立體幾何中添加輔助線的策略

1、立體幾何中添加輔助線的策略王留廷立體幾何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個圖形中，如統(tǒng)一在一個三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說明。一、添加加垂線策策略。因為立體體幾何的的許多定定義或定定理是與與垂線有有關的，如線面面角、二二面角的的定義，點到平平面、線線到平面面、平面面到平面面距離的的定義，三垂線線定理，線面垂垂直、面面面垂直直的判定定及性質質定理，正棱柱柱、正棱棱錐的性性質，球球的性質質等，所所以運用用這些定定義或定定理，就就需要把把沒有的的垂線補補上。尤尤

2、其要注注意平面面的垂線線，因為為有了平平面的垂垂線，才才能建立立空間直直角坐標標系，才才能使用用三垂線線定理或或其逆定定理。例1. 在三棱棱錐中，三條棱棱OA、OB、OC兩兩兩互相相垂直，且OAA=OBB=OCC，M是是AB邊邊的中點點，則OOM與平平面ABBC所成成的角的的大小是是_（用反三三角函數(shù)數(shù)表示）。圖1解：如圖圖1，由由題意可可設，則則，O點點在底面面的射影影D為底底面的中中心，。又，OOM與平平面ABBC所成成角的正正切值是是，所以以二面角角大小是是。點評：本本題添加加面ABBC的垂垂線ODD，正是是三棱錐錐的性質質所要求求的，一一方面它它構造出出了正三三棱錐里里面的，另一一方面

3、也也構造出出了OMM與平面面ABCC所成的的角。二、添加加平行線線策略。其目的是是把不在在一起的的線，集集中在一一個圖形形中，構構造出三三角形、平行四四邊形、矩形、菱形，這樣就就可以通通過解三三角形等等，求得得要求的的量，或或者利用用三角形形、梯形形的中位位線來作作出所需需要的平平行線。例2. 如圖22，在正正方體中中，則則與DFF所成角角的余弦弦值是（ ）A. B. C. D. 圖2解析：取取，易得得四邊形形ADFFG是平平行四邊邊形，則則AG/DFF，再作作，四邊邊形也是是平行四四邊形，就是與DDF所成成角，由由余弦定定理，算算出結果果，選AA。點評：求求異面直直線所成成角常采采用平移移法

4、。三、向中中心對稱稱圖形對對稱中心心添加連連線策略略。這主主要是因因為對稱稱中心是是整個圖圖形的“交通”樞紐，它可以以與周圍圍的點、線、面面關聯(lián)起起來，常常見的有有對平行行四邊形形連對角角線，對對圓的問問題向圓圓心連線線，對球球體問題題向球心心連線。例3. 如圖33，O是是半徑為為1的球球的球心心，點AA、B、C在球球面上，OA、OB、OC兩兩兩垂直直，E、F分別別是大圓圓弧ABB與ACC的中點點，則點點E、FF在該球球面上的的球面距距離是（ ）A. B. C. D. 圖3解析：添添加輔助助線OEE、OFF，連結結EF，構成，關鍵是是求。為為了使EEF與已已知條件件更好地地聯(lián)系起起來，過過E作

5、，垂足為為G，連連結FGG，構造造，在圖圖3中，。點E、FF在該球球面上的的球面距距離為，故選BB。點評：本本題抓住住了球心心，抓住住了弧中中點，利利用這些些特殊點點作輔助助線是解解題的關關鍵。四、名線線策略。即添加加常用的的、重要要的線，如中位位線、高高、角平平分線、面對角角線和體體對角線線等。盡盡管這些些線上面面也有提提到，但但還是要要在這里里強化一一下，這這些線有有著廣泛泛的聯(lián)系系。尤其其是添加加三角形形中位線線或者梯梯形中位位線，這這主要是是因為中中位線占占據(jù)了兩兩個邊的的中點，并且中中位線平平行于底底邊，且且是底邊邊長的一一半，它它可以把把底邊與與其他線線面的角角度關系系平移，使已知

6、知和未知知集中在在一個三三角形中中。例4. 如圖44，正三三棱柱的的各棱長長都為22，E、F分別別是ABB、的中中點，則則EF的的長是（ ）。圖4A. 22B. C. D. 解析：如如圖4所所示，取取AC的的中點GG，連結結EG、FG，則易得得，故，選選C。點評：本本題充分分體現(xiàn)了了中位線線的重要要性。五、割補補策略。分割成成常見規(guī)規(guī)則圖形形，或者者補形成成典型幾幾何體。例5. 一個四四面體的的所有棱棱長都為為，四個個頂點在在同一球球面上，則此球球的表面面積為（ ）A. B. C. D. 6解析：把把這個正正四面體體補成正正方體，如圖55，正四四面體可可看成是是由正方方體的面面對角線線構成的的，這個個正四面面體和這這個正方方體有相相同的外外接球面面。因為為四面體體的棱長長為，所所以正方