四年級(jí)奧數(shù)計(jì)算數(shù)列教師版

1、1知識(shí)要點(diǎn)按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)）、第2 項(xiàng)、第 3項(xiàng)、第 n 項(xiàng)、3、項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，有窮數(shù)列的最后一項(xiàng)叫做這個(gè)數(shù)列的末項(xiàng)。 項(xiàng)數(shù)無窮的數(shù)列叫做無窮數(shù)列。4、1 2 3 ( n 1) n n (n 1) 2（ n為正整數(shù)）122232n2 n n12n1（n為正整數(shù)） 65、如果一個(gè)數(shù)列，從第 2 項(xiàng)起的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用 d 表示。等差數(shù)列求和公式：和 （首項(xiàng) 末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2。6、如果一個(gè)數(shù)列，從第 2項(xiàng)起，每一

2、項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用 q表示 q0。（或者從第二數(shù)開始每一個(gè)數(shù)都和前面數(shù)的倍數(shù)都是相同的，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。） 一般地，等比數(shù)列求和采用“錯(cuò)位相減法”。（公比不為 1 ）1等差數(shù)列找規(guī)律計(jì)算 應(yīng)用題數(shù)表整數(shù)與數(shù)列 本講初步認(rèn)識(shí)等比數(shù)列其它復(fù)合型數(shù)列求和方法應(yīng)用題傳說西塔發(fā)明了國(guó)際象棋而使國(guó)王十分高興，他決定要重賞西塔，西塔說：“我不要你 的重賞 ，陛下，只要你在我的棋盤上賞一些麥子就行了。在棋盤的第1 個(gè)格子里放1 粒，在第 2個(gè)格子里放 2粒，在第 3 個(gè)格子里放 4粒，在第 4個(gè)格子里放 8 粒，依此類推，以

3、后每一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的 2倍，直到放滿第 64 個(gè)格子就行了”。區(qū)區(qū)小數(shù)，幾粒麥子，這有何難，“來人”，國(guó)王令人如數(shù)付給西塔。計(jì)數(shù)麥粒的工作開始了，第一格內(nèi)放1粒，第二格內(nèi)放 2粒第三格內(nèi)放 2粒，還沒有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國(guó)王面前來。但是，麥粒數(shù)一格 接一格飛快增長(zhǎng)著，國(guó)王很快就看出，即便拿出全國(guó)的糧食，也兌現(xiàn)不了他對(duì)西塔的諾言。原來，所需麥?？倲?shù)為： 2641 18446744073709551615這些麥子究竟有多少？打個(gè)比方，如果造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)來放這些麥子，倉(cāng)庫(kù)高 4公尺，寬10公尺，那么倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)度就等于地球到太陽(yáng)的距離的兩倍。

4、而要生產(chǎn)這么多的麥子，全世界要 兩千年。盡管國(guó)家非常富有，但要這樣多的麥子他是怎么也拿不出來的。這么一來，國(guó)王就 欠了西塔好大一筆債。等差數(shù)列【例 1】判斷下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？哪些是等比數(shù)列？如果是等差數(shù)列，請(qǐng)指 明公差；如果不是，請(qǐng)說明理由。如果是等比數(shù)列，請(qǐng)指明公比；如果不是，請(qǐng) 說明理由。數(shù)列一： 7 、 11、15 、19 、 23 、；數(shù)列二： 1、 2、1、 2、 3 、 4、 5 、 99 、 100 ；數(shù)列三： 1、 2、 4、 8 、 16 、 32 、 64 ；數(shù)列四： 2、 6 、18 、 54 、 162 ；數(shù)列五： 2009 、 2009 、 2009 、

5、2009 、 2009 、 2009 、 2009 ； 數(shù)列六： 1 、 0 、 1 、 0 、 1 、 0 、 1 、 0 、 1 ；數(shù)列七： 0 、 0 、 0 、211 15【分析】數(shù)列一是等差數(shù)列，公差為 4 ；因?yàn)?，所以不是等比數(shù)列。7 11數(shù)列二不是等差數(shù)列；不是等比數(shù)列。因?yàn)?2 1 1 2，即 a a a a 2 1 32；所以數(shù)列二不是等差數(shù)列；因?yàn)? 1 ，所1 2以不是等比數(shù)列。數(shù)列三不是等差數(shù)列，數(shù)列三是等比數(shù)列，公比為 2。因?yàn)?2 1 4 2 ，即 a a a a ；所以數(shù)列三不是等差數(shù)列；2 1 3 2因?yàn)?2 1 2 ， 4 2 2 ， 8 4 2 ，所以數(shù)列

6、三是等比數(shù)列。 數(shù)列四是等比數(shù)列，公比為 3 ；因?yàn)?6 2 18 6 ，所以不是等差數(shù)列。數(shù)列五是等差數(shù)列，公差為 0 ；還是等比數(shù)列，公比為1。數(shù)列六不是等差數(shù)列；也不是等比數(shù)列。因?yàn)?0 1 1 0 ，即 a a a a ；所以數(shù)列六不是等差數(shù)列；也不是等比數(shù)列。2 1 3 2數(shù)列七是等差數(shù)列，公差為 0 。不是等比數(shù)列，因?yàn)榈缺葦?shù)列的每一項(xiàng)都不能為 0 。 【例 2】下圖所示的表中有 55 個(gè)數(shù)，那么它們的和加上多少才等于 1994 ？1 7 132 8 143 9 154 10 165 11 17【分析】（方法一）需先求出所給數(shù)列的和，然后看和1994 差多少。 故可以先交給學(xué)生讓大

