立體幾何中添加輔助線的策略

1、立體幾何中添加輔助線的策略王留廷立體幾何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補(bǔ)完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個(gè)圖形中，如統(tǒng)一在一個(gè)三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說(shuō)明。一、添加加垂線策策略。因?yàn)榱Ⅲw體幾何的的許多定定義或定定理是與與垂線有有關(guān)的，如線面面角、二二面角的的定義，點(diǎn)到平平面、線線到平面面、平面面到平面面距離的的定義，三垂線線定理，線面垂垂直、面面面垂直直的判定定及性質(zhì)質(zhì)定理，正棱柱柱、正棱棱錐的性性質(zhì)，球球的性質(zhì)質(zhì)等，所所以運(yùn)用用這些定定義或定定理，就就需要把把沒(méi)有的的垂線補(bǔ)補(bǔ)上。尤尤

2、其要注注意平面面的垂線線，因?yàn)闉橛辛似狡矫娴拇勾咕€，才才能建立立空間直直角坐標(biāo)標(biāo)系，才才能使用用三垂線線定理或或其逆定定理。例1. 在三棱棱錐中，三條棱棱OA、OB、OC兩兩兩互相相垂直，且OAA=OBB=OCC，M是是AB邊邊的中點(diǎn)點(diǎn)，則OOM與平平面ABBC所成成的角的的大小是是_（用反三三角函數(shù)數(shù)表示）。圖1解：如圖圖1，由由題意可可設(shè)，則則，O點(diǎn)點(diǎn)在底面面的射影影D為底底面的中中心，。又，OOM與平平面ABBC所成成角的正正切值是是，所以以二面角角大小是是。點(diǎn)評(píng)：本本題添加加面ABBC的垂垂線ODD，正是是三棱錐錐的性質(zhì)質(zhì)所要求求的，一一方面它它構(gòu)造出出了正三三棱錐里里面的，另一一方面

3、也也構(gòu)造出出了OMM與平面面ABCC所成的的角。二、添加加平行線線策略。其目的是是把不在在一起的的線，集集中在一一個(gè)圖形形中，構(gòu)構(gòu)造出三三角形、平行四四邊形、矩形、菱形，這樣就就可以通通過(guò)解三三角形等等，求得得要求的的量，或或者利用用三角形形、梯形形的中位位線來(lái)作作出所需需要的平平行線。例2. 如圖22，在正正方體中中，則則與DFF所成角角的余弦弦值是（ ）A. B. C. D. 圖2解析：取取，易得得四邊形形ADFFG是平平行四邊邊形，則則AG/DFF，再作作，四邊邊形也是是平行四四邊形，就是與DDF所成成角，由由余弦定定理，算算出結(jié)果果，選AA。點(diǎn)評(píng)：求求異面直直線所成成角常采采用平移移法

4、。三、向中中心對(duì)稱(chēng)稱(chēng)圖形對(duì)對(duì)稱(chēng)中心心添加連連線策略略。這主主要是因因?yàn)閷?duì)稱(chēng)稱(chēng)中心是是整個(gè)圖圖形的“交通”樞紐，它可以以與周?chē)鷩狞c(diǎn)、線、面面關(guān)聯(lián)起起來(lái)，常常見(jiàn)的有有對(duì)平行行四邊形形連對(duì)角角線，對(duì)對(duì)圓的問(wèn)問(wèn)題向圓圓心連線線，對(duì)球球體問(wèn)題題向球心心連線。例3. 如圖33，O是是半徑為為1的球球的球心心，點(diǎn)AA、B、C在球球面上，OA、OB、OC兩兩兩垂直直，E、F分別別是大圓圓弧ABB與ACC的中點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)點(diǎn)E、FF在該球球面上的的球面距距離是（ ）A. B. C. D. 圖3解析：添添加輔助助線OEE、OFF，連結(jié)結(jié)EF，構(gòu)成，關(guān)鍵是是求。為為了使EEF與已已知條件件更好地地聯(lián)系起起來(lái)，過(guò)過(guò)E作

5、，垂足為為G，連連結(jié)FGG，構(gòu)造造，在圖圖3中，。點(diǎn)E、FF在該球球面上的的球面距距離為，故選BB。點(diǎn)評(píng)：本本題抓住住了球心心，抓住住了弧中中點(diǎn)，利利用這些些特殊點(diǎn)點(diǎn)作輔助助線是解解題的關(guān)關(guān)鍵。四、名線線策略。即添加加常用的的、重要要的線，如中位位線、高高、角平平分線、面對(duì)角角線和體體對(duì)角線線等。盡盡管這些些線上面面也有提提到，但但還是要要在這里里強(qiáng)化一一下，這這些線有有著廣泛泛的聯(lián)系系。尤其其是添加加三角形形中位線線或者梯梯形中位位線，這這主要是是因?yàn)橹兄形痪€占占據(jù)了兩兩個(gè)邊的的中點(diǎn)，并且中中位線平平行于底底邊，且且是底邊邊長(zhǎng)的一一半，它它可以把把底邊與與其他線線面的角角度關(guān)系系平移，使已知

6、知和未知知集中在在一個(gè)三三角形中中。例4. 如圖44，正三三棱柱的的各棱長(zhǎng)長(zhǎng)都為22，E、F分別別是ABB、的中中點(diǎn)，則則EF的的長(zhǎng)是（ ）。圖4A. 22B. C. D. 解析：如如圖4所所示，取取AC的的中點(diǎn)GG，連結(jié)結(jié)EG、FG，則易得得，故，選選C。點(diǎn)評(píng)：本本題充分分體現(xiàn)了了中位線線的重要要性。五、割補(bǔ)補(bǔ)策略。分割成成常見(jiàn)規(guī)規(guī)則圖形形，或者者補(bǔ)形成成典型幾幾何體。例5. 一個(gè)四四面體的的所有棱棱長(zhǎng)都為為，四個(gè)個(gè)頂點(diǎn)在在同一球球面上，則此球球的表面面積為（ ）A. B. C. D. 6解析：把把這個(gè)正正四面體體補(bǔ)成正正方體，如圖55，正四四面體可可看成是是由正方方體的面面對(duì)角線線構(gòu)成的的，這個(gè)個(gè)正四面面體和這這個(gè)正方方體有相相同的外外接球面面。因?yàn)闉樗拿骟w體的棱長(zhǎng)長(zhǎng)為，所所以正方