q2 、Q3 循環(huán)12431中吸熱Q1 ，放熱Q2 12431 = 1 EQ f(Q2,Q1)同理：34653 = 1 EQ f(Q3,Q2) ，12651 = 1 EQ f(Q3,Q1)因3

21、4653 1 ，Q2 Q3 ，1 EQ f(Q2,Q1) 1 EQ f(Q3,Q1) ，12431 12651（2）因?yàn)?p = kV ，所以 dp = kdV ，pdV + Vdp = nRdT pdV + kVdV = nRdT 2pdV = nRdT熱力學(xué)第一定律：dQ = dV + pdV 摩爾熱容量c = EQ f(dQ,ndT) = EQ f(dV + pdV,ndT) = EQ f(f(m, 2 )RdT + pdV,ndT) = EQ f(f(m, 2 )RdT + f(nR, 2 )dT,ndT) = EQ f(mR + nR,2n) 三個(gè)過程c相同1 ，2 ，3 ，4 ，5

22、 ，6溫度分別記為T1 ，T2 ，T3 ，T4 ，T5 ，T6設(shè)p = k3V（12過程），p = k2V（34過程），p = k1V（56過程）Q1 = c ( T2T1 ) ，Q2 = c ( T4T3 ) ，Q3 = c ( T6T5 )Q1Q2Q3 = ( T2T1 ) ( T4T3 ) ( T6T5 )T2T1 = EQ f( p2V2 p1V1 ,nR) = EQ f( k3 ( V EQ aalvslhslvsal(2,2) V EQ aalvslhslvsal(2,1) ) ,nR)T4T3 = EQ f( k2 ( V EQ aalvslhslvsal(2,4) V EQ a

23、alvslhslvsal(2,3) ) ,nR)T6T5 = EQ f( k1 ( V EQ aalvslhslvsal(2,6) V EQ aalvslhslvsal(2,5) ) ,nR)Q1Q2Q3 = k3 ( V EQ aalvslhslvsal(2,2) V EQ aalvslhslvsal(2,1) )k2 ( V EQ aalvslhslvsal(2,4) V EQ aalvslhslvsal(2,3) )k1 ( V EQ aalvslhslvsal(2,6) V EQ aalvslhslvsal(2,5) )絕熱過程有 pvr = 常數(shù)即 p1V EQ aalvslhslv

24、sal(r,1) = p3V EQ aalvslhslvsal(r,3) = p5V EQ aalvslhslvsal(r,5) ，p2V EQ aalvslhslvsal(r,2) = p4V EQ aalvslhslvsal(r,4) = p6V EQ aalvslhslvsal(r,6)或 k3V EQ aalvslhslvsal(r + 1,1) = k2V EQ aalvslhslvsal(r + 1,3) = k1V EQ aalvslhslvsal(r + 1,5) ，k3V EQ aalvslhslvsal(r + 1,2) = k2V EQ aalvslhslvsal(r +

25、 1,4) = k1V EQ aalvslhslvsal(r + 1,6)記 EQ f(V2, V1 ) = EQ f(V4, V3 ) = EQ f(V6, V5 ) = Q1Q2Q3 = k3 ( 2 1 ) V EQ aalvslhslvsal(2,1)k2 ( 2 1 )V EQ aalvslhslvsal(2,3)k1 ( 2 1 )V EQ aalvslhslvsal(2,5) = k3V EQ aalvslhslvsal(2,1)k2V EQ aalvslhslvsal(2,3)k1V EQ aalvslhslvsal(2,5)令 k3V EQ aalvslhslvsal(r +

26、 1,1) = k2V EQ aalvslhslvsal(r + 1,3) = k1V EQ aalvslhslvsal(r + 1,5) = r + 1V1 =，V3 =，V5 =Q1Q2Q3 = = 12431 = 1= 1，34653 = 1= 1因?yàn)?EQ f(r 1,r +1) 0 ， 12431 34653 西東Bx無線電波6解：如圖所示，設(shè)汽車位于x處，電磁波的傳播方位用角表示，散射方位用表示在H處疊加的兩波的波程差為 = +=cos ( ) = cos ( + ) = EQ f(L,sin)得： = EQ f(L,sin) EQ f(Lcos,tan) + Lsin波程差每變化

27、（變大或變小均可）一個(gè)波長(zhǎng)，接收到的訊號(hào)強(qiáng)度變化（起伏）一次d t 時(shí)間內(nèi)波程變化量記為 d ，dt 時(shí)間內(nèi)接收訊號(hào)強(qiáng)度起伏次數(shù)便為EQ f(d,) ，故 EQ f(d / ,dt) 即為單位時(shí)間內(nèi)接收訊號(hào)強(qiáng)度起伏次數(shù)，也就是強(qiáng)度起伏頻率f起伏 考慮到EQ f(d,dt)取正取負(fù)效果相同，即有：f起伏 = EQ f(1, )|EQ f(d,dt)| ，EQ f(d,dt) = EQ f(d,d) EQ f(d,dt) ，EQ f(d,d) = EQ f(Lcos,sin2) + EQ f(Lcos,sin2) ，x = L / tanEQ f(d,dt) = EQ f(d,dx)EQ f(dx

28、,dt) = EQ f(sin2,L) v帶入得：f起伏 = EQ f(v, )| cos cos | 由于 x = 200 m 時(shí)，f起伏 = 0= 此時(shí) tan = tan= EQ f(L, x ) = EQ f(1, 2 ) 故電磁波的發(fā)射方位角為： = arctan EQ f(1, 2 ) = 22.6又當(dāng)汽車在房子正對(duì)位置，即當(dāng) = 90 時(shí)，f起伏 = 2 Hz ，即有：2 = EQ f(v, ) cos = EQ f(fv, c ) cos將 c = 3.0108 m / s ，f = 60 MHz ， = 22.6帶入得：v = 11.2 m / s 7（1）由電荷守恒可知，x粒子應(yīng)帶電e ，考慮到系統(tǒng)碰撞前動(dòng)量為零（近似），碰撞后產(chǎn)生的+ 介子和x粒子的動(dòng)量之和也必為零設(shè)+ 介子的速度為v1 ，質(zhì)量為m1 ，設(shè)x粒子的速度為v2 ，質(zhì)量為m2 ，則m1v1 = m2v2 這兩個(gè)粒