7、家用基本公式算所給數(shù)列的和， 可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。（方法二）利用等差數(shù)列和 中間數(shù) 個(gè)數(shù)第 6 列作為中間項(xiàng)，求和再乘以項(xiàng)數(shù)： (31 32 33 34 35) 11 1815第 3 行為中間數(shù)列求和再乘以項(xiàng)數(shù)：(3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63) 5 1815因此所求的和是 1994 1815 179【例 3】在 1100 這100 個(gè)自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】在 1100 這 100 個(gè)自然數(shù)中，能被 9 整除的自然數(shù)依次為 9 、18 、27 、98 、 99 ，9 18 27 98 99 (9 99)

8、 (99 9) 9 12594即在 1100 這100 個(gè)自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和為 594 ?！纠?4】在不大于100 自然數(shù)中，所有不能被 9 整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】 在不大于100 的自然書中，能被 9 整除的自然數(shù)依次為 0 、9 、18 、27 、98 、399 ，0 9 18 27 98 99 (0 99) (99 0) 9 125940 1 2 3 98 99 100 (0 100) (1000) 1 125050所以在不大于 100 的自然數(shù)中，所有能被 9 整除的自然數(shù)的和為 5050 594 4456 ?！纠?5】在 1 200 這 200 個(gè)自然

9、數(shù)中，所有能被 4整除或被 11整除的自然數(shù)的和是多少？【分析】 在 1 200 這 200 個(gè)自然數(shù)中，能被 4整除的自然數(shù)依次為 4、8 、12、196 、200 ，4 8 12 196 200 (4 200) (200 4) 4 125100在 1 200 這 200 個(gè)自然數(shù)中，能被 11整除的自然數(shù)依次為11、22、33 、187 、198 ，11 22 33 187 198 (11198) (198 11) 11 121881在 1 200 這 200 個(gè)自然數(shù)中，既能被 4 整除又能被 11 整除的自然數(shù)，即能被 4,11 44 整除的自然數(shù)依次為 44、 88 、 132 、

10、176 ，44 88 132 176 (44 176) (176 44) 44 12440在 1 200 這 200 個(gè)自然數(shù)中，所有能被 4 5100 1881 440 6541 。整除或能被11整除的自然數(shù)的和為【例 6】（第七屆小學(xué)“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第一（1 ）題）七個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，最大的 兩個(gè)數(shù)的和比最小的數(shù)大1997 ，那么中間的那個(gè)數(shù)是 _ 。【分析】最大的數(shù)比最小的數(shù)大 (7 1) 1 6 ，所以第 2大的數(shù)（從小到大第 6 數(shù)）為1997 6 1991；所以中間數(shù)（從小到大第 4 數(shù)）為1991 (6 4) 1 1989 ；或第 2大的數(shù)比最小的數(shù)大 (6 1) 1 5 ，

11、所以最大的數(shù)（從小到大第 7 數(shù)）為 1997 5 1992 ；所以中間數(shù)（從小到大第 4數(shù)）為1992 (7 4) 1 1989【例 7】計(jì)算： 1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70 _ 。 【分析】（方法一）1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70(14 7 10 67 70) (3 6 9 12 66 69)(170) (70 1) 3 1 (3 69) (69 3) 3 12 2852 828 1680（方法二）1 3 4 6 7 9 10 12 13 66 67 69 70(12 3 4 5 6 7 8 9 65 66 67 68

12、69 70) (2 5 8 (170) (70 1) 1 1 (2 68) (68 2) 3 12485 805 16802 265 68)【例 8】如圖所示，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是個(gè)點(diǎn)，算作第1 層；第 2 層每邊有 2 個(gè)4點(diǎn)（相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn)）；第 3 層每邊有 3 個(gè)點(diǎn)；這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有 2010 層。請(qǐng)問第 2010 層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？【分析】 第 1層有 1個(gè)點(diǎn)、第 2層有 1 6 個(gè)點(diǎn)、第 3 層有 2 6 個(gè)點(diǎn)、第 2010 層有 2009 6 12054 個(gè)點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)陣共有 1 16 2 6 2009 6（1 2009）20091 (12 2009

13、) 6 1 26 12114271個(gè)點(diǎn)?！纠?9】如圖所示， 1條直線將 1個(gè)平面分成 2部分， 2條直線最多將 1個(gè)平面分成 4部分，3 條直線最多將 1個(gè)平面分成 7 部分，4條直線最多將 1個(gè)平面分成幾部分？那么 5條直線最多將 1個(gè)平面分成多少部分？【分析】 如果有 3 條直線，再增加1條直線，這條新增加的直線與前 3 條直線至多有 3 個(gè)交點(diǎn)；所以這條新增加的直線至多能被分成 3 1 4 段；因?yàn)槊慷沃本€將原有的部分分成 2 個(gè)部分；所以至多能增加 2 1 3 個(gè)部分。 4 條直線最多將 1 個(gè)平面分成 7 4 11 部分。如果有 4條直線，再增加1條直線，這條新增加的直線與前 4條

