復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法講義10行波法和分離變量法

1、PAGE Chapter 10 行波法和分離變量法 本征值問題上章復(fù)習(xí)：數(shù)理方程的導(dǎo)出與定解問題：泛定方程加上定解條件（例如，初始條件、邊界條件、銜接條件、自然條件和周期條件等）。目標(biāo)：求一個(gè)微分方程的解滿足確定條件例如初始條件和邊界條件等的問題。一般定解問題的分解：解出問題I、II、III得則一般問題的解為，求解問題I是基礎(chǔ)，問題II可轉(zhuǎn)化為I或III，問題III有多種解法。Abstract：求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問題的核心本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用

2、某些定解條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來確定解（因?yàn)楹腥我夂瘮?shù)）本征值問題可解決此類問題。一維無界空間域的自由振動(dòng)問題 達(dá)朗伯公式（不講解）行波法和dAlembert公式（以無限長弦的自由振動(dòng)為例）:其中和是已知函數(shù)。特征方程：. 解得 .于是作代換 ，原方程化簡為.解之得 ，這是因?yàn)槠渲泻褪欠謩e以為宗量的任意函數(shù)。因此，將之代入初始條件，有這就確定了和的函數(shù)形式，dAlembert公式。物理意義：在時(shí)空點(diǎn)波形如，到了下一時(shí)空點(diǎn),波形變?yōu)槿鐒t也就是說，是一個(gè)沿軸正方向以速度傳播的行波；同理，是一個(gè)沿軸負(fù)方向以速度傳播的行波。在dAlembert公式中，第一項(xiàng)表示

3、由初位移激發(fā)的行波在時(shí)的波形為，以后分成相等的兩部分，獨(dú)立地向左右傳播，速率均為.第二項(xiàng)表示由初速度激發(fā)的行波，時(shí)在處的速度為，在時(shí)刻，它將左右對(duì)稱地?cái)U(kuò)展到的范圍，傳播速率也都是.另外需要說明的是，這里我們沒有明確寫出邊界條件，即或有界。嚴(yán)格來說，的確應(yīng)該明確寫出無窮遠(yuǎn)的條件。但是，對(duì)具體問題而言，這個(gè)條件可以由和的具體形式來得到保證。和總是會(huì)局限在一個(gè)有限的范圍內(nèi)，即，當(dāng)增大時(shí)，和都會(huì)足夠快地趨于. 因此，從dAlembert解就可以看出，在有限的時(shí)間內(nèi)，總還是在一個(gè)有限的范圍內(nèi)才不為. 從概念上說，所謂無窮長弦，當(dāng)然只是一個(gè)理想化的抽象。它恰恰就表示：在我們所考察的時(shí)間和空間范圍內(nèi)，端點(diǎn)的

4、影響可以忽略不計(jì)。一維半無界域的自由振動(dòng)問題 初始條件的延拓（不講解）齊次邊界條件：端點(diǎn)固定：其中和是已知函數(shù)。因?yàn)楹鸵约皟H僅在有定義，不能直接應(yīng)用的dAlembert公式。為了能夠應(yīng)用dAlembert公式，要設(shè)法將和以及的定義域延拓到（與Fourier展開時(shí)所作的延拓相似），并要滿足邊界條件. 如果這樣的解找到了，那么它的的部分就是原定解問題的解。 為確定，將之代入邊界條件，得 .記，上式改寫為.由此可見，的形式（當(dāng)其宗量為負(fù)值時(shí)）可以取為（取法不唯一，只要滿足上式即可），.問題轉(zhuǎn)化為 注意到，一定大于等于（因?yàn)椋?，但可正可?fù)，因此，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，我們得到原定解問題（）的解

5、物理意義：此解的部分與無界區(qū)域問題的解形式上是完全一樣的，這說明了這樣一個(gè)事實(shí)，對(duì)弦上某一點(diǎn)來說，由于波的傳播速度是，來自端點(diǎn)的擾動(dòng)需要經(jīng)歷的時(shí)間才能影響到點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，端點(diǎn)的影響尚未到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)的振動(dòng)就如同無界弦一樣。在端點(diǎn)固定的情況下，端點(diǎn)處永遠(yuǎn)是波節(jié)，所作延拓是奇延拓。當(dāng)波在端點(diǎn)處發(fā)生反射時(shí)，反射波位相將與入射波形相反，即位相有一突變值半波損失（詳見教材pp202-203）：當(dāng)波碰到原點(diǎn)時(shí)立刻變號(hào)（方向與大小均變號(hào)），即處的合成波是波節(jié)反射后反射波繼續(xù)傳播，不過此波與原來波的位相有一突變值(大小與方向均變號(hào))。但是，在端點(diǎn)自由的情況下（如半無界桿的端是自由的）： 為確定，將之代入邊界條件，

