數(shù)字信號(hào)處理-習(xí)題答案素材charpter

1、2011/1月 違者必究 北京大學(xué)出版社 第8章時(shí)域離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)與數(shù)字信號(hào)處理量化效應(yīng)引言離散事件系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理量化效應(yīng)快速傅里葉變換FFT算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng)【本章教學(xué)目的與要求】掌握時(shí)域離散系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)編程實(shí)現(xiàn)的方法；熟練掌握數(shù)字信號(hào)處理過程中量化誤差的分析與計(jì)算；學(xué)會(huì)分析FFT變換算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。【本章知識(shí)結(jié)構(gòu)】引言時(shí)域離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法一般分為軟件實(shí)現(xiàn)方法和硬件實(shí)現(xiàn)方法。軟件實(shí)現(xiàn)就是在通用計(jì)算機(jī)上編寫程序?qū)崿F(xiàn)各種復(fù)雜的處理算法。程序可以由處理者編寫，也可以應(yīng)用信號(hào)處理程序庫(kù)中的現(xiàn)成程序來進(jìn)行處理。硬件實(shí)現(xiàn)方法按照設(shè)計(jì)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，利用加法器、乘法器和延時(shí)器構(gòu)成的專用數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，

2、或采用專用集成電路實(shí)現(xiàn)某種專用的信號(hào)處理功能。數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)對(duì)信號(hào)處理的方法是數(shù)值計(jì)算方法，信號(hào)均采用二進(jìn)制編碼，而存放二進(jìn)制編碼的寄存器均為有限位，因此所有的數(shù)字信號(hào)的數(shù)值、系統(tǒng)參數(shù)、運(yùn)算中的中間變量以及運(yùn)算結(jié)果均需用有限位的二進(jìn)制碼表示，這樣就帶來了許多誤差，使系統(tǒng)處理結(jié)果偏離原來的設(shè)計(jì)效果,甚至使理論上的穩(wěn)定系統(tǒng)變成不穩(wěn)定系統(tǒng)。量化效應(yīng)對(duì)濾波器幅頻特性的影響 IIR 6階橢圓濾波器的幅頻特性曲線 直接型結(jié)構(gòu)濾波器系數(shù)量化處理前后幅頻特性對(duì)比曲線 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)時(shí)系數(shù)量化前后幅頻特性曲線（兩者基本上一樣） 根據(jù)設(shè)計(jì)好的系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，來設(shè)計(jì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的程序，這些程序可以在通用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也可以

3、在信號(hào)處理專用芯片上實(shí)現(xiàn)。離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程、輸入信號(hào)及初始條件已知的情況下，可以用遞推法求得系統(tǒng)的輸出。在已知系統(tǒng)單位采樣響應(yīng)和輸入信號(hào)的情況下，可以由線性卷積和求得。但是這些求法都沒有考慮系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的具體結(jié)構(gòu)，并且延時(shí)大，誤差累計(jì)多，同時(shí)也要求系統(tǒng)存儲(chǔ)量大。8.1離散時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)排序?qū)嵗鹗紨?shù)據(jù)，按照編號(hào)次序得到運(yùn)算次序?yàn)?（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）數(shù)據(jù)更新：（8）循環(huán)運(yùn)行以上（1）（7）步。軟件實(shí)現(xiàn)流程圖量化及量化誤差 A/D變換的量化效應(yīng) 數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng) 8.3數(shù)字信號(hào)處理中的量化效應(yīng)8.3.1 量化及量化誤差 序列值用有限長(zhǎng)度的二進(jìn)

4、制數(shù)表示稱為量化編碼。 例如序列值，用二進(jìn)制數(shù)表示為，如果限制用六位二進(jìn)制數(shù)表示，則為,而，引起的誤差為,該誤差稱為量化誤差。 假設(shè)用b+1位二進(jìn)制數(shù)表示，1位表示符號(hào)，尾數(shù)用b位表示，能表示的最小單位稱為量化階，用表示， 。 如果二進(jìn)制編碼的尾數(shù)長(zhǎng)于b，則必須進(jìn)行尾數(shù)處理，處理成b位，稱為量化。 尾數(shù)處理有兩種辦法:舍入和截尾。截尾法處理時(shí)將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進(jìn)制編碼全部略去。舍入法是將第b+1位按逢1進(jìn)位，逢0不進(jìn)位，然后將b+1位以后略去，顯然這兩種處理方法的誤差會(huì)有不同。量化誤差的范圍:對(duì)于定點(diǎn)舍入法，原碼、補(bǔ)碼和反碼的量化誤差的范圍均為 。對(duì)于截尾法，不同的編碼其量化誤差的

