2015年4月屆高三第三次全國大聯(lián)考版理數卷解析版

1、一、選擇題：本大題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.x2y21.已知集合 A (x, y) | 1，集合 B (x, y) | y 2 ，則 A B 的子集的個數為（x）23A1B. 2C. 3D. 4【命題意圖】本題考查集合的交集及集合子集個數等基礎知識，意在考查學生的基本運算求解能力.【】D.2.設復數 z a i ，其中a 是實數，i 是虛數，若 z 的實部為 1，則復數 z 的虛部為()1 iB. 2iD. 2A. 2iC. 2【命題意圖】本題考查復數的除法運算基礎知識，意在考查學生的基本運算能力.【】C.(a i)(1

2、 i)a 1a 1a 1a 1【】 z 1 a 3 ，故復數 z 的虛部為 2i ,由已知得(1 i)(1 i)22223.“ a 2 ”是“直線2x 3y 0 與直線3x ay 1 0 垂直”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【命題意圖】本題考查充分條件、必要條件、直線與直線的位置關系等基礎知識，意在考查學生的基本運算能力.【】C】直線2x 3y 0 與直線3x ay 1 0 垂直，則23 (3) a 0 a 2 ，故“ a 2 ”是“直【線 2x 3y 0 與直線3x ay 1 0 垂直”的充要條件.4.若a b 1， 0 n m 1，則

3、下列各式中一定正確的是 ()A. na mbB. na mbC. an bmD. bman【命題意圖】本小題考查指數、冪函數圖象與性質，意在考查基本運算能力及推理能力.1【】A.【】因為a b 1， 0 n m 1，則an am ， bm am ， na ma ， mb ma ，故na mb設n, m 是不同的直線， , 是不同的平面，下列命題正確的是5.()A.若n , n , 則 / B.若 n , n m, 則m / C.若 , m / ，則m D.若 , m ，則m /【命題意圖】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查學生空間想象能力和邏輯推理能力.【】A.6.將 5 個不同的球裝入

4、3 個不同的盒子中（每個盒子都不空），則不同的裝法有（）A . 25 種B. 60 種C. 125種D. 150種合的基礎知識，考查學生邏輯推理能力和基本運算能力.【命題意圖】本題考查排列與組【】D.C 3C1【】第一類：各組小球的個數為 3,1,1.不同的分組方法有 5 2 10 種；第二類：各組小球的個數為A22C 2C 22,2,1.不同的分組方法有 5 3 15 種，再將小球分別放入各個盒子中去有(10 15) A 150 種.33A227. 直線 (m 3)x (2m 1) y m 2 0（ m 為任意實數）被圓 x2 y 2 16 截得的弦長的最小值為 ()0B.2C. 2 2D.

5、 2 14A.【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系、弦長等基礎知識，考查學生邏輯推理能力和基本運算能力.【】D.】將直線整理為m(x 2 y 1) 3x y 2 0 ，直線恒過點(1,1) ，直線被圓截得的弦最短應為【垂直于過(1,1) 及圓心(0,0) 的弦，故 d 42 ( 2)2 14 ，從而d 2 142 x y 2 08. 已知實數 x, y 滿足約束條件2 y 1 0，則 z 3x 4 y 12的最大值為（）2x y 2 02654134A. 4 5B. 205C.D.【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃基礎知識，意在考查學生數形結合的運用能力和基本運算能力.【】B.】 作出可行域， z

6、 3x 4 y 125【可看做是陰影區(qū)域中的點到直線53x 4 y 12 0 的距離的 5 倍，故 z 3x 4 y 12的最大值為 A 到直線3x 4 y 12 0 距離的 520倍，所以最大值為 5 2052 ，若對任意的實數 x ，恒有 f (x) 0 成立，則實數 的取值范圍為（）9.已知函數 f ( 1A. (0,)B. 1,)C. 2e,)D.,)2e【命題意圖】本題考查函數恒成立問題，考查學生邏輯推理能力和基本運算能力【】D.1】 f (x) 1 2x21 ，令 f (x ) 0 得 x 1 2 ，當0 x x 時， f (x) 0 ；當x x 2 【時，000 x1f (x)