6、得.記，上式改寫為 .由此可見，的形式（當(dāng)其宗量為負(fù)值時(shí)）可以取為， , 其中第一個(gè)式子來源于 這是偶延拓. 問題轉(zhuǎn)化為注意到，一定大于等于，但可正可負(fù)，因此，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，我們得到原定解問題（）的解:非齊次邊界條件：定解問題的解等于問題I的解和問題II的解之和，即.定解問題I的解前面已經(jīng)給出，現(xiàn)在討論定解問題II的求解，（1）因?yàn)樵撓到y(tǒng)既沒有外力作用，初始條件又為，所以點(diǎn)的擾動(dòng)是系統(tǒng)振動(dòng)的唯一原因（來源），因此，在區(qū)域，只能有向右傳播的波而不能有向左傳播的波。所以，變量和只能以或的組合形式出現(xiàn)于解中，而不能以另一種形式或的組合形式出現(xiàn)。（2）就點(diǎn)來說，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的擾動(dòng)尚未影響到

7、這點(diǎn)，這點(diǎn)仍處在平衡位置，所以解的形式是：.（3）最后，由邊界條件確定的具體形式，得 所以，（三、由簡述到一般）例如: 兩端固定弦的自由振動(dòng)問題: 定解問題I型：齊次方程和齊次(固定)邊界條件，非齊次初始條件。第一步, 分離變量： 設(shè),將此代入方程，即得等式兩端除以，就有 .左端只是的函數(shù)(與無關(guān))，右端只是的函數(shù)(與無關(guān))。因此，要左端和右端相等，就必須共同等于一個(gè)既與無關(guān)、又與無關(guān)的常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)為(參數(shù))，即 .由此得到兩個(gè)常微分方程組： （10.1） （10.2）同樣，將此代入邊界條件，得 , （10.3）這就是分離變量，即導(dǎo)出了函數(shù)滿足的常微分方程和邊界條件，以及滿足的常微分方程。

8、分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉淼钠⒎址匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的。第二步,求解本征值問題：常微分方程中含有一個(gè)待定常數(shù)，而定解條件，是一對(duì)齊次邊界條件。只有當(dāng)取某些特定值時(shí)，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解. 的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction). 由方程（10.2）解得, 將這個(gè)通解代入邊界條件（10.3）,就有 和不能同時(shí)為0，只能是，即. 于是只能取如下的一系列值： ；相應(yīng)的本征函數(shù)為:記為: 這樣求得的本征值有無窮多個(gè)，他們可以用正整數(shù)標(biāo)記。我們把本征值和本征函數(shù)分別記為和.第三步,求特解，并疊加出

9、一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值，由（10.1）解出相應(yīng)的: .因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解:這樣的特解有無窮多個(gè)。每一個(gè)特解都同時(shí)滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。單獨(dú)任何一個(gè)特解不能滿足定解問題中的初始條件。由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來，即.這樣得到的也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解。這種形式的解稱為一般解。現(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和定出疊加系數(shù)和.將上面的一般解代入初始條件，得 第四步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：本征函數(shù)的正交性: .本征函數(shù)的模方: .因此，在(10.4)式兩端同乘以，并逐項(xiàng)積分，就得到所以，.同樣可以得到

10、，. 這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和，計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù)和，從而就求得了整個(gè)定解問題的解。第五步, 解的物理解釋：就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個(gè)最小值，即，稱為基頻。其它固有頻率都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。整個(gè)問題的解是許多駐波的迭加。這種解法也稱為駐波法。將一個(gè)偏微分方程轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常微分方程，同時(shí)邊界條件亦可分離變量（如齊次邊界條件）；常微分方程和相應(yīng)的齊次邊界條件構(gòu)成了本征值問題，由此解出一系列本征值和本征函數(shù)族。再例如: 這正是波的分解與合成。這是I型定解問題：齊次方程和齊次(自由)邊界條件，非齊次初始條件。分離變量法（偏常）微分方程問題定解問題I型(齊次邊條) 1. 一

