高二數(shù)學選修平均變化率

1、高二數(shù)學選修平均變化率第1頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四世界充滿著變化,有些變化幾乎不為人們察覺,而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼！第2頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四微積分主要與四類問題的處理相關:一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物 體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。 導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具。第3頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四問題情境1法國隊報網(wǎng)站的文章稱劉

2、翔以不可思議的速度統(tǒng)治了賽場。這名21歲的中國人跑的幾乎比炮彈還快,賽道上顯示12.94秒的成績已經(jīng)打破了12.95奧運會記錄,但經(jīng)驗證他是以12.91秒平了世界紀錄，他的平均速度達到8.52m/s。問：平均速度的數(shù)學意義是什么 ?第4頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四時 間3月18日4月18日4月20日日最高氣溫3.518.633.4現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載:問題情境2觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4

3、)T ()210（注: 3月18日為第一天）第5頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210問題1：“氣溫陡增”是一句生活用語，它的數(shù)學意義是什么？（形與數(shù)兩方面）問題2：如何量化（數(shù)學化）曲線上升的陡峭程度？問題情境2第6頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四問題情境3某人第1秒到第34秒的位移時間圖象如圖所示: t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題1:

4、AB段與BC段哪一段位移變化的多?問題2:AB段與BC段哪一段位移變化的快?問題3:在圖形上用什么方法可直接看出哪一段位移變化的快?第7頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210容易看出BC之間的曲線比AB之間的曲線更加”陡峭”,陡峭的程度反映了位移變化的快與慢.問題4:如何量化曲線的陡峭程度呢?問題情境3第8頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34

5、, 33.4)s (m)2101.曲線上BC之間一段幾乎成了直線,由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度.2.由B點上升到C點，必須考察yCyB的大小，但僅僅注意到y(tǒng)CyB 的大小能否量化BC段陡峭程度?為什么？B在考察yCyB 的同時必須考察xCxB ，函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變而言。問題情境3第9頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2103.我們用比值 近似地量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為位移在區(qū)間【3

6、2，34】上的平均變化率.4.分別計算位移在區(qū)間【1，32】 【32，34】的平均變化率.問題情境3第10頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題5:位移的平均變化率能否反映每一時刻位移的變化率?位移的平均變化率只能表示這一段時間里位移大致的變化情況,但不能精確的表示每一時刻的位移變化情況.問題情境3第11頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四問題情境32030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (3

7、4, 33.4)v (m/s) t (s)210 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題6:將位移曲線改成速度曲線,你又能得到什么結論?第12頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為(1)曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”無形不直觀無數(shù)不入微(3)平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”.數(shù)學建構注(4)平均變化率公式記憶類似直線上兩點間的斜率公式.第13頁，共22頁，2022年，5月2

8、0日，11點47分，星期四例1: (1)某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月及第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。T(月)W(kg)639123.56.58.611問題:這兩個平均變化率的實際意義是什么?數(shù)學應用點撥:求平均變化率關鍵有兩點 自變量的變化量x=x2-x1； 函數(shù)值的變化量y=f(x2)-f(x1);第14頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四例1: (2)水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積 （單位： ），計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率。甲乙問題: (1)負號表示什么意思?(2)平均變化率可正

9、可負,那能否為0?請舉例說明. (3)0.25cm3/s能否表示10秒內(nèi)每一時刻容器甲中水的 體積V減少的速度?0.25cm3/s數(shù)學應用第15頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四練習1:在經(jīng)營某種商品中,甲乙兩人投入相同的資金,甲掙到10萬元,乙掙到2萬元,能否比較和評價甲,乙兩人的經(jīng)營成果?(注:甲用5年時間掙到10萬元,乙用5個月掙到2萬元)解:甲獲利的平均變化率為 (萬元/月)乙獲利的平均變化率為 (萬元/月) 由 ，所以乙的經(jīng)營成果好.數(shù)學應用第16頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四例2:(1)已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=2x,

10、 分別計算在區(qū)間 -3，-1，0，5上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率.問題1:一次函數(shù)f(x)=kx+b在區(qū)間m，n上的平均變化率有什么特點?一次函數(shù)在任意區(qū)間上的平均變化率都是斜率.問題2:其它函數(shù)在區(qū)間m，n上的平均變化率有什么幾何意義?數(shù)學應用第17頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四01mnPQ 平均變化率的幾何意義:函數(shù)f(x)曲線上兩點P,Q的連線 （割線）的斜率即為函數(shù)f(x)在區(qū)間XP，XQ 上的平均變化率.函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的平均變化率為:xy數(shù)學理論第18頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四例2:(2)已知函數(shù)f(x)

11、=x2 ,分別計算f(x) 在下列區(qū)間上的平均 變化率： 1）1，3；2）1，2；3）1，1.1；4）1，1.001. 432.12.001數(shù)學應用第19頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四xy13P2O平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但當x2x1很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.數(shù)學理論第20頁，共22頁，2022年，5月20日，11點47分，星期四練習2: 已知函數(shù)f(x)=x2 ,分別計算f(x) 在下 列區(qū)間上的平均變化率： （1）0.9，1；（2）0.99，1；（3）0.999，1;（4）0.9999，1;1.91.991.999（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.0011