7、0 ，故 f (x) 的最大值為 f (x ) ln1 211112e(ln1) 0 2 022210.已知 ln a ln 3 ln c,bd 3，則(a b)2 (d c)2 的最小值為()3 10185165125A.B.C.D.5【命題意圖】本題主要考查距離公式、基本不等式等知識，考查學生轉化與化歸、邏輯推理能力.【】B.【】設 P(a, a ) ，Q(b, 3) ，則 (a b )2 ( d c)，P(a, a ) 的軌跡為直線 y x ，Q(b, 3)2 PQ3b33b33x 4 y 12336的軌跡為雙曲線 y ，雙曲線上一點(x0 ,) 到直線 x 3 y 0 的距離為 d x

8、x，10100(a b)2 (d c)2 的最小值為185第卷(共 100 分)二、填空題(每題 5 分，滿分 25 分，將填在答題紙上)11.若cos x sin x 1 ，則cos3 x sin 3 x .3【命題意圖】本題考查三角變換及其運算，考查學生分析問題的能力和運算能力.1327【】1149【】由cos x sin x 得1 2sin x cos x ，所以sin x cos x 3sin9cos x cos2 x) 1 (1 4) 13cos3392712.在(1 3x)n (n N * ) 的展開式中，各項系數和為.【命題意圖】本題主要考查二項式定理的性質等基礎知識，考查學生的

9、計算能力.【】(2)n】令 x 1得各項系數和為(2)n .【13.三棱錐 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AC BC, AC BC 1, PA 3 ，則該三棱錐外接球的體積為.知識，考查學生的空間想象能力和計算能力.【命題意圖】本題主要考查棱錐外接球的體積等基礎5 5】【6】 PC 的中點O ，連接OA, OB ，由于 PA 平面 ABC ， AC 平面 ABC ，所以 PA AC ，【4x 3 30 x01在 RtAPC 中， OA PC ，由于 PA BC ， AB BC ， PA AB A ， BC 平面 PAB，2OB 1 PC ，因此點O 是三棱錐 P ABC 的外接球的

10、球心，在 RtPCA ， AC 2 ， PA 3 ，2 PC 5 ，外接球的半徑 R 1 PC 5 ，故體積為 4 R3 4 55 5 5 223386x2y214.雙曲線（1 a 0, b 0) 的兩個焦點為 F , F ，若 P 是雙曲線上一點，且| PF | 3 | PF |，則雙1212a2b2曲線離心率的取值范圍為.【命題意圖】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質和離心率的求法，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.】(1,2【】設| PF | m ， F PF ，由余弦定理2 | PF | PF | cos|221221210 6cosc即4c 9m m 6m cos ，注意到| PF

11、1 | | PF2 | 2m 2a ，故離心率為e a 2222，2又cos 1,1) ，所以e (1,2x 0,2 1| x 1|,f x 115. 函數，給出以下命題：f x 2, x 2, 2f x ln x 1 有3 個零點； 函數 y 若 x 0 時，函數 f x k 恒成立，則實數k 的取值范圍是, ；3x 2函數 f x 的極大值中一定存在最小值； f (x) 2kf (x 2k) (k N * ) ，對一切 x 0, 恒成立；任取 x1 ， x2 0, ，都有其中真命題的有【命題意圖】本題考查集合與函數性質的綜合運用，意在考查學生運算能力、分析問題、綜合運用知識和方法解決問題的

12、能力f (x1) f (x2 ) 1 恒成立.【】5【】試題分析：作出函數圖象，函數 y f x ln x 1 有 2 個零點，錯；若 x 0 時，函數 f x kx即 k 2n 1, n N * 恒成恒成立，只需 y k 圖象在 y k12n1f (x) 的圖象上方即可，所以只需2n12n 1x1133f x, n N * 在n 2 時單調遞減， c 1 ， c ，所以k ，正確；函數立，又易得1222正確；由圖可知0 f (x) 1 ，故f (x1) f (x2 ) 1 恒的極大值中不存在最小值，故錯；顯然成立.考點：函數與方程、函數圖象的綜合應用三、解答題 (本大題共 6 小題，共 75