11、維有界區(qū)域自由振動(dòng)問題的駐波解(有界區(qū)域齊次邊條振動(dòng)問題，存在駐波、節(jié)點(diǎn)、本征頻率和波的疊加等)下面以兩端固定弦的自由振動(dòng)為例(1+1D問題):定解問題I型：方程和邊界條件都是齊次的，而初始條件是非齊次的。第一步, 分離變量：設(shè)取此特解形式，可得駐波解：是振蕩函數(shù)，而與無關(guān)，是幅度函數(shù)，與無關(guān),將此代入方程，即得等式兩端除以，就有.注意在這個(gè)等式中，左端只是的函數(shù)，與無關(guān)，而右端只是的函數(shù)，與無關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個(gè)既與無關(guān)、又與無關(guān)的常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)為(參數(shù))，即，.由此得到兩個(gè)常微分方程： （10.1） （10.2）同樣，將此代入邊界條件，得，這時(shí)必須有，因?yàn)椴豢赡芎?/p>

12、為0，否則恒為0. （10.3）這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解（亦定界）問題的第一步：分離變量。在這一步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解，導(dǎo)出了函數(shù)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉淼钠⒎址匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的（可分離變量）。第二步,求解本征值問題：上面得到的函數(shù)的常微分方程定解問題，稱為本征值問題。其特點(diǎn)是：常微分方程中含有一個(gè)待定常數(shù)，而定解條件，是一對(duì)齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微分方程的初邊值問題。下面將看到，并非對(duì)于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某

13、些特定值時(shí)，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解. 的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction). 設(shè). 令，解（10.2）得.要使它滿足（10.3） 我們有 由此知道只能，可見是不可能的。（2）設(shè). 由方程（10.2）解得，.要使它滿足（10.3），只能，可見也是不可能的。（3）只能設(shè). 由方程（10.2）解得，.將這個(gè)通解代入邊界條件（10.3），就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，恒為0（平凡解，雖然零解無物理意義，但至少說明數(shù)學(xué)上可能行得通），因此只能是，本征值方程，解為 .于是，只能取如下的一系列值：；相應(yīng)的本征

14、函數(shù)就是：. 記為 這里取，因?yàn)槲覀兯蟮谋厝恢皇蔷€性無關(guān)解。不同的值給出的是線性相關(guān)的。由于同樣的原因，我們也不必考慮為負(fù)整數(shù)的情形。這樣求得的本征值有無窮多個(gè)，他們可以用正整數(shù)標(biāo)記（其實(shí)就是量子力學(xué)量子數(shù)）。因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為和.第三步,求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值，由（10.1）解出相應(yīng)的:.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解: .這樣的特解有無窮多個(gè)。每一個(gè)特解都同時(shí)滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的實(shí)空間駐波。但是，一般來說，單獨(dú)任何一個(gè)特解都不能滿足定解問題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們

15、的特解線性疊加起來，即.這樣得到的也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解（當(dāng)然要求此級(jí)數(shù)收斂且可以逐項(xiàng)求二階偏導(dǎo)，即求和與求導(dǎo)可以交換次序）。這種形式的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和定出疊加系數(shù)和.將上面的一般解代入初始條件，得注： 1. 和是已知函數(shù)而非任意函數(shù)。既要滿足泛定方程又要滿足定解條件。和均由構(gòu)成。2. 定解條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的一個(gè)極限。第四步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：設(shè)和是分別對(duì)應(yīng)本征值和的兩個(gè)本征函數(shù)，（即）. 顯然，它們分別滿足 （10.6）， （10.7）和 （10.8）， （10.9）用乘以(10.6)，用乘以(10.8)，兩者相減并在區(qū)間積分

16、，即得其中利用了和所滿足的邊界條件（10.7）和（10.9）.考慮到，因此，就證得本征函數(shù)的正交性:.進(jìn)一步計(jì)算還可以得到本征函數(shù)的模方:. 因此，在(10.4)式兩端同乘以，并逐項(xiàng)積分，就得到所以，.同樣可以得到，.（實(shí)為傅里葉級(jí)數(shù)的奇延拓）這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和，計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù)和，從而就求得了整個(gè)定解問題的解。注意：每個(gè)邊界的條件并非需要兩個(gè)，只要構(gòu)成本征值問題就可以了。不同邊界條件構(gòu)成不同本征值問題。Step 5,解的物理解釋：先看特解其中，和. 因此，代表一個(gè)駐波，表示線上各點(diǎn)的振幅分布，表示點(diǎn)諧振動(dòng)。是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始

