2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 24 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 24 頁(yè)2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）Ax|Bx|1x3C1，2D1，2，3【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)集合Q，再去求即可解決.【詳解】則故選：D2設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則（）ABCD【答案】B【分析】設(shè)，由題可得，即求.【詳解】設(shè)，則，由復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，解得，.故選：B.3若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)11的正方形，任何事

2、件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（）A事件A發(fā)生的概率B事件B發(fā)生的概率C事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率D事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率【答案】A【分析】根據(jù)圖示，表示出涂色部分的面積，利用條件概率的概率公式整理化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】由題意可得，如圖所示的涂色部分的面積為 ,故選：A4已知實(shí)數(shù)， 函數(shù)， 滿足， 則的最大值為（）ABCD【答案】B【分析】設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)且，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而代換目標(biāo)式得到以為參數(shù)、為自變量的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求最大值.【詳解】令是的兩個(gè)零點(diǎn)，由題

3、設(shè)若，由根與系數(shù)關(guān)系有：，所以，由且，即，所以，令，則，在上，所以在上遞增，則.綜上，此時(shí)，所以時(shí)，的最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)的零點(diǎn)并注意，由根與系數(shù)關(guān)系用零點(diǎn)表示m、n，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以為自變量的二次函數(shù)形式，根據(jù)其開(kāi)口方向及其最值得到不等關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求不等式中關(guān)于表達(dá)式的值域.5在數(shù)列中， 已知， 且， 則以下結(jié)論成立的是（）ABCD【答案】C【分析】先根據(jù)遞推公式可得，得出的通項(xiàng)公式，從而驗(yàn)證得出答案.【詳解】，則， 若中存在某項(xiàng)，使得，則可得這與條件中相矛盾.所以，將上面兩式相除可得所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.則，設(shè)，則 所以故選：C6橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的

4、距離的最大值是（）A11BCD【答案】A【分析】題意轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值加上1，利用參數(shù)法，即可求得結(jié)論【詳解】依題意得所求即為橢圓上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值加上1，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，則橢圓上的點(diǎn)到圓的圓心距離為，時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值為10，橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值為11，故選：A.7恰有一個(gè)實(shí)數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】首先分析不是方程的根，故將其轉(zhuǎn)化為，繼而轉(zhuǎn)化為與的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究其單調(diào)性即可【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不成立，所以不是方程的根，故對(duì)原方程轉(zhuǎn)化為，故轉(zhuǎn)化為與僅有一個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，

5、故函數(shù)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，時(shí)，且時(shí)，時(shí)，故要使得與僅有一個(gè)交點(diǎn)，即的取值范圍是故選：B8已知四面體中，則體積的最大值為（）ABCD【答案】C【分析】設(shè)M為CD的中點(diǎn)，連接AM,BM, 設(shè)四面體A-BCD的高為h，利用等體積法表示出四面體的體積，利用三個(gè)正數(shù)的均值不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)M為CD的中點(diǎn)，連接AM,BM,設(shè)四面體A-BCD的高為h，則,由于，故 ,則,設(shè)，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)平面ACD與平面BCD垂直且即時(shí)取等號(hào)，故選：C二、多選題9已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A是偶函數(shù)B在（0，+）上單調(diào)遞減C是周期函數(shù)D-1恒成立【答案】AD【分析】判定的奇偶性判斷選項(xiàng)

6、A；判定的單調(diào)性判斷選項(xiàng)B；判定的周期性判斷選項(xiàng)C；求得的最小值判斷選項(xiàng)D.【詳解】的定義域?yàn)镽，則為偶函數(shù).故選項(xiàng)A判斷正確；時(shí)，恒成立，則為上增函數(shù).故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；又為偶函數(shù)，則為上減函數(shù)又，則的最小值為.故選項(xiàng)D判斷正確；故選：AD10多選題已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A點(diǎn)的坐標(biāo)為B若直線過(guò)點(diǎn)，則C若，則的最小值為D若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式求出焦點(diǎn)可判斷A；由拋物線的性質(zhì)可判斷B、C；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D.【詳解】易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，選項(xiàng)B正