13、 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)16.(本小題滿分 12 分)有 4 個小盒子，為 1，2，3，4，將 3 個小球隨機的投入其中（每個盒子容納小球的個數沒有限制），求：()第一個盒子為空盒的概率；()小球最多的盒子中小球個數 的概率分布和期望.【命題意圖】本題主要考查古典概型、分布列、期望等基礎知識的理解和應用，意在考查學生的統(tǒng)計和基本的運算求解能力.2727， E( ) .【】()；()分布列見6416【】()記“第一個盒子為空盒”為事件 A，若第一個盒子為空盒，則小球可隨機地投入2,3,4 的3 個盒子中有33 27 種方法，故 P( A) 27 274364() 小球最多

14、的盒子中小球個數 的取值為 1,2,3.則6A3C 2C 2 A2C1391P( 1) 4 ； P( 2) 4 3 2 ； P( 3) 4 ；43434381616故 的概率分布為E( ) 1 3 2981617.(本小題滿分 12 分)sin 3x已知 f (x) 4sin x cos x m 在區(qū)間(0, 上的最大值為2 2sin x2()求 f (x) 的最小正周期；A6()在ABC 中，內角 A, B, C 的對邊分別為a, b, c ，且 f () 2 ， a c ，求sin B .22【命題意圖】本題主要考查三角函數圖象及其性質、三角恒等變換、解三角形等基礎知識，意在考查學生轉化與

15、化歸能力以及運算求解能力.3 6.】() ； (2) sin B 2【6】()因為 sin 3)【 2sin x(1 sin 2 x) (1 2所以 f (x) 3 4sin 2 x 4sin x 1 m 2 2 sin(2x )(x k , k Z )，故 f (x) 的最小正周期為 ，4f (x) 在區(qū)間(0, 上的最大值為2 2 ，故 x ( , 3 ， f (x) 2 2 m 1 又max2444所以m 1， f (x) 2 2 sin(2x )4A226() f () 2 sin( A ) A ， sin A ，因a c ，由正弦定理：24222sin C sin A 3 ， cos

16、C 2633671232 6 2 3 2 3 6sin B sin( A C) sin A cos C cos A sin C 2323618.(本小題滿分 12 分)如圖四棱錐 P ABCD ， AB AD , CD / AB , PA 平面 ABCD， PA CD AD 2AB 2 ，M為 PC 的中點. Zxxk.()求證： BM / 平面 PAD ；()在平面 PAD 上找一點 N，使得 MN 平面 PBD ； ()求直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦.【命題意圖】本題考查線面垂直的判定、幾何體體積的計算等基礎知識，意在考查學生的空間想象力、分求解能力.析能力和邏輯推理能力、運算

17、2【】() ()見；().3【】 ()取PD 中點E，連接 ME，AE，因為 M 為PC 的中點，點 E 為PD 的中點，1 分所以 ME/ 1 CD ,因為 AB AD ， CD AD , CD 2AB2所以 AB/CD ,所以 AB/ME213 分所以四邊形 ABME 是平行四邊形，所以 BM /AE ，所以 BM / 平面 PAD4 分()取 AE 的中點 N，連接 MN,BE，MN 與BE 交于點 F因為 PA 平面 ABCD，所以 PA AB ，又 AD AB ，所以 AB 平面 PAD ,故 AB AE所以平行四邊形 ABME 是矩形在等腰三角形 PAD 中，E 為 PD 的中點，

18、所以 PD AE ，又 ME 15 分MEEA所以2 ,又MEN EAB 900 ，所以MEN 與EAB 相似，ENAB所以EMN AEB,又EMN ENM 900 ，所以AEB ENM 9008所以EFN 900 ，即 MN EBAB , PD AE ，所以 PD 平面 ABE因為 PD所以 PD MN ，所以 MN 平面 PBD8 分與平面 PBD 所成的角，連接 PF ，由 MF 平面 PBD 于直線 PC 與平面 PBD 所成的角即 PM()點 F ，知MPF 即為 PM 與平面 PBD 所成的角，10 分容易求得 PM 3 ， MF 6 ，所以sin MPF MF2312 分3PM1