14、直線至多有 4個(gè)交點(diǎn)；所以這條新增加的直線至多能被分成 4 1 5 段；因?yàn)槊慷沃本€將原有的部分分成 2個(gè)部分；所以至多能增加 4 1 5 個(gè)部分。那么 5 條直線最多將1個(gè)平面分成11 5 16 部分。（下圖中圓代表一個(gè)平面）【例 10】 如圖所示，1條直線將 1個(gè)平面分成 2部分，2條直線最多將 1個(gè)平面分成 4部分， 3 條直線最多將 1 個(gè)平面分成 7 部分， 4 條直線最多將 1 個(gè)平面分成 11 部分，那么 2009 條直線最多將1個(gè)平面分成多少部分？（圓內(nèi)部代表平面）52009 2 2009 2【分析】 如果有 k 條直線，再增加 1條直線，這條新增加的直線與前 k 條直線至多有

15、 k 個(gè)交點(diǎn)；所以這條新增加的直線至多能被分成 k 1 段；因?yàn)槊慷沃本€將原有的部分分成 2 個(gè)部分；所以至多能增加 k 1 個(gè)部分。（k N ）所以 n條直線最多將平面分成 1 (1 2 n ) 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2個(gè)部分（ n Z）。所以 2009 條直線最多將平面分成 20190462個(gè)部分?！纠?11】 （ 2009 年 12 月 20 日第十屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活四年級(jí)選拔賽第一（ 9 ）題）平面上有一個(gè)圓，能把平面分成2部分； 2個(gè)圓最多能把平面分成 4部分?，F(xiàn)在有 7 個(gè)圓，最多能把平面分成 _ 部分。 【分析】 （方法一）列表可得圓的個(gè)數(shù)12345

16、 6 7平面的個(gè)數(shù) 2 4 8 14 22 32 44平面的個(gè)數(shù)之差是一個(gè)等差數(shù)列，例如 1個(gè)圓到 2個(gè)圓，平面的個(gè)數(shù)相差 4 2 2個(gè)，2個(gè)圓到 3 個(gè)圓，平面的個(gè)數(shù)相差 8 4 4 個(gè)， 3 個(gè)圓到 4個(gè)圓，平面的個(gè)數(shù)相差14 8 6 個(gè)，依次相加得到所以 7 個(gè)圓最多能將平面分成 2 (2 4 6 8 10 12) 44 個(gè)平面。 （方法二）如圖1 所示，平面上 1 個(gè)圓把平面分成 2 部分；如圖 2所示，增加1個(gè)圓，與原來 1個(gè)圓至多有 2個(gè)交點(diǎn)，2個(gè)交點(diǎn)能把增加的這個(gè)新增加的圓分成 2段?。欢總€(gè)段弧又將原來的的平面分成 2部分，即新增加1部分；所以 2段弧至多增加 2部分。當(dāng)有 k

17、 個(gè)圓時(shí)，再增加 1個(gè)圓，與原來 k 個(gè)圓至多有 2k 個(gè)交點(diǎn)，2k 個(gè)交點(diǎn)能把增加的這個(gè)新增加的圓分成 2k 段??； 而每個(gè)段弧又將原來的的平面分成 2 部分，即新增加1 所以 2k 段弧至多增加 2k 部分。部分；所以 n個(gè)圓最多能將平面分成 2 2 4 2( n 1) n 2 n 2 個(gè)平面；所以 7 個(gè)圓最多能將平面分成 71 2圖127 2 44 個(gè)平面。1 3 2 4圖26等比數(shù)列【例 12】 在括號(hào)中填入數(shù)，使數(shù)列成為等比數(shù)列。2、 4、（ ）、（ ）、 32 、 64 、 128 ；3 、（ ）、（ ）、 3000 、 30000 ；1 、11 、（ ）、 1331、 1464

18、1 、（ ）、（ ）。【分析】 2 、 4 、（8 ）、（16 ）、 32 、 64 、 128 ；公比為 2 。 3 、（30 ）、（300 ）、 3000 、 30000 ；公比為 10 。1、 11、（121）、1331 、 14641 、（161051）、（1771561 ）；公比為 11?！纠?13】數(shù)列求和： 2 4 8 16 32 64 128 _ ?！痉治觥窟@個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是前面數(shù)的 2記 s 2 4 8 16 32 64 128 ，倍，是等比數(shù)列。2 s 2 (2 4 8 16 32 64 128) 4 8 16 32 64 128 256 2s s s 256

19、2 254 ?！菊f明】這種方法稱為“錯(cuò)位相減法”?！纠?14】計(jì)算：1 3 9 27 81 243 729 _ ?！痉治觥窟@個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是前面數(shù)的3 倍，是等比數(shù)列。記 s 1 3 9 27 81 243 729 ， 3s 3 9 27 81 243 729 2187 ， 3s s 2 s 2187 1 2186【例 15】 （ 2006 年第四屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)第 1試第 19 題）成語(yǔ)“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難。假設(shè)愚公家門口大山有 80 萬(wàn)噸重，愚 公有兩個(gè)兒子，他的兩個(gè)兒子又分別有兩個(gè)兒子，依次類推。愚公和他的子孫每 人一生能搬運(yùn) 100 噸石

20、頭。如果愚公是第一代，那么到了第_代這座大山可以搬完。（已知 2101024 ）【分析】愚公家第一代有1人，第二代有 2人，第三代有 22 4 人，第四代有 238 人，第十三代有 2124096 人，因?yàn)?(12 4 8 4096) 100 819100 800000 ，所以第十三代大山就全搬完?！纠?16】 某課題研究小組對(duì)附著在物體表面的三個(gè)微生物（課題小組成員把他們分別編號(hào)為 1、2、3 ）的生長(zhǎng)情況進(jìn)行觀察記錄。這三個(gè)微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（分別被標(biāo)號(hào)為 4、 5 、 6 、 7 、8 、 9 ），接下去每天都都按照這樣的規(guī)律變化，即每個(gè)生物一分為二，形成新的微生物

