復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法講義04解析延拓、函數(shù)和函數(shù)

1、PAGE Chapter 4 解析延拓 函數(shù)和函數(shù)解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性和解析函數(shù)的唯一性零點(diǎn)的定義：設(shè)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析，如果，則稱(chēng)為的零點(diǎn)。設(shè) 若，則必有， 此時(shí)，稱(chēng)為的m階零點(diǎn)。相應(yīng)地， 零點(diǎn)的階數(shù)都是確定的正整數(shù)在函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)，不可能有分?jǐn)?shù)次的零點(diǎn)。零點(diǎn)的孤立性：解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性定理：設(shè)為的零點(diǎn)，若不恒等于，且在包含在內(nèi)的區(qū)域內(nèi)解析，則必能找到圓，使在圓內(nèi)除外，無(wú)其它零點(diǎn) 在多值非解析函數(shù)中，雖然為零點(diǎn)，但是又是枝點(diǎn)。證明：設(shè)為的階零點(diǎn)，則，其中解析，且 由在連續(xù)，即，任給，存在，使得當(dāng)時(shí)， 不妨取，由于，則得，由此即證得在內(nèi)除外無(wú)其它零點(diǎn)。推論1：設(shè)在D：內(nèi)解析，若在D內(nèi)存在的

2、無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，且，但，則在D內(nèi)恒為證明：在D內(nèi)連續(xù)， 若取的一個(gè)特殊序列，即，當(dāng)然仍有， 而，故，即為的零點(diǎn)，并且是的非孤立零點(diǎn)（即零點(diǎn)的極限點(diǎn)）。在的鄰域中總存在無(wú)窮多個(gè)的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)的孤立性原理，必有推論2：設(shè)在D：內(nèi)解析，若在D內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)的一段弧或含點(diǎn)的子區(qū)域g，在上或內(nèi)，則在整個(gè)區(qū)域D內(nèi)這個(gè)推論是顯然的，因?yàn)樵谏匣騡內(nèi)總能找到一個(gè)以為極限點(diǎn)的序列，且推論3：設(shè)在D內(nèi)解析，若在D內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)的一段弧或含點(diǎn)的子區(qū)域g，在上或g內(nèi)，則在整個(gè)區(qū)域D內(nèi)（做一些相互交疊的圓，即得）。解析函數(shù)的唯一性：解析函數(shù)的唯一性定理：設(shè)在區(qū)域D內(nèi)有兩個(gè)解析函數(shù)和，且在D內(nèi)存在一個(gè)序列， 若的一個(gè)極限點(diǎn)也落在D

3、內(nèi)，則在D內(nèi)證明：只需考慮，由上面的推論一，即可得，即推論1：設(shè)和都在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)的一段弧或一個(gè)子區(qū)域內(nèi)相等，則在D內(nèi)例如，在全平面是解析的，又因?yàn)?，所?推論2：設(shè)和都在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)某一點(diǎn)滿(mǎn)足，則在D內(nèi)由上面的條件可知，至少在的一個(gè)鄰域內(nèi)，和有相同的Taylor級(jí)數(shù)表示式，因此在的這個(gè)鄰域內(nèi)， 由推論1，在區(qū)域D內(nèi)，二、解析延拓1定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，而在與的公共區(qū)內(nèi)，則稱(chēng)為在內(nèi)的解析延拓；反之，為在內(nèi)的解析延拓。2用Taylor級(jí)數(shù)進(jìn)行解析延拓設(shè) ：在內(nèi)一點(diǎn)，如，我們有 再構(gòu)造顯然它的解析區(qū)域：在，由推論2，有，因此它們互為解析延拓。 ，這樣的定義

4、域就擴(kuò)大為 事實(shí)上， ，即和只不過(guò)是同一個(gè)函數(shù)在不同區(qū)域的表達(dá)式。求出無(wú)窮級(jí)數(shù)的和函數(shù)是一種最直截了當(dāng)?shù)姆椒ā? 解析延拓并非總能進(jìn)行。如，它在的圓周上處處是奇點(diǎn)。3用函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行解析延拓-函數(shù) , 函數(shù)，或稱(chēng)第二類(lèi)Euler積分。 當(dāng)時(shí)， (分部積分可得，高等數(shù)學(xué)知識(shí))。 定義復(fù)變量的函數(shù):, 因?yàn)楸环e函數(shù)可能是多值的，約定正實(shí)軸上： 可證，在右半平面是解析的，下面我們進(jìn)行解析延拓。因?yàn)椋?又因?yàn)樵诮馕?，那么和在也解析?所以，或 . 注意到在是解析的，可定義 .這樣，就從解析延拓到. This is also a RR.類(lèi)似的，可將其延拓到整個(gè)復(fù)平面。一般地，定義 .這樣定義的在全平面除外處處解析，是它的單極點(diǎn)。在整個(gè)復(fù)平面滿(mǎn)足 函數(shù)的性質(zhì)：1). ; 2). ; 3). ;4). 5). 4函數(shù)（第一類(lèi)Euler積分） 由 得 且約定正實(shí)軸上：， 可以證明函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系見(jiàn)教材第四章p.62 式(4.24) 的證明： .根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，上式在全平面成立（）.下面證明非線性變換:這里