17、條件無關(guān)；稱為波數(shù)，是單位長度上波的個(gè)數(shù)；稱為位相，由初始條件決定。在，即的各點(diǎn)上，振動(dòng)的幅度恒為0，稱為波節(jié)。包括弦的兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)，波節(jié)點(diǎn)共有個(gè)。在，即的各點(diǎn)上，振幅的絕對(duì)值恒為最大，稱為波腹。波腹共有個(gè)。整個(gè)問題的解則是這些駐波的迭加。正是因?yàn)檫@個(gè)原因，這種解法也稱為駐波法(a generalized method of the separation variables).就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個(gè)最小值，即，稱為基頻。其它固有頻率都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一定（即一定）時(shí)，通過改變弦的繃緊程度（改變張力T的大?。?，就可以調(diào)節(jié)基頻

18、的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)和的相對(duì)大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲音的音色。(不要求)還可以進(jìn)一步討論分離變量法的解和行波法的解兩者之間的聯(lián)系。為此，先將初始條件和作奇延拓然后再延拓為周期為的周期函數(shù)仍記為和.可以看出，這樣延拓的結(jié)果保證了在端點(diǎn)也是奇延拓。將和展開為Fourier級(jí)數(shù)， 其中，.可以看到，. 所以和行波解的形式完全一致，只不過這里的和是由初始條件和按照前面的法則延拓而得的。另一方面，這樣得到的解，當(dāng)然只適用于區(qū)間.將一個(gè)偏微分轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常微分方程，同時(shí)邊界條件亦可分離變量（如齊次邊界條件）；常微分方程和相應(yīng)的齊次邊界條件構(gòu)成了本征值問題，由此解出一系列本征值和本征函數(shù)族

19、 (Eigenvalues are independent on the driven source and initial conditions).矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題（2+0D問題）：（物理問題的提法？）設(shè)，將代入方程，即得等式兩端同時(shí)除以，就有 由此得到兩個(gè)常微分方程： 同樣，將代入關(guān)于的一對(duì)齊次邊界條件，得，這時(shí)也可以分離變量，得，.這樣，我們得到本征值問題:, ，.（1）設(shè). 令，解得 .要使它滿足邊界條件，只能. 可見是不可能的。（2）設(shè). 解得 .要使它滿足邊界條件，只能. 可見也是不可能的。（3）設(shè). 解得 .將這個(gè)通解代入邊界條件，就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為零，因而恒為0

20、（平凡解）。因此只能是本征值方程，解為 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：.對(duì)于每一個(gè)本征值，可以求出相應(yīng)的:注：與等價(jià)，無(有)界域用 ().因此，也就得到了既滿足Laplace方程又滿足的邊界條件的特解:把這些特解疊加起來，就得到一般解:.將上面的一般解代入關(guān)于的一對(duì)邊界條件，得利用本征函數(shù)的正交歸一性:就可求得以及即這樣，就求得了矩形區(qū)域內(nèi)Laplace方程邊值問題的解。3多于兩個(gè)自變量的定解問題（2+1D問題）設(shè) ，將此代入上述方程，分離變量得 (1) (2)再令，代入方程（2）及邊界條件，再次分離變量, (3)， (4)和 , (5)， (6)這里又引進(jìn)了兩個(gè)常數(shù)和

21、，但，和中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們滿足，為了書寫方便，我們額外地多寫了一個(gè)常數(shù)?，F(xiàn)在就著手求解本征值問題(3),(4):，.（1）設(shè). 令，解得，.要使它滿足邊界條件，只能，可見是不可能的。（2）設(shè). 解得，.滿足邊界條件的非零解為，為任意常數(shù)。這樣，也是一個(gè)本征值，相應(yīng)本征函數(shù)取為（3）設(shè). 解得，.將這個(gè)通解代入邊界條件，就有即和不能同時(shí)為0，否則恒為0，即恒為0（平凡解）。因此只能是，即， 于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)（取）就是：.把和結(jié)合起來，就可以寫成本征值:;本征函數(shù):.同樣，可以解得本征值問題（5），（6）： 本征值:; 本征函數(shù):.必須注意，這里的n和m是互相獨(dú)立

22、的，對(duì)于給定的n和m，再進(jìn)一步求出方程（1）的解:， () (otherwise).并且可以寫成統(tǒng)一的形式:，其中，因此，也就得到了整個(gè)定解問題的特解，把它們的特解疊加起來，就得到一般解，將上面的一般解代入初始條件，得.利用本征函數(shù)的正交歸一性:和就可求得.注：數(shù)學(xué)上，分離變量法使得偏微分方程化為常微分方程組，引進(jìn)的參數(shù)通過齊次邊界條件來確定；本征值問題的物理本質(zhì)：體系的對(duì)稱性導(dǎo)致了與之相應(yīng)的守恒量。四、定解問題II型（非齊次邊界條件）的轉(zhuǎn)化邊界條件齊次化首先以特例切入。 例1：求解半帶形區(qū)域內(nèi)的靜電勢，已知和上的電勢都是0，而邊界上的電勢保持為常數(shù).解：電勢的定解問題是為了將分離變量法用于求