7、確；若，則過(guò)點(diǎn)，則的最小值即拋物線通徑的長(zhǎng)，為，即，選項(xiàng)C正確，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，所以，所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確故選：BCD11如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則（）A若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足的面積為的點(diǎn)有12個(gè)B動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段C三棱錐的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而變化的D若過(guò)A，M，三點(diǎn)作正方體的截面，Q為截面上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為【答案】BD【分析】選項(xiàng)A：設(shè)為底面正方形ABCD的中心，根據(jù)的面積為，由此可判斷選項(xiàng)A；選項(xiàng)B：分別取，的中點(diǎn)

8、H，G，連接，；證明平面平面，從而得到點(diǎn)F的軌跡為線段GH.選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B可得出平面，從而得到點(diǎn)F到平面的距離為定值，再結(jié)合的面積也為定值，從而可得到三棱錐的體積為定值.選項(xiàng)D：設(shè)為的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面即為面，從而線段長(zhǎng)度的最大值為線段的長(zhǎng)，最小值為四棱錐以為頂點(diǎn)的高.【詳解】對(duì)于A：設(shè)為底面正方形ABCD的中心，連接，則，所以的面積為，所以在底面ABCD上點(diǎn)P與點(diǎn)必重合，同理正方形的中心，正方形的中心都滿足題意.又當(dāng)點(diǎn)P為正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿足的面積為，故A不正確；對(duì)于B：如圖，分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，因?yàn)椋矫?，平面，平面，面，所以平面平面，而平面，所?/p>

9、平面，所以點(diǎn)F的軌跡為線段GH，故B正確；對(duì)于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)F的軌跡為線段GH，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)F到平面的距離為定值，同時(shí)的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C不正確；對(duì)于D：如圖，設(shè)平面與平面交于AN，N在上因?yàn)榻孛嫫矫?，平面平面，所以同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)在四棱錐中，側(cè)棱最長(zhǎng)，且設(shè)棱錐的高為h，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以的邊上的高為面?duì)角線的一半，即為，又，則，所以，解得綜上，可知長(zhǎng)度的取值范圍是，故D正確 故選：BD12畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱(chēng)此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.

10、已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（）A直線與蒙日?qǐng)A相切B的蒙日?qǐng)A的方程為C記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D若矩形的四條邊均與相切，則矩形的面積的最大值為【答案】AC【分析】分析可得出，求出蒙日?qǐng)A的方程，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義和點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析可知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日?qǐng)A上，利用基本不等式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為、，所以，點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，故蒙日?qǐng)A的方程為，因?yàn)椋傻?對(duì)于A選項(xiàng)，蒙日?qǐng)A圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日?qǐng)A相切，A對(duì)；對(duì)于

11、B選項(xiàng)，的蒙日?qǐng)A的方程為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，則，所以，因?yàn)?，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若矩形的四條邊均與相切，則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日?qǐng)A上，所以，所以，矩形的面積為，D錯(cuò).故選：AC.三、填空題13六名考生坐在兩側(cè)各有一條通道的同一排座位上應(yīng)考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完試卷后立即離開(kāi)座位走出教室.則其中至少有一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾其他尚在考試的同學(xué)的概率為 _.【答案】【詳解】要不打擾其他尚在考試的同學(xué)，必須每次坐其兩旁的同學(xué)先離開(kāi)，即每次有兩種選擇，于是，共有種可能.故所求概率為.14有一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四

12、面體，其中有一半徑為的球自由運(yùn)動(dòng)，正四面體內(nèi)未被球掃過(guò)的體積為 【答案】【分析】先考慮球運(yùn)動(dòng)到四個(gè)頂點(diǎn)位置時(shí)，由棱錐的體積減去球的體積求出此部分的體積；再考慮球沿著方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角相切時(shí)，得到未被球掃過(guò)空間均為相同的柱體，求出柱體的體積，即可求得正四面體內(nèi)未被球掃過(guò)的體積.【詳解】如圖設(shè)正四面體，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到與平面、平面、平面相切時(shí)，可得此時(shí)球無(wú)法繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)切點(diǎn)分別為，則此時(shí)球面與正四面體頂點(diǎn)之間的部分球無(wú)法掃過(guò)，同理可得正四面體頂點(diǎn)均有相同的空間未被球掃過(guò)，作與平面平行且與此時(shí)球相切的平面，易得棱錐為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為，作平面于，則經(jīng)過(guò)球心，易得，則，則正四面體的體積，表面積，設(shè)球