5、范圍不同。定點(diǎn)補(bǔ)碼的量化誤差范圍為 。定點(diǎn)負(fù)數(shù)原碼的量化誤差范圍為 ，定點(diǎn)正數(shù)原碼的量化誤差的范圍為 。舍入和截尾誤差的特性 定點(diǎn)制和浮點(diǎn)制舍入誤差和截尾誤差的概率密度 量化誤差的統(tǒng)計(jì)特性定點(diǎn)舍入量化處理,誤差序列e(n)的概率統(tǒng)計(jì)密度函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)平均值和方差量化誤差的統(tǒng)計(jì)特性定點(diǎn)補(bǔ)碼截尾量化處理，誤差序列e(n)的概率統(tǒng)計(jì)密度函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)平均值和方差8.3.2 A/D轉(zhuǎn)換器的量化誤差 A/D轉(zhuǎn)換器將輸入的模擬信號(hào)xa(t)轉(zhuǎn)換為b位二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)的器件。b的數(shù)值可以是8，12或高至20。A/D變換器前一般都加一個(gè)前置模擬低通濾波器濾除高于折疊頻率(采樣頻率之半)的頻率模擬輸入信號(hào)必須乘一個(gè)比

6、例因子A/D變換器總是定點(diǎn)制的，必須使信號(hào)不超過A/D變換的動(dòng)態(tài)范圍量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析 A/D轉(zhuǎn)換器的統(tǒng)計(jì)模型 A/D轉(zhuǎn)換過程中量化誤差適合應(yīng)用統(tǒng)計(jì)特性分析法，量化編碼后 的信號(hào)用 表示，沒有量化的信號(hào)用 來表示,則有：量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析e(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列e(n)與信號(hào)也不相關(guān)e(n)本身的任意兩個(gè)值之間不相關(guān)，具有白噪聲性質(zhì)e(n)在其誤差范圍內(nèi)均勻等概分布。 假設(shè)e(n)具有下列特性： 在采樣模擬信號(hào)的數(shù)字處理中，把量化噪聲看作是相加性噪聲序列，量化過程看成是無(wú)限精度的信號(hào)與量化噪聲的疊加，因此信噪比是一個(gè)衡量量化效應(yīng)的重要指標(biāo)。對(duì)于舍入處理，設(shè)信號(hào)的功率為 ,則信號(hào)功率與噪聲功率

7、 之比為表示為分貝值為: 量化信噪比與所需字長(zhǎng)的關(guān)系 信號(hào)的平均功率 與量化噪聲的平均功率 之比 信噪比用對(duì)數(shù)表示時(shí)，單位dB 信號(hào)功率 越大，信噪比越高；隨著字長(zhǎng)b的增加，信噪比也增大，字長(zhǎng)b每增加一位，則信噪比增加約6dB。字長(zhǎng)越長(zhǎng)，A/D變換的信噪比越高 為了使信號(hào)不超過定點(diǎn)制運(yùn)算所允許的動(dòng)態(tài)范圍，用一個(gè)小于1的正數(shù)C（0C1)去乘x(n) 信號(hào)的平均功率 與量化噪聲的平均功率 之比 選擇C值：使 例題【例題8-1】語(yǔ)音和音樂信號(hào)可以看作是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，其特性可以用概率分布來表示這些信號(hào)，它們的幅值為零附近，概率分布曲線出現(xiàn)峰值，且隨幅度增加分布曲線值急劇下降，采樣幅度超過信號(hào)均方值3倍

8、或4倍的概率極小。如果人耳對(duì)聲音信號(hào)的感覺范圍大約為100dB，試確定A/D變換的字長(zhǎng)。 人耳對(duì)聲音信號(hào)的感覺范圍為100dB，所以有A/D轉(zhuǎn)換的至少應(yīng)滿足的字長(zhǎng)為b=16。 解：因?yàn)椴蓸臃瘸^信號(hào)均方根值3倍或4倍的概率極小，取壓縮系數(shù) ，則不出現(xiàn)限幅失真的概率是極高的，此時(shí)信噪比為例題【例8-2】設(shè)一A/D轉(zhuǎn)換器把最大輸入為5V的信號(hào)量化處理為4位二進(jìn)制（不包含符號(hào)位），用圖形描述其輸入輸出關(guān)系。例8-2量化處理結(jié)果圖結(jié)論：若需得到信噪比大于70dB，至少需要滿足b12bit字長(zhǎng)過長(zhǎng)也無(wú)必要：輸入信號(hào)xa(t)本身也有一定的信噪比，字長(zhǎng)長(zhǎng)到A/D變換器的量化噪聲比xa(t)的噪聲電平更低