23、解穩(wěn)定場分布問題，并不要求（也不可能要求）所有的邊界條件都是齊次的。為使和的邊界條件齊次化，設(shè)，并使?jié)M足方程和邊界條件. 顯然，滿足這些要求的的形式可以是 因此，的定解問題是利用分離變量法，求得的一般解，它可以直接地寫為注：與等價(jià), 無界域用,有界域用與等價(jià)，無界域用,有界域用方便。僅僅由還不足以定出待定系數(shù). 實(shí)際上還存在一個(gè)自然邊界條件: 有界（因?yàn)槲锢砹吭谌魏蔚胤蕉紤?yīng)是有界的），相應(yīng)的的邊界條件為: 有界。因而，我們有；再由邊界條件，定出展開系數(shù). 綜合上述結(jié)果，最后得到原定解問題的解為.意義：向：直流+交流；向：指數(shù)下降。玩具模型： 尖端放電。尺子有了特殊，再看一般。問題II型的一般形

24、式其中為線性算符（只出現(xiàn)各階偏導(dǎo)的一次冪）。設(shè)法找出滿足邊界條件的任一特別函數(shù)(既是任意的但是又具有某些特別性質(zhì)), 令，則定解問題II轉(zhuǎn)變?yōu)樘貏e地，如果選得好，正好還使得，則上述關(guān)于的問題就化為定解問題I型了，否則，可分解為型。 如何尋找沒有固定的方法，下面僅對(duì)幾種情形提供點(diǎn)線索（但不一定是最好方案, 因?yàn)樗荒鼙ＷC泛定方程仍為齊次）:可令例如上述例1中，并且可令例如下述例2將看到， 但是不滿足泛定方程；可令實(shí)際上上述三種情況就是令，然后由邊界條件定出依賴于的可令這個(gè)實(shí)際上就是令，然后由邊界條件定出 由于依賴于，這些一般不滿足下面這個(gè)例子就說明這種情況，并且還是例外。例2：求解長為的均勻桿的

25、縱振動(dòng)問題解：按上述原則方案，視乎可??？但不滿足泛定方程。此例可如下分析：泛定方程是對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，邊界條件為，可試設(shè)（分離變量法）。適當(dāng)選取，使既滿足泛定方程又滿足邊界條件（既要求邊界條件齊次化，又要求易被解出），即 于是得到關(guān)于的方程解之得. 所以令于是的定解問題就為I類了：顯然，這樣選擇的不僅使的邊界條件齊次化，也使的泛定方程齊次化（即已轉(zhuǎn)化為問題I型）。當(dāng)然可用分離變量法求解： 說明1：由于時(shí)空在數(shù)學(xué)上的對(duì)稱性，在此I型1+1D波動(dòng)問題中，雖然如果，則方程可變量分離，似乎時(shí)間方向的可構(gòu)成本征值問題。其實(shí)不然，它只有零解（物理上，無源、無激發(fā)；數(shù)學(xué)上，亦要兩端邊界，而非一端邊界的兩個(gè)條件）

26、。說明2：數(shù)學(xué)上半無界時(shí)間空間只能是連續(xù)譜。由于驅(qū)動(dòng)源于空間邊界所以的內(nèi)部亦只能有此單一連續(xù)的 當(dāng)然的內(nèi)部只能有 只有一端固定、另一端自由的方向的的確構(gòu)成了本征值問題。說明3：對(duì)于問題II型，到底只是簡單地將邊界條件齊次化，還是力求使方程也齊次化，需視具體問題而定。有時(shí)候，盡管也能使方程和邊界條件同時(shí)齊次化，但如果齊次化函數(shù)的形式過于復(fù)雜，求解起來不是那么容易，而且導(dǎo)出的的定解問題也比較復(fù)雜。這時(shí)候也許還是找一個(gè)形式比較簡單的函數(shù)，只將邊界條件齊次化來得方便。問題化為III型，具體解法如下。五、定解問題III型（非齊次方程）的各種解法問題III型的一般形式 試探法方程齊次化法由觀察、分析與試探