21、。那么標(biāo)號(hào)為100 的微生物 會(huì)出現(xiàn)在第幾天？【分析】第一天原有 3 2 6 個(gè)，第二天新增 6 2 12 個(gè)，第三天新增 12 2 24 微生物分裂新增的個(gè)數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列。7，( n 1)2 1 n 22 2分裂到第四天是有 3 6 12 24 48 93 個(gè)， 分裂到第五天是有 3 6 12 24 48 96 189 個(gè)。 標(biāo)號(hào)為100 的出現(xiàn)在第五天?！纠?17】其他數(shù)列如圖表中數(shù)的排列順序。請(qǐng)問 2009 在第幾行第幾列？第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 5 列 第 1 行第 2 行第 3 行第 4 行第 5 行149162581524142322【分析】 根據(jù)填寫順

22、序和規(guī)律，設(shè) m為數(shù)表中的一個(gè)數(shù)（ m Z ）。當(dāng) m n 2 ，那么 m在第 n行、第1列（ n Z ）；當(dāng) m ( n 1)21 ，那么 m在第 1行、第 n列（ n Z）；當(dāng) m n2，那么 m的行數(shù)和列數(shù)都小于等于 n（ m , n Z ）；當(dāng) (n 1)2m n2，那么 m 在 n 行或在 n 列（ m , n Z ）；第 n行、第 n列的數(shù)為( n 1)2 1 n 22（ n Z），當(dāng) ( n 1)2 m ( n 1)21 n22，那么 m 在 n列，當(dāng) m n 22，那么 m 在 n 行（ m , n Z ）；當(dāng) ( n 1)2m ( n 1)21 n22，那么 m 在 n列、第

23、 m ( n 1)2行，當(dāng)( n 1)2 1 n 22 m n 2 ，那么 m 在 n 行、第 n 2 m 1 列（ m , n Z ）。44(44 2 1) 45 2 1936 1 20251936 ， 45 2025 ， 2 21981；1981 2009 2025 ；2009 在 45 行、第 452 2009 1 2025 2009 1 17 列。【例 18】 正整數(shù)數(shù)列按圖中排成一個(gè)數(shù)陣，自上至下第1行有 1個(gè)數(shù)、第 2行有 3 個(gè)數(shù)、第 3 行有 5 個(gè)數(shù)、第 n行有 2n 1 個(gè)數(shù)（ n為正整數(shù)）。請(qǐng)問：（ 1 ）自上至下第10 行中所有數(shù)的和是多少？（ 2） 2010 排在第幾

24、行第幾列？ 812 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16【分析】前9 行一共有 1 3 5 (9 2 1) 9 2 81 個(gè)數(shù)，它們的和為(181) 8123321 ；前 10 行 一 共 有 1 3 5 (10 2 1) 10 (1100) 1005050 ；22100 個(gè) 數(shù) ， 它 們 的 和 為自上至下第10 行中所有數(shù)的和為 5050 3321 1729 。前 n行一共有 1 3 5 ( n 2 1) n 2 個(gè)數(shù)（ n Z ）。因?yàn)?442 1936 ， 452 2025 ， 2010 1936 74 ；所以 2010 排在第 45 行第 74 列。【例

25、 19】 正整數(shù)1、2、3 、的排列順序如圖表所示，其中18 位于第 3 行、第 4列。請(qǐng)問 2010 位于第幾行（從上往下數(shù)）、第幾列（從左往右數(shù)）？1102591268137 15 1614 1718【分析】設(shè) m 為行數(shù)、 n11為列數(shù)， a m n 1 ，令 1 2 3 a a (a 1) 22010 ， a ( a 1) 4020 ，因?yàn)?62 63 3906 4020 、 63 64 4032 4020 ，所以 a 3906 2 1 1954 位于第 63 行、第1 列；63min。2010 1954 56 ， 2010 位于 63 56 7 行、第 1 56 57 列?！纠?20

26、】計(jì)算：122232592602_ ?！痉治觥?1222325926021 60 61121 73810 61【說明】公式 12 2 2 32 n 2 n( n 1)(2n 1) 的證明方法：6圖一旋轉(zhuǎn)得到圖二，再旋轉(zhuǎn)得到圖三。9112 23 3 3nn 1 nn 14 4 4 443 4n 1 n 1 2 3 4 n 1 n n n n n 1 2 3 4 n 1 nnn n 1n 144 3n n 1 4 3 2n n 1 4 3 2 1圖一圖二圖三記圖一中所有數(shù)的和是 s 122232 n2。圖一、圖二、圖三相同位置的三個(gè)數(shù)的和都是 2n 1 ；1圖一、圖二、圖三各有1 2 3 ( n

27、1) n n( n 1) 個(gè)數(shù)；21 1所以圖一、圖二、圖三中所有數(shù)的和 3s (2 n 1) n(n 1) n ( n 1)(2n 1)2 2所以 s n n12n16【例 21】計(jì)算： 5 2 6 2 7 2 8 2 29 2 30 2 _ ?！痉治觥?52 6 2 7 2 82 29 12223242 52 622 30 2 72 82 292302122232421 1 30 3161 4 5 9 9455 30 9425 6 6【例 22】計(jì)算 ： 2 2 4 2 6 2 182 20 2 _；123252 172192_ ?！痉治觥恳?yàn)?2 2 1、 4 2 2、 6 2 3 、