9、則沒有意義為提高信噪比，可以增大輸入信號(hào)，但這受到A/D變換器動(dòng)態(tài)范圍的限制，還可以增加字長(zhǎng)b，但這又受到輸入信號(hào)xa(t)信噪比的限制 8.3.4數(shù)字濾波器運(yùn)算中的量化效應(yīng)量化噪聲通過線性系統(tǒng)設(shè)e(n)是定點(diǎn)補(bǔ)碼舍入誤差，e(n)的均值為me 、方差為 則系統(tǒng)量化噪聲的輸出 的均值mf和方差 計(jì)算如下： 【例8-5】 一IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 系統(tǒng)采用定點(diǎn)舍入法，試分別計(jì)算直接型結(jié)構(gòu)、級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的輸出噪聲功率。解：（1）直接型結(jié)構(gòu)?？紤]系統(tǒng)中的每一條乘法支路引入一個(gè)噪聲源，直接型結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)模型如圖8.12所示，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中有兩個(gè)噪聲源通過整個(gè)系統(tǒng)，兩個(gè)直接輸出。又設(shè)圍線c為逆時(shí)

10、針的閉合單位圓，圍線內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)z=0.9,z=0.8所以有（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。將濾波器系統(tǒng)函數(shù)分解為級(jí)聯(lián)的形式其中：統(tǒng)計(jì)模型圖（3）并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)函數(shù)分解為并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 1取：2統(tǒng)計(jì)模型圖：3計(jì)算得到對(duì)比三種形式：直接型結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都經(jīng)過系統(tǒng)全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，誤差累積起來了，所以誤差大；而級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中的舍入誤差只通過其后面的反饋環(huán)節(jié)，故舍入誤差比直接型的?。徊⒙?lián)型結(jié)構(gòu)的每個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過本網(wǎng)絡(luò)，與其他網(wǎng)絡(luò)沒有關(guān)系，誤差累積作用更小，所以在一般情況下，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的輸出誤差最小。理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 其中 是系數(shù) 的量化結(jié)果：對(duì)系數(shù) 量化后，其實(shí)際傳遞函數(shù)為：8.3.3數(shù)

11、字濾波器系數(shù)量化效應(yīng)系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)的影響系數(shù)量化后的極點(diǎn)為：原系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母多項(xiàng)式為令A(yù)(z)0，得到H(z)的極點(diǎn)：極點(diǎn)位置的偏差量，由各個(gè)系數(shù)偏差 引起的，因此結(jié)論： 就是極點(diǎn) 對(duì)系數(shù) 變化的靈敏度 越大， 對(duì) 的影響也越大 越小， 對(duì) 的影響就越小下面根據(jù)A(z)來求這個(gè)極點(diǎn)位置靈敏度 的表達(dá)式： 而：得極點(diǎn)位置靈敏度為：分母中的每一個(gè)因子 代表著某一極點(diǎn) 指向當(dāng)前極點(diǎn) 的矢量，而整個(gè)分母正是所有極點(diǎn)指向當(dāng)前極點(diǎn) 的矢量積 。高階直接型結(jié)構(gòu)濾波器對(duì)系數(shù)量化誤差的敏感性高于低階直接型結(jié)構(gòu)濾波器;并聯(lián)型結(jié)構(gòu)及級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)每對(duì)極點(diǎn)只受與之有關(guān)的兩個(gè)系數(shù)的影響，且每個(gè)子系統(tǒng)的極點(diǎn)密集度

12、要稀疏得多，因而極點(diǎn)位置受系數(shù)量化的影響比直接型結(jié)構(gòu)要小得多 極點(diǎn)位置靈敏度與極點(diǎn)間距離成反比 【例8-3】 設(shè)一低通濾波器的傳遞函數(shù)如下，利用a2變化造成的極點(diǎn)位置靈敏度，為保持極點(diǎn)在其正常值的0.5%內(nèi)變化，試確定所需要的最小字長(zhǎng)。解 經(jīng)計(jì)算求得 的極點(diǎn)分別是則：由式（8-17）得到a2變化的影響所以有采用定點(diǎn)二進(jìn)制表示小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)為b位，則分辨率為 ，有可得b=9時(shí)才能滿足性能要求。 8.4 FFT算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng) FFT是計(jì)算DFT的快速算法，在數(shù)字濾波器和頻譜分析中廣泛采用DFT，所以弄清楚FFT中寄存器的長(zhǎng)度影響是非常重要的。和數(shù)字濾波器一樣，精確計(jì)算這種影響是困難的，一般為了選