27、，設(shè)法找出一個(gè)既滿足相同非齊次泛定方程又滿足相同邊界條件的函數(shù)，令，則定解問題III可變?yōu)殛P(guān)于的問題I：如果 則 但由于的尋找無固定程序，所以此法可靠性不大。對(duì)于與泛定方程無關(guān)的純邊值問題，需要視具體情況而定，即主要是問題II。例如教材P210注1：首先解問題II，但是對(duì)于兩個(gè)方向的邊界條件，齊次的構(gòu)成本征值問題；非齊次的用于確定系數(shù)。求舉例：例1解題思路：方程的非齊次項(xiàng)僅為的函數(shù)，試設(shè)，并令它滿足原來的非齊次方程及齊次邊界條件，即 解之即得上述結(jié)果。而關(guān)于的定解問題為：可用分離變量法解（自做）：例2解題思路：方程的非齊次項(xiàng)為常數(shù)，試設(shè)（不能視為常數(shù)，因?yàn)槌?shù)不能滿足邊界條件）并令它滿足相同非

28、齊次方程及齊次邊界條件，即 解之即得上述結(jié)果。而關(guān)于的定解問題為：可用分離變量法解（自做）：例3 解題思路：方程的非齊次項(xiàng)僅為的函數(shù)，試設(shè)，并令它滿足同一方程，即. 積分得. 顯然它滿足第二類齊次邊界條件，即.當(dāng)然取最簡單。設(shè)而關(guān)于的定解問題為：可用分離變量法求解如下：設(shè)，將其代入方程，等式兩端同時(shí)除以，就有 . 由此得到兩個(gè)常微分方程： 同樣，將代入關(guān)于的一對(duì)齊次邊界條件，我們得到本征值問題: , ，.解得本征值 和相應(yīng)的本征函數(shù). 同時(shí)由初始條件得故討論：僅僅以外驅(qū)動(dòng)振動(dòng)，與空間無關(guān)。當(dāng)時(shí)，它是衰減式振動(dòng)；當(dāng)時(shí)，本征函數(shù)法（也稱廣義Fourier級(jí)數(shù)法）2.1如果方程非齊次項(xiàng)的形式比較復(fù)雜

29、，難以求得非齊次化方程的特解（即難以尋找齊次化函數(shù)），或者方程本身比較復(fù)雜，那么可以采用下面介紹的本征函數(shù)系展開法。先回憶一下分離變量法的解題過程: 設(shè)，將其代入方程，即得 由此得 (10.1)， (10.2) 所以本征值：; 相應(yīng)的本征函數(shù)：. 通解： .分離變量解法的啟示：從分離變量法的解題過程可以看出，本征值、本征函數(shù)至關(guān)重要，只要求得了本征函數(shù)，則關(guān)于的方程可以通過直接求定解問題按本征函數(shù)系展開的廣義Fourier級(jí)數(shù)形式的解即可。為此，就要令，將其代入泛定方程，得.因?yàn)?的Fourier系數(shù)必然為0（各級(jí)獨(dú)立），故有 .這正好就是方程（10.1），解出后代入即為方程的解。注意在這里問

30、題本身可分離變量。也就是說，這是另一種方法，其優(yōu)勢在于，當(dāng)泛定方程不可分離變量時(shí)，可將此法推廣，即按本征函數(shù)展開時(shí)將待定系數(shù)化為廣義方程而已。2.2解題示范：此問題的物理提法之一：長為兩端自由的均勻細(xì)桿初始處于靜止平衡狀態(tài)，在單位體積強(qiáng)迫外力的作用下而作縱振動(dòng)，求桿的振動(dòng)規(guī)律。解：先求本征值和本征函數(shù)：視為0，得相應(yīng)齊次定解問題分離變量得本征值問題: ，.解得，本征值: ;相應(yīng)的本征函數(shù)：.再令本題的，注意這里的并非相對(duì)應(yīng)齊次定解問題的本征函數(shù)，將此形式解代入泛定方程，得將右邊也按作Fourier展開(本例已展開了)，比較系數(shù)并由初始條件得時(shí)，顯然只有0解。時(shí)，一方面方程為非齊次的，其通解為任

31、一特解與對(duì)應(yīng)齊次方程通解的迭加。另一方面，迭加系數(shù)只有兩個(gè)。此處對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，非齊次方程的特解可由“待定系數(shù)法”、“常數(shù)變異法”注以及第八章中的定理四等求得，它是 因此.由初始條件和得代入得定解問題的解:此物理問題有兩個(gè)頻率：本征頻率和強(qiáng)迫頻率 當(dāng)兩者相等時(shí)發(fā)生共振（Resonance）。注常數(shù)變異法： 設(shè)所要求解滿足的方程為常數(shù)變異法的三個(gè)步驟為1)解出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：2)為了消滅非齊次方程中的項(xiàng)，將和視為的函數(shù)，注意這其實(shí)是一種函數(shù)變換，和是對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)解。將此形式解以及其和的表達(dá)式代入非齊次方程，令項(xiàng)前的系數(shù)為零得到下面第一個(gè)方程；再對(duì)其兩邊求導(dǎo)，代入這個(gè)簡化了