28、18 2 9 、 20 2 10 ；所以 2 2 (2 1)2 2 2 12 、 4 2 (2 2) 2 2 2 2 2 、 6 2 (2 3) 2 2 2 32 、 182 (2 9) 2 2 2 9 2 、 202 (2 10) 2 2 2 10 2 ；1011224262 18220222122232921021 4 10 11 21 1540 6 ；123252 172192122232 192202224262 1822021 20 21 41 1540 2870 1540 1330 6【例 23】計(jì)算：1 3 2 4 3 5 97 99 98 100 _ ?！痉治觥?1 3 2 4

29、 3 5 97 99 98 100 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)221321421 98219921223242 982992981222324298299299 99 100 199 99 328350 99 328251 6【例 24】計(jì)算：17 18 18 19 19 20 29 30 _ ?！痉治觥?17 18 18 19 19 20 29 30 1718191618192017 29 30 312831 17 18 19 16 17 18 18 19 20 17 18 19 29 30

30、31 28 29 30 329 10 31 16 17 6 7358【例 25】 （ 2003 年中國(guó)臺(tái)灣省小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽復(fù)賽第 4 題）A 66662003 個(gè) 66 ， B 55552003 個(gè) 55 ，則 3 A B 的值的所有數(shù)字之和是多少？【分析】 3 A B 3 66662003 個(gè) 66 55552003 個(gè) 55 3 33332003 個(gè) 33 2 55552003 個(gè) 5599992003 個(gè) 99 11112003 個(gè)110 (100002003 個(gè) 00 1) 11112003 個(gè)11 10(11112003 個(gè)1100002003 個(gè) 00 11112003 個(gè)1

31、1) 10 (11112003 個(gè)1100002003 個(gè) 00 11112003 個(gè)11) 1011112002 個(gè)11088882002 個(gè) 0890所 以3 A B的 值 的 所 有數(shù)字之和為12002 0 8 2002 9 0 9 2002 9 9 2003 18027【例 26】 （ 2008 年第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（小學(xué)組）初賽第 5 題）11若 a 151515 3333 ，則整數(shù) a 1004 個(gè)15 2008 個(gè) 3的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于 _ ?！痉治觥?a 151515 3333 50505 3 33331004 個(gè)15 2008 個(gè) 3 1004 個(gè) 5

32、 和1003 個(gè) 0 2008 個(gè) 3 50505 9999 50505 （10000 1）1004 個(gè) 5 和1003 個(gè) 0 2008 個(gè) 3 1004 個(gè) 5 和1003 個(gè) 0 1個(gè)1和 2008 個(gè) 0 50505 0000 50505 5050504949 4951004 個(gè) 5 和1003 個(gè) 0 2008 個(gè) 01004 個(gè) 5和1003 個(gè) 0 1003 個(gè) 50 1004 個(gè) 49 和1個(gè) 5整數(shù) a所有數(shù)位上的數(shù)字和等于1003 (5 0) 1004 (4 9) 5 18072【例 27】已知 a 2 22 222 2222，求 a是多少？2009個(gè) 22009個(gè)數(shù)相加【

33、分析】因?yàn)?2 9 9 2 (10 1) 9 2 、 22 99 9 2 (100 1) 9 2 、222 999 9 2 (1000 1) 9 2、 、2 22 299 9992個(gè)02個(gè)00個(gè) 和90個(gè)939112所以 a (10 100 1000 10000) 2009 1 9 21個(gè)1和 2009 個(gè) 0(11111110 2009) 9 2 （1111000 1899）9 22009 個(gè)1和1個(gè) 0 2007 個(gè)1和3 個(gè) 0因?yàn)?1111111119 2 123456792 24691358 ；所以 1111000 9 2 246913580246913580 24691358000

34、 2007 個(gè)1和 3 個(gè) 0 223 個(gè) 246913580 和 2 個(gè) 0又因?yàn)?899 9 2 2112 422所以 a （1111000 1899）9 2 1111000 9 2 1899 9 2 2007 個(gè)1和 3 個(gè) 0 2007 個(gè)1和3 個(gè) 0246913580246913580 24691358000 422223 個(gè) 246913580 和 2 個(gè) 0246913580246913580 24691358024691357578222 個(gè) 246913580 和1個(gè) 0【例 28】 將 1、 2、 3 、 49 、 50 任意分成 10 組，每組 5 個(gè)數(shù)，在每組中取數(shù)值

35、居中的那個(gè)數(shù)為“中位數(shù)”，求這 10 個(gè)中位數(shù)之和的最小值和最大值?！痉治觥?對(duì)于每一個(gè)“中位數(shù)”都存在 2個(gè)比它小的數(shù)、 2個(gè)比它大的數(shù)。從 1 開始順次數(shù)到 30 ，每 3 個(gè)數(shù)一組分成 10 組， 然后將 31 到 50 這 50 個(gè)數(shù)任意分給這 10 組，例如：（1 、 2 50 ）；、3 、31 、32 ），（4 、 5 、 6 、33 、34 ），（28 、29 、30 、49 、開始順次數(shù)到 50 ，每 3 個(gè)數(shù)一組共分成 10 組，這樣得到的10 個(gè)“中位數(shù)”之和最小，為 3 6 9 27 30 從 21(3 30) 102165 。然后將1 到 20 這 20 個(gè)數(shù)任意分給這