13、擇寄存器長(zhǎng)度，采用簡(jiǎn)化的分析方法就夠了，借助于可加性噪聲分析。以時(shí)間抽取DIT為例進(jìn)行有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析，并且針對(duì)的是舍入情況，其他FFT算法及截尾運(yùn)算結(jié)果是相似的。DFT變換中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析 DFT的定義式為對(duì)于指定的k值可以把上式看成是卷積運(yùn)算，與下式相當(dāng) 在定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)時(shí)，每個(gè)乘積均需作尾數(shù)處理。假設(shè)乘積 舍入引起的量化誤差為 ，DFT的等效統(tǒng)計(jì)模型如下圖 由于誤差源直接加在輸出端，所以總的輸出誤差為一般x(n)和 都是復(fù)數(shù)，因此計(jì)算一次 復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算需要四次實(shí)數(shù)乘法來完成，四次實(shí)數(shù)乘法引入四個(gè)實(shí)的舍入誤差 及 。如果不考慮系數(shù)的量化誤差，則經(jīng)舍入處理后可表示成 8.4.2 定點(diǎn)FFT計(jì)算

14、中有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析 定點(diǎn)制運(yùn)算中只有乘法引入量化誤差，加法運(yùn)算不引入誤差蝶形運(yùn)算中只在乘系數(shù) 時(shí)引入一個(gè)誤差源 是復(fù)數(shù)相乘，所產(chǎn)生誤差 就是一個(gè)復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)相乘要由四個(gè)實(shí)數(shù)相乘來構(gòu)成、每個(gè)實(shí)數(shù)相乘都將引入一個(gè)相應(yīng)的誤差。一個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算引入的誤差的方差為誤差源 通過后級(jí)蝶形運(yùn)算，其方差不會(huì)改變，通過乘以系數(shù) 后方差也沒有影響， 每一個(gè)輸出端都與N1個(gè)蝶形相連，即有N1個(gè)量化噪聲源對(duì)每個(gè)輸出端有貢獻(xiàn) 在終端，在離散傅里葉變換上疊加的輸出噪聲的均方值為當(dāng)N很大時(shí)，可近似地認(rèn)為8.4.3 系數(shù)量化對(duì)FFT的影響當(dāng)系統(tǒng)確定后，系數(shù)值就是已知的，因而量化后系數(shù)值也是已知的，所以對(duì)于一個(gè)具體的系統(tǒng)，系數(shù)量

15、化誤差不是隨機(jī)性的。利用統(tǒng)計(jì)分析方法，目的是為了在不知道系統(tǒng)的具體數(shù)值時(shí)，在一定字長(zhǎng)下，對(duì)系數(shù)量化造成的影響做一統(tǒng)計(jì)性估計(jì)。采用的辦法是在系數(shù)上引入一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)，也就是系數(shù)用它的真值加上一個(gè)白噪聲序列來代替，從而估計(jì)這個(gè)噪聲引起的輸出噪聲/信號(hào)比值。這與量化引起的的系數(shù)誤差有細(xì)微的不同，但二者大體上相同。 理想DFT為 當(dāng)系數(shù)量化后，上式可以表示成式中F(k)是由系數(shù)量化引起的DFT計(jì)算誤差 系數(shù)量化后，每一個(gè)支路的 變成了 ，因而由于故略去 的高階項(xiàng)，并假定各 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、白色等概分布的隨機(jī)變量，則有由于x(n)為已知，因而因?yàn)閯t可以得到因?yàn)?所以有可得輸出誤差F(k)的方差為了方便，令根據(jù)

16、DFT帕塞瓦定理可得輸出均方誤差與輸出均方信號(hào)的比值為可以得到輸出噪聲/信號(hào)比值隨信號(hào)點(diǎn)數(shù)N增大而增加的速度極為緩慢，只與 成正比，N加倍時(shí)L只增加1，輸出噪聲/信號(hào)比值增加極小。該式通常要比實(shí)際誤差稍大，但仍可做粗略的估計(jì)用?？傻幂敵鼍秸`差與輸出均方信號(hào)的比值為可以得到輸出噪聲/信號(hào)比值隨信號(hào)點(diǎn)數(shù)N增大而增加的速度極為緩慢，只與 成正比，N加倍時(shí)L只增加1，輸出噪聲/信號(hào)比值增加極小。時(shí)域離散系統(tǒng)的軟件實(shí)現(xiàn)法是按照所設(shè)計(jì)的軟件在通用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，硬件實(shí)現(xiàn)是按照所設(shè)計(jì)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，利用加法器、乘法器和延時(shí)器等組成專用的設(shè)備，完成特定的信號(hào)處理算法。一般理論設(shè)計(jì)完成后，只得到系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或差分方程，因此還必須再具體設(shè)計(jì)一種算法，進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。本章主要介紹了利用離散時(shí)間系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來編程實(shí)現(xiàn)的方法。用計(jì)算機(jī)處理信號(hào)就不可避免的遇到量化問題，也就是信號(hào)的量化問題（