32、的非齊次方程得到下面第二個(gè)方程：3)聯(lián)立上面兩個(gè)方程組解出和，再積分得和，代入即得一個(gè)特解。由“分離變量解法的啟示”和解題示范可以看出，本征函數(shù)法的中心思想是設(shè)法找到一組本征函數(shù)（其實(shí)它就存在著?。?。只要這組本征函數(shù)是正交、完備的，那么就可以:（1）直接令具有按本征函數(shù)系展開的廣義Fourier級(jí)數(shù)形式在這里，其系數(shù)是作為的函數(shù)，而非相對(duì)應(yīng)齊次定解問題的本征函數(shù)，當(dāng)然齊次方程時(shí)就是它自己了；（2）將此形式的代入泛定方程；（3）并將亦按此本征函數(shù)系展開（一定是匹配的?。?；（4）比較方程兩邊關(guān)于的系數(shù)相對(duì)于級(jí)數(shù)解中前的系數(shù)或Fourier級(jí)數(shù)前的系數(shù)，一般化即得關(guān)于的線性非齊次常微分方程（組）；（

33、5）結(jié)合有關(guān)的定解條件解出，代回展式即得問題III的解。前提是要先求出本征值和本征函數(shù)。最簡單的做法是選擇為相應(yīng)齊次定解問題的本征函數(shù)。例如振動(dòng)問題可以理解為，當(dāng)邊界條件一定時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)和自由振動(dòng)有相同的固有振動(dòng)eigenfrequencies. 還有其它辦法，例如選取業(yè)已存在的、與所求問題具有相同自變量定義域的本征函數(shù)系，作為基矢來“表示”。2.3這種本征函數(shù)系展開法（即以上五點(diǎn)）還可推廣。以具有第一類齊次邊界條件的1+1D波動(dòng)問題為例，其定解問題為：解：先求本征值和本征函數(shù)：令得相應(yīng)齊次定解問題分離變量得本征值問題:解得本征值和本征函數(shù)再令，注意這里的并非相對(duì)應(yīng)齊次定解問題的本征函數(shù) 為了

34、求得,還必須同時(shí)將已知的函數(shù)亦按此本征函數(shù)展開（一定可以做得到這一點(diǎn)）：其中展開系數(shù)亦已知。將此形式解和的展式代入泛定方程，得將此形式解和的展式代入初始條件。比較各個(gè)本征函數(shù)前的系數(shù)（包括上述方程和初始條件），得解出此初值問題的解以后方法同前，即“待定系數(shù)法”、“常數(shù)變異法”和第八章中的定理四等，得定解問題的解.2.4這種本征函數(shù)系展開法還可進(jìn)一步推廣。例如一維無源導(dǎo)熱問題：解：此無界域的本征函數(shù)系為平面波，本征值為連續(xù)的波數(shù)把看作參數(shù)，將和按此本征函數(shù) 展開（實(shí)為Fourier transforms，當(dāng)然它們要滿足Fourier transform條件）：將這些Fourier transfo

35、rms代入定解問題的方程，得其中初始條件中的展開系數(shù)為已知，而展開系數(shù)滿足上述定解方程。這個(gè)定解方程的解為 因?yàn)?，并利用即和卷積定理，得的反Fourier transform，即一維無源導(dǎo)熱問題的解為實(shí)際上，這就是第十一章中（不要講解）的Fourier transform方法。注(1): 方程在無界域的本征函數(shù)為平面波，本征值為連續(xù)的波數(shù) Fourier transform時(shí)需要知道和的卷積。否則只能分立化，見注(2)，再取注(2): 方程在有界域的本征函數(shù)為，本征值為分立的將和按此本征函數(shù)展開：其中展開系數(shù)已知，而展開系數(shù)待定。將此形式解和已知函數(shù)的展式代入泛定方程，由的正交性，即比較上述方