36、10 組，例如：（1 、 2 、 21 、 22 、23 ），（3、 4 、 24 、 25 、26 ），（5 、 6 、48 、 49 、1250 ）；這 樣得 到 的10個(gè) “ 中 位 數(shù) ” 之 和 最 大 ， 為21 24 27 45 48 (21 48) 102345 。【例 29】 將正奇數(shù)數(shù)列 1、 3 、 5 、 7 、 9 、11、13 、15 、 17 、19 ，按下列方式分組：（ 1、 3 ），（ 5 、 7 、 9 ），（ 11、13 ），（15 、17 、 19 ），；請(qǐng)問要使這個(gè)數(shù)列前 n 個(gè)？項(xiàng)之和最先超過 2009 ，則第 n項(xiàng)是多少？位于分組之后第幾組的第幾【

37、分析】 正奇數(shù)數(shù)列前 n項(xiàng)和為1 3 5 (2 n 1) n2，因?yàn)?4421936 ， 4522025 ，所以 n 45 ，第 45 項(xiàng)為 2n 1 89 ，因?yàn)?45 5 9 ；所以第 45 項(xiàng) 89 位于 9 2 18 組的第 3 個(gè)數(shù)。【例 30】 （ 2004 年第二屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽四年級(jí)）黑板上寫有從1開始的一些連續(xù)奇數(shù)1、3 、5 、7 、9 、，擦去其中的一個(gè)數(shù)，剩下的所有的數(shù)之和為 2008 。請(qǐng)問擦去的那個(gè)奇數(shù)是多少？【分析】 設(shè)這些連續(xù)的正奇數(shù)一共有 n個(gè)（ n Z）如果沒有擦去，則黑板上所有正奇數(shù)的和為1 3 5 (2

38、n 1) n2n2(2 n 1) 2002 n21 ；所以 n ( n 2) 2001 ， n2 2003因?yàn)?43 45 1935 、 44 46 2024 ；所以 n 45 ；因?yàn)?4421936 、 4522025 ；所以 n 45 ；所以 n 45 ，這些連續(xù)的正奇數(shù)一共有 45 個(gè)。擦去的那個(gè)奇數(shù)為 4522008 17 ?！纠?31】 用完全相同的小立方體在墻角上。在墻角上擺1 層，有需要1 個(gè)小正方體（如 圖一所示）；在墻角上擺 2 層，有需要 4 個(gè)小正方體（如圖二所示）；在墻角上擺 3層，有需要 10 個(gè)小正方體（如圖三所示）；在墻角上擺 4層，有需要 15 個(gè)小正方體（如圖

39、四所示）；依次類推；如果要擺2009 層，最下面一層需要多少個(gè)小正 方體？總共需要多少個(gè)小正方體？【分析】 從上往下，第1圖一層需要1圖二圖三 個(gè)小正方體；第 2圖四 層需要1 2個(gè)小正方體；第 3 層需要1 2 3 個(gè)小正方體；第 4層需要1 2 3 4 個(gè)小正方體；第 2009 層需要 1 2 3 4 2009 (12009) 200922019045 個(gè)小正方體；133第 n 需要 1 2 3 4 n n( n 1) 2個(gè)小正方體（ n Z）。如 果 要 擺 2009 層 ， 需 1 (1 2) (12 3) (1 2 3 4) (12 3 4 2009)要1 2 2 3 3 4 4 5

40、 2 2 2 22009 2010 12 2 3 3 4 4 5 2 22009 20102009 (2009 1) (2009 2)321353433165 個(gè)小正方體；如 果 要 擺n層，需要1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 4 n)1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 2 2n( n 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2n( n 1)n ( n 1)(n 2)n ( n 1)(n 2) 2 6個(gè)小正方體（ n Z）?！纠?32】 （ 1999 年第八屆日本小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽高小組決賽第 6 題）從整數(shù) 1開始 不 改 變 順 序 相 加 ， 中

41、 途 分 為 兩 組 ， 使 各 組 的 和 相 等 。 如 1 2 3 ； 1 2 3 4 14 15 16 17 20 。請(qǐng)問：除上述兩例外，能夠列出這 樣的最短的整數(shù)算式是從1 到幾？【分析】 如圖1 所示，把所求整數(shù)用階梯圖表示，在分開的部分（等號(hào)的地方）用虛線表示；如圖 2所示，沿虛線將分開的部分折返。BC1A 111圖 2圖1中，設(shè)折返超出部分的長(zhǎng)度 a圖2，剩余部分的長(zhǎng)度為 b ；所以 S 1 2 a Aa (a 1) 2， S 1 3 B(2 b 1) b 2 ；因?yàn)?S S S SA C B C；所以 S SA Ba ( a 1) ，即 b22。因?yàn)?a、 a 1 相鄰；所以