13、半徑為，則，即，解得，作，易得為中點(diǎn)，則，設(shè)4個(gè)頂點(diǎn)處未被球掃過(guò)空間的體積為，球的體積為，可得；當(dāng)球沿著方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角相切時(shí)，設(shè)球與平面、平面的切點(diǎn)始終為，過(guò)的大圓與交于，由垂徑定理知，又，易得，則即為二面角的平面角，易得未被球掃過(guò)的部分為柱體，且柱體的底面為扇形與四邊形之間的部分，設(shè)中點(diǎn)為，連接，易得，則即為二面角的平面角，又，由余弦定理得，則，則，則，則，設(shè)扇形與四邊形之間部分面積為，扇形面積為，,則，由上知，又，則柱體的高為，正四面體的六條棱未被球掃過(guò)空間均為相同的柱體，設(shè)這部分體積為，則，則正四面體內(nèi)未被球掃過(guò)的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將正四面體內(nèi)未被球掃過(guò)的

14、空間分為兩部分，第一部分為球運(yùn)動(dòng)到四個(gè)頂點(diǎn)位置時(shí)，球面與正四面體頂點(diǎn)之間的部分；第二部分為當(dāng)球沿著方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角相切時(shí)，球面與二面角之間的柱體部分，再由幾何體的體積公式求解即可.四、雙空題15已知 的最大值為_(kāi)， 此時(shí)_.【答案】 -2 0【分析】將化為，由條件利用均值不等式可得出答案.【詳解】 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.由，則，所以，解得 由，可得故 故答案為： ；16如圖，是全等的等腰直角三角形（，處為直角頂點(diǎn)），且，四點(diǎn)共線.若點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)）， 則_，的取值范圍為_(kāi).【答案】 【分析】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直

15、線，的方程，設(shè)出，的坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)的范圍以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線的方程為：，設(shè)，且，直線的方程為：，設(shè)，且，直線的方程為：，設(shè)，且，所以，所以，故答案為：；.五、解答題17已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，求的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，再根據(jù)，化簡(jiǎn)，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】(1)證明：設(shè)，由余弦定理知：，由是外心知， 而，

16、所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；(2)解：由（1）知，由余弦定理知：，代入得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，因此的最大值為.18如圖，在平面五邊形中，是梯形，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，連接、得如圖的幾何體.（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出、兩兩垂直，然后以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線、為、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法

17、結(jié)合二面角的余弦值為可求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，則是的中位線，且，且，且，則四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面；（2）取中點(diǎn)，連接、，易得，在中，由已知，.，所以，、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以射線、為、軸正半軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、，則，假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得平面的一個(gè)法向量，又平面的一個(gè)法向量，由已知，整理得，解得（舍去），因此，在棱上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用二面角的余弦值解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.19已

18、知數(shù)列前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由整理可得；進(jìn)而得到是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)，從而求得結(jié)論；（2）利用第一問(wèn)的結(jié)論，求得數(shù)列的通項(xiàng)，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)論【詳解】解：（1）由題知，即，即，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，；（2）由（1）知， ， 得，.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱(chēng)性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和20微信小程序“黨史知識(shí)競(jìng)賽”中的“答

19、題競(jìng)賽”版塊有個(gè)“雙人競(jìng)賽”欄目，可滿足兩人通過(guò)回答多個(gè)問(wèn)題的形式進(jìn)行競(jìng)賽.甲，乙兩單位在聯(lián)合開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育特色實(shí)踐活動(dòng)中通過(guò)此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記0分；一單位全部答對(duì)而另一單位沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的單位記1分，沒(méi)有全部答對(duì)的單位記-1分.設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對(duì)的概率為，乙單位全部答對(duì)的概率為，甲，乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率.【答案】(1

20、)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(2)【分析】（1）理解題意，列出隨機(jī)變量X所有可能的取值，然后相互獨(dú)立事件的性質(zhì)求解即可.（2）通過(guò)列舉法列出3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的所有情況，然后利用小問(wèn)（1）中所得的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算.【詳解】(1)由題意X的取值可能為，0，1，則，那么X的分布列為：X01P.(2)第3輪比賽后，甲單位累計(jì)得分低于乙單位的3輪計(jì)分有四種情況（不按先后順序）：；，所以.21如圖，已知圓，點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓O，點(diǎn)的集合記為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案