2021-2022學(xué)年安徽省“江南十套”高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若直線與圓相交所得弦長為，則（ ）A1B2CD32若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為（ ）ABCD3若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（ ）ABCD4設(shè)一個正

2、三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（ ）ABCD5已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（ ）ABCD6已知的垂心為，且是的中點，則（ ）A14B12C10D87若，滿足約束條件，則的取值范圍為（ ）ABCD8設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為ABCD9已知集合，ByN|yx1，xA，則AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x210已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定

3、義域為（ ）ABCD11已知實數(shù)，則下列說法正確的是（ ）ABCD12國務(wù)院發(fā)布關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見中提出，要優(yōu)先落實教育投入某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（ ）A隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C從年至年，中國的總值最少增加萬億D從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的角所對的邊分別為，且，若，則的值為_.14如圖，、分別是雙曲線

4、的左、右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率是_.15春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動已知某種盆栽植物每株成活的概率為，各株是否成活相互獨立該學(xué)校的某班隨機領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)為其中成活的株數(shù)，若的方差，則_16已知集合U1,3,5,9，A1,3,9，B1,9，則U(AB)_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（I）當時，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍18（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，

5、過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值19（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.20（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.21（12分）已知在中，角、的對邊分別為，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.22（10分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不

6、停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時419線上學(xué)習(xí)時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；（2）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時

7、間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所

8、以直線過圓心,得,即.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點，其中一條漸近線為，由點到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.3A【解析】首先畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值【詳解】解：作出實數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點時直線在上截距最小，所以故選：A【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標函數(shù)的最值先畫出

9、可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題4D【解析】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,，即，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，當時，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這

10、是常用的方法，屬于難度題.5B【解析】根據(jù)角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.6A【解析】由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而， 所以，因為是的中點，所以故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.7B【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應(yīng)坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經(jīng)過點時，取得最小值5

11、；經(jīng)過點時，取得最大值5，故.故選：B【點睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.8A【解析】畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.9A【解析】解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】集合xZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故選：A【點睛】此題考查求集合的并集，關(guān)

12、鍵在于準確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.10A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A考點：函數(shù)的定義域11C【解析】利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：對于實數(shù)， ，不成立對于不成立對于利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立 故選：【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大小要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法12C【解析】觀察圖表，判斷四個選項是否正確【詳解】由表易知、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯

13、誤【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎(chǔ)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.14【解析】根據(jù)三角形中位線證得，結(jié)合判斷出垂直平分，由此求得的值，結(jié)合求得的值.【詳解】，為中點，垂直平分，即，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的

14、數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】由題意可知：，且，從而可得值【詳解】由題意可知：，即,故答案為：【點睛】本題考查二項分布的實際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題165【解析】易得ABA1,3,9，則U(AB)5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（） ;（）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)零點分區(qū)間法，去掉絕對值解不等式；（2）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)得，因此將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，借此不等式即可試題解析：（）由得，或，或 解得：所以原不等式的解集為 .（）由不等式的性質(zhì)得：，要使不等式恒成立，則 當時，不等式恒成立；當時，解不等式得 綜上

15、所以實數(shù)的取值范圍為.18（1）見解析（2）最小值為1【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據(jù)韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設(shè)直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值【詳解】(1)動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心到定點和定直線的距離相等，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，軌跡的方程為：，設(shè)，直線的方程為：，即：，同理，直線的方程為：，由可得：， 直線方程為：，聯(lián)立可

16、得：， ，點始終在直線上且；（2）設(shè)直線的傾斜角為，由（1）可得：， 四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.19（1）；（2）或【解析】（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程，再根據(jù)，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據(jù)極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數(shù)得：，即：，.，.（2）直線：的極坐標方程為，當時.即：，或.或，直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方

17、程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.20（1）；（2）當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.【解析】（1）當時，求得其導(dǎo)函數(shù) ，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導(dǎo)函數(shù)，并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性； （3）當時，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，且有，構(gòu)造函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當時，所以 ，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，令，得，所以當時，當時，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當時，由（2）得

18、在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且時，當時，所以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，且有，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，所以，在上單調(diào)遞減，且，由 ，在上單調(diào)遞增， .所以.【點睛】本題考查運用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點的切線方程，討論函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，得出其導(dǎo)函數(shù)的正負，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，屬于難度題.21（1）7（2）14【解析】（1）在中，可得 ，結(jié)合正弦定理，即可求得答案；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，.（2），解得，.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.22（1）填表見解析；有99%的把握認為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”（2）詳見解析期望；方差【解析】（1）完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進而得到概率，列出分布列；根據(jù)分析知，計算出期望與方