42、 ( a , a 1) 1 ，即 a14、 a 1 互質(zhì)。所以 a、 a 1 中，奇數(shù)為完全平方數(shù)，偶數(shù)除以 2為完全平方數(shù)。1 12 ， 2 2 12 ，滿足條件，此時(shí) a 1、 b 1 ， a b 2 ， a 2b 3 ， 為第 1 個(gè)例子： 1 2 3 ；9 32 ， 8 2 2 2 ，滿足條件，此時(shí) a 8 、 b 6 ， a b 14 ， a 2b 20 ，為第 2個(gè)例子： 1 2 3 4 14 15 16 17 209 32、 10 不是完全平方數(shù)，不滿足條件；25 52， 24、 26 都不是完全平方數(shù)，不滿足條件；49 72， 48 不是完全平方數(shù)，不滿足條件；49 7 2 ，

43、50 2 52 ，滿足條件，此時(shí)a 49 、 b 35 ， a b 84 ， a 2b 119 ， 為所求答案： 1 2 3 84 85 86 119 ；除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數(shù)算式是從1到119 。【練習(xí)1】一課一練計(jì)算：1 3 6 8 11 13 16 18 101 103 106 108 _ 。【分析】 1、 6 、11、 106 構(gòu)成一個(gè)公差為 5 的等差數(shù)列，3 、 8 、13 、 103 、108 構(gòu)成一個(gè)公差為 5 的等差數(shù)列，所以可把原式分成兩部分來求和，每一部分都是 22項(xiàng)，1 6 11 101 106 (1106) (106 1) 5 121177 ，3 8

44、13 103 108 (3 108) (108 3) 5 121221 ；1 3 6 8 11 13 16 18 101 103 106 108(16 11 101 106) (3 8 13 103 108) 1177 1221 2398【練習(xí)2】 計(jì)(2 5 8 11 14 。算2006 2009) (1 3 5 7 ：127 129 131) _【分析】 (2 5 8 11 14 2006 2009) (1 3 5 7 127 129 131)(2 2009) (2009 2) 3 (1131)(1311) 2 12 2673685 4356 669329【練習(xí)3】 求 1到1000 這

45、1000 個(gè)數(shù)中不能被 7 整除的整數(shù)之和。個(gè)，【分析】由于1000 7 142 6 ，所以1 994 ，共 142到1000 中 7 的倍數(shù)有：7 ，14， 21， 28 ，這是一個(gè)首項(xiàng)為 7 ，公差為 7 的等差數(shù)列，我們可用等差數(shù)列求和公式求出這一列 數(shù)的和，再用 1到 1000 這1000 個(gè)數(shù)的和減去上述數(shù)列的和即可。由等差數(shù)列求和公式可知：7 14 21 994 (7 994) 142 2 71071 。又 1 2 3 4 5 1000 (1000 1) 1000 2 500500151【練習(xí)4】到 1000 中不能被 7 整除的整數(shù)之和為： 500500 71071 429429

46、 。計(jì)算： 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23 _ ?！痉治觥孔⒁獾?25 ， 26 ， 27 ， 36 和12 ， 13 ，14 ， 23 都是公差為1 的等差數(shù) 列，所以可以分成兩組求和，即把加法中的等差數(shù)列結(jié)合，減法中的等差數(shù)列求和， （方法一） 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23(25 26 27 28 29 30 35 36) (12 13 14 15 16 22 23)(25 36) 12 (12 23) 122 2156（方法二） 25 26 12 13 27 28 14 15 35 36 22 23 (25

47、 26 12 13) (27 28 14 15) (35 36 22 23)26 26 26 26 26 26 26 6 156【練習(xí)5】3 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，后面 2 個(gè)數(shù)的積與前面 2 個(gè)數(shù)的積的差是 114 ，那么這 3 個(gè)數(shù)中最小的是多少？【分析】 后 面 2個(gè)數(shù)的積與前面 2個(gè)數(shù)的積的差等于最大的數(shù)與最小的數(shù)的差與中間數(shù)的乘積；最大的數(shù)與最小的數(shù)的差為 2；所以中間數(shù)為 114 2 57 ；所以這 3 個(gè)數(shù)中最小的數(shù)為 57 1 56 。 【練習(xí)6】 在括號(hào)中填入數(shù)，使數(shù)列成為等比數(shù)列。5 、10 、（ ）、 40 、 80 、（ ）；5 、（ ）、 5 、 5 、 5 、（ ）。【分

48、析】是公比為 2的等比數(shù)列， 5 、10 、（ 20 ）、 40 、 80 、（160 ）；是常數(shù)列（既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列），5 、（ 5 ）、 5 、 5 、 5 、（ 5 ）?！揪毩?xí)7】10 10 9 9 8 8 7 7 2 2 11 _ 。1【分析】 10 10 9 9 8 8 7 7 2 2 11 10 1121 3856【練習(xí)8】 （超常班，超常 3 班，超常 2 班，超常 1 班）計(jì)算：2000 1999 1999 1998 1998 1997 1997 1996 4 3 3 2 2 1 _ 。【分析】 2000 1999 1999 1998 1998 1997 1997 19

49、96 4 3 3 2 2 1 1999 (2000 1998) 1997 (1998 1996) 3 (4 2) 2 12 (1 3 5 7 9 1999) 2 (11999) 1000 2 2000000補(bǔ)充16【補(bǔ)充1】計(jì)算： (2009 20092009 200920092009 200920092009)(2010 20102010 201020102010 201020102009 個(gè) 20092010) 2010【分析】原式 (1 10001 100010001 100010002009 個(gè) 201010001) 2009(1 10001 100010001 10001000200

