2021-2022學(xué)年安徽省重點中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知命題p:直線ab，且b平面，則a；命題q:直線l平面，任意直線m，則lm.下列命題為真命題的是（ ）ApqBp（非q）C（非p）qDp（非q）2已知向量與向量平行，且，則（ ）ABCD3已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（ ）A2B

2、4C3D34某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為（ ）A8年B9年C10年D11年5設(shè)，隨機變量的分布列是01則當在內(nèi)增大時，（ ）A減小，減小B減小，增大C增大，減小D增大，增大6如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（ ）A3BC4D7已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點，

3、若函數(shù)的圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗螅玫降暮瘮?shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是( )ABCD8如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD9已知函數(shù)，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）ABC函數(shù)在上單調(diào)遞減D函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱10過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，為的準線上的一點，則的面積為（ ）A1B2C4D811水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中 ，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（ ）ABCD12設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則二、

4、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_14經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點（點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為點.設(shè)直線與橢圓的另一個交點為.則的值是_15已知實數(shù)滿足則點構(gòu)成的區(qū)域的面積為_，的最大值為_16兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同如圖所示，一列圓 (an0，rn0，n=1，2)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=_，rn=_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）

5、已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.18（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當時，.（3）證明：當時，.19（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上 8：30 之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作每個工人獨立維修A元件需要時間相同維修處記錄了某月從1日到20

6、日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A個數(shù) 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A個數(shù) 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)（）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個

7、，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）20（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.21（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標為，求的面積.22（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若射線與和分別交于點，求參考答

8、案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.2

9、B【解析】設(shè)，根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設(shè)，且，由得，即，由，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.3D【解析】設(shè)，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵 .4D【解析】根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題

10、考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5C【解析】，判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可【詳解】解：根據(jù)題意在內(nèi)遞增，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調(diào)遞減，故選：C【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題6B【解析】先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度，再根據(jù)正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.7A【解析】根據(jù)題意，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖

11、像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，若函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?則，所以當時，在有且僅有5個零點， ，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.8B【解析】根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，設(shè)，則，所以，所以.又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：B【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三

12、角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值9B【解析】根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定 ，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以 ，即，所以 ，若，則，又因為，即，解得， 而，故A錯誤.由，不妨令 ，得由，得 或當時，不合題意.當時，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.10C【解析】設(shè)拋物線的解析式，得焦點為，對稱

13、軸為軸，準線為，這樣可設(shè)點坐標為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準線為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，是與的交點，又軸，可設(shè)點坐標為，代入，解得，又點在準線上，設(shè)過點的的垂線與交于點，.故應(yīng)選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時只要設(shè)出拋物線的標準方程，就能得出點坐標，從而求得參數(shù)的值本題難度一般11B【解析】根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可

14、得，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.12C【解析】根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于，當為內(nèi)與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設(shè)，則當為內(nèi)與平行的直線時，但，錯誤；對于，由，知：，又，正確；對于，設(shè)，則當為內(nèi)與平行的直線時，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由，則，所以點， 因為

15、，可得，點坐標化簡為，代入雙曲線的方程求解.【詳解】設(shè)，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以 所以解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.14【解析】作出圖形，設(shè)點，則、，設(shè)點，利用點差法得出，利用斜率公式得出，進而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設(shè)點，則、，設(shè)點，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，故，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.158 11 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求

16、得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)?，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.16 【解析】第一空：將圓與聯(lián)立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進而可得.【詳解】當r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當時，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入得，整理得，則.故答案為：；.【點睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，

17、由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）是，定點坐標為或【解析】（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標分別為，聯(lián)立方程得到，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標分別為，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，所以，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為

18、或.【點睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域為，當，時，則在上單調(diào)遞增；當，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當，時，則在上單調(diào)遞減；當，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因為，所以，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當時，.由（1）知，

19、所以，即.當時，則，即，又，所以，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.19（）分布列見解析，；()；()至少增加2人.【解析】（）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可（）當P（aXb）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（aXb）的最大值即可（）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人【詳解】()X的取值為：9，12，15，18，24；,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；()當P(aXb)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,，所以P(aXb)的最大值為.()至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.20（1）（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，可得（1），（1），結(jié)合已知切