19、9.(本小題滿分 12 分)設正項數列 a 的前 n 項和為 S ，且 a 1 ， 4S (1 a )2 (n N * ) ，數列 b 滿足 nn1nnn1b , n N * ， T 為數列b 的前n 項和.nnna ann1()求數列an的通項公式；()若不等式T n 8(1)n 對任意的n N * 恒成立，求實數 的取值范圍.n【命題意圖】本題考查等差數列、等比數列通項公式以及數列前 n 項和的求法等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、推理能力和運算求解能力.】() an 2n 1 ；() 21.【】()當n 2 時， 4Sn (1 an ) ， 4Sn1 (1 an1 )22【4a a

20、2 2a a2 2a2 分nn1n1nn 2(an an1 ) (an an1 )(an an1 )又an 0 ， an an1 2 ， an a1 (n 1)d 2n 15 分11111() bn a(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1) ann1T 1 (1 1 1 1 11)n2n 12n 12335 1 (11n) 7 分22n 12n 19 當 n 為偶數時， 要使不等式 T n 8(1)n 對任意的 n N * 恒成立， 只需不等式n (n 8)(2n 1) 恒成立即可；n(n 8)(2n 1)8 2n 17 25，當且僅當n 2 時取等號，而9 分nn故 2512 分T

21、n 8(1)n 對任意的 n N *當 n 為奇數時， 要使不等式恒成立， 只需不 等式 n 8)(2 n1)(n 8)(2n 1)8恒成立即可；而 2n 15 21，當n 1時取等號 (n11 分nnn故 21綜上 2120.(本小題滿分 13 分)12 分x2y2a2已知橢圓 E : 1(a b 0) 的右焦點 F與拋物線 y 8x 的焦點重合，直線l ：x 與直221a2b2ca2線l2 ： x 之間的距離為 6c()求橢圓 E 方程；()設橢圓 E 的左焦點為 F1 ，l1 與 x 軸的交點為 M ，過點 M 作斜率不為零的直線與橢圓 E 交于 A、B兩點， A 關于 x 軸對稱的點為

22、C .()證明： C、F1、B 三點共線； ()求MBC 的面積 S 的最大值.【命題思路】本題考查橢圓基本性質，考查直線與圓錐曲線位置關系的基本思路和方法，意在考查學生運算能力、分析問題和解決問題的能力。x2y232 1；() ()見； () Smax 【】().62【】()由題意易得c 2, F2 (2,0)1 分a2a2又直線 x 與直線 x 之間的距離為 6，cca2所以2 6 ， a 62 分c10則b 2 ，3 分x2y2故橢圓方程為 1.4 分62a2() ()由()知l1 ： x 3 ， M (3,0)c y k (x 3)設直線l ： y k(x 3)，由得： (1 3k )

23、x 18k x 27k 6 0 62222x 3y2218k 227k 2 62由 0 得k ，設 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，則 x1 x231 3k 2， x1 x2 21 3k 2又 y1 k(x1 3) ， y2 k(x2 3)， F1 (2,0) ， C(x1 , y1 )得： F1C (x1 2, y1 ) ， F1 B (x2 2, y2 ) ，從而(x1 2) y2 (x2 2)( y1 ) k(x1 2)(x2 3) 1 x2 ) 12) 0 ，故 F1C F1B ， C、F1、B 三點共線；k(x1 3)(x2 2) k(211113 | k |3() S | MF1 | y1 | | MF1 | y2 | MF1 | y1 y2 | k(x1 x2 ) 6k |，當且僅當22221 3k 22 1 時等號成立， S32k 2max321.(本小題滿分 14 分)已知函數 f (x) ex ax(a R)( e 為自然對數的底數).()求函數 f (x) 的單調區(qū)間；()若a 1， F (x) f (x) bx 2 1 的導數 F (x) 在0,) 上是增函數，求實數 b 的最大值；( 1 ) f ()