50、8 個(gè)10002008 個(gè)1000 10001) 2010 2010【補(bǔ)充2】 某班參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的19 名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼恰是119 號(hào)，這些運(yùn)動(dòng)員隨意 的站成一個(gè)圓圈，則一定有順次相鄰的某 3 名運(yùn)動(dòng)員，他們的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼數(shù)之和不 小于 32 ，請(qǐng)你說明理由?！痉治觥考僭O(shè) 19 個(gè)英文字母分別對(duì)應(yīng)119 號(hào)。由于要證是相鄰的某 3 名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼數(shù)之和 不小于 32 ；所以可以把這些號(hào)碼每 3 個(gè)分成一組，然后求證。使用反證法。在圓周上按逆時(shí)針順序以1號(hào)為起點(diǎn)記運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼為 a、 b 、 c、 d 、 e、 f 、 g、h 、 i、 j、 k 、l 、 m、 n、 o、 p、 q、 r、 s，

51、分別對(duì)應(yīng)號(hào)碼119 ；令 a 1，A b c d ，A e f g ，A h i j ，A k l m ，A n o p ， 1 2 3 4 5A q r s ，6則 A A A b c s 2 3 4 19 189 。1 2 6假設(shè)他們運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼之和小于 32 ，即 A 、A 、A 、 A 中每一個(gè)都不大于 31 ，1 2 3 6則 A A A 6 31 186 ，與 矛盾。所以 A 、A 、 A 、 A 中至少有一個(gè)大 1 2 6 1 2 3 6于 31 。【補(bǔ)充3】 某班學(xué)生的學(xué)號(hào)順次編為1、2、3 、，現(xiàn)在將所有學(xué)生學(xué)號(hào)之和減去 3 ，得到的數(shù)正好是 100 的整數(shù)倍，已知學(xué)生學(xué)號(hào)之和

52、在 714 和1000 之間。請(qǐng)問這個(gè) 班有多少名學(xué)生？【分析】 設(shè)這個(gè)班有 n名學(xué)生（ n Z ），學(xué) 號(hào) 之 和 為 減 去 3 為1 2 3 4 5 n 3 3 4 5 n ( n 3)(n 2)2100 |( n 3)(n 2) ( n 3)(n 2)， 714 3 2 21000 3 ；所 以 200 | n( 3)(n 2)， 1422 ( n 3)(n 2) 1994 ； 所 以 ( n 3)(n 2) 1600或 1800因?yàn)?37 42 1554 、 38 43 1634 ；所以不存在 n Z使 ( n 3)(n 2) 1600 ；因?yàn)?40 45 1800 ；所以 n 42

53、 ，即這個(gè)班有 42名學(xué)生?！狙a(bǔ)充4】 （ 2009 年 4月11日第十四屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題 A卷（小學(xué)組）第 8 題）已知 1 2 3 n （ n 2 ）的和的個(gè)位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ，則n的最小值是 _ 。17【分析】 （方法一）因?yàn)?1 2 3 n n( n 1) 2的個(gè)位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ；所以 n(n 1) 的個(gè)位數(shù)為 6 ； n的個(gè)位為 2或 7 ；經(jīng)試算7 (7 1) 12 (12 1) 17 (17 1) 22 (22 1)28 、 78 、 153 、 253 、 2 2 2 227 (27 1) 32 (32 1) 37 (37 1)378 、

54、 528 、 703 ； 2 2 2可得 n 37 。min（方法二）因?yàn)? 2 3 n 的個(gè)位數(shù)為 3 ，十位數(shù)為 0 ； 所以設(shè)1 2 3 n 100 x 3 （ x Z ）；所以 3 4 n (3 n)(n 2)2100 x ， (n 3)(n 2) 200 x因?yàn)?n 3 n 2(mod5) ， 200 x 0(mod5) ； 所以 n 3 n 2 0(mod5) ，即 5| n 2 、 5| n 3 ；設(shè) n 2 5m ，則 n 3 5(m 1) （ m Z 5m 5( m 1) 200 x ， m( m 1) 8 x ；）；m、m 1 相鄰且為一奇一偶，令 x 7 ，m( m 1)

55、 7 8 ，m 7 ，n 5 7 2 37 ；所以 n的最小值為 37 。【補(bǔ)充5】 在 1、 2、 3 、 2011 這 2011 個(gè)自然數(shù)中選出若干個(gè)數(shù)，使選出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被 3 整除，請(qǐng)問選出來的數(shù)的和最大是多少？【分析】 將 1 、 2 、 3 、 2011 這 2011 個(gè)自然數(shù)按被 3 除所得的余數(shù)分成 3 類： 能被 3整除的數(shù)有 3 、 6 、 9 、 2007 、 2010 ，共 (2010 3) 3 1 670 個(gè)；被 3 除所得的余數(shù)為1的數(shù)有1、4、7 、2008 、2011 ，共 2(01 1) 31671個(gè)；被 3 除所得的余數(shù)為 2 的數(shù)有 2 、5 、8 、2006 、2009 ，共209(2) 3 1670個(gè)。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)能被 3 整除（被 3 除所得的余數(shù)為 0 ）的數(shù)的和能被 3 整除； 所以選出的數(shù)中最多有 1 個(gè)能被 3 整除（被 3 除所得的余數(shù)為 0 ）的數(shù)。因?yàn)槿我庖粋€(gè)被 3 除所得的余數(shù)為 1 和能被 3 整除；的數(shù)與任意一個(gè)被 3 除所得的余數(shù)為 2 的數(shù)的所以選出的數(shù)中不能同時(shí)存在被