36、程兩邊的系數(shù)，我們得到關(guān)于的線性代數(shù)方程組，解此代數(shù)方程組以后，就得出問題的解。一來這是級(jí)數(shù)解的推廣，二來這是物理問題的最一般、最常用的“表示”理論和數(shù)值解法。注(3): 分立能級(jí)時(shí)本征函數(shù)的正交、歸一性(為權(quán)函數(shù))：連續(xù)能級(jí)時(shí)本征函數(shù)的正交、歸一性：2.5對(duì)于有界域問題，本征值為分立譜，本征函數(shù)在分立的Hilbert空間為正交、完備、歸一函數(shù)系。例如在多體問題中，研究Fermi體系的超導(dǎo)與超流時(shí)，假設(shè)多體系統(tǒng)由兩分量的Fermi氣體組成。當(dāng)Fermi子之間存在吸引作用時(shí)，兩分量Fermi原子仍為Fermi子，其多體效應(yīng)由Cooper對(duì)來體現(xiàn)，F(xiàn)ermi子集體合作理論就是著名的BCS(Bard

37、een, Cooper,and Schrieffer)超導(dǎo)理論。當(dāng)Fermi子之間存在排斥作用時(shí)，由于兩體束縛能的出現(xiàn)，兩分量Fermi原子組成廣義Cooper對(duì)(Bose子)，從而發(fā)生BEC(Bose-Einstein condensation).今天的實(shí)驗(yàn)條件已能夠連續(xù)調(diào)控原子之間的相互作用強(qiáng)度，從而發(fā)生BCS-BEC crossover(渡越).在1D情況下，勢相互作用的BCS-BEC crossover模型是嚴(yán)格可解的（Bethe ansatz：不碰，自由，平面波，F(xiàn)T；碰，波函數(shù)不連續(xù)）。動(dòng)量空間的密度滿足Fredholm積分方程(含參數(shù))：與相互作用強(qiáng)度有關(guān). NC： How to

38、 do FT in the finite space?求解這個(gè)積分方程的有效方法，就是選擇一組正交、完備、歸一函數(shù)系，將其展開，并求其系數(shù)即可。能夠使動(dòng)量空間密度的收斂性特別好的本征函數(shù)系是 假設(shè) 其中展開系數(shù)待求。同時(shí)將積分核亦按展開：其中展開系數(shù)為將這些展式代入Fredholm積分方程，我們有由Legendre多項(xiàng)式的正交性，即比較上述方程兩邊 的系數(shù)，我們得到 求此代數(shù)方程組可得計(jì)算精度與有關(guān)，是和的函數(shù)。總之，解為沖量法（只適用于非穩(wěn)定問題）（不要求）為求 先解 解出后，再將其中換成.結(jié)果：.解題示范：先解 解得 .用換，得. 結(jié)果：六、Sturm-Liouville型方程的本征值問題

39、用分離變量法求解定解問題的核心是本征值問題尋找業(yè)已存在的正交完備系。有了此本征值和本征函數(shù)，一來可解許多類別的其它物理數(shù)學(xué)問題，二來物理學(xué)家的目標(biāo)就是探求、表示和解釋依此表征的物理現(xiàn)象的本質(zhì)。例如第I類邊界條件：它的本征值和本征函數(shù)分別是和 . 再如第II類邊界條件： 它的本征值和本征函數(shù)分別是 和. 還有自然條件：它的本征值和本征函數(shù)分別是和.1本征值問題的一般提法. 對(duì)于二階線性齊次方程： （*）以函數(shù)即乘其兩端以后，方程總可以寫成這種形式的方程稱為Sturm-Liouville型方程，其中是一個(gè)參數(shù)，并且物理上稱為權(quán)函數(shù)，例如圓系面元的；球系體元的（方向）和（方向）。把方程左邊中的三項(xiàng)，即和項(xiàng)，寫成這種形式是為了強(qiáng)調(diào)這個(gè)方程是用分離變量法從物理上的偏微分方程得到的。例如振動(dòng)(含指數(shù)減少/增長)方程和Legendre方程：一般的Sturm-Liouville型方程，在一定的邊界條件下，只有當(dāng)參數(shù)取某些特定值時(shí)才有非零解，這種值稱為本征值，而相應(yīng)的非零解成為問題的本征函數(shù)。要使Sturm-Liouville型方程構(gòu)成本征值問題需要附加什么樣的邊界條件？對(duì)于，通常有三種提法：（1）時(shí)，則要附加齊次邊界條件，這包含了三類齊次邊界條件，即第I、II、III類齊次邊界條件.（2）時(shí)，可附加周期邊界條件.例如， 它的本征值和本征函數(shù)分別是；.或 ;. 有界區(qū)域：注：當(dāng)時(shí)，一