復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法講義01復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

1、PAGE Chapter 1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)一、復(fù)數(shù)的基本概念 (Basic concepts of complex number)形如(，)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。（兩元素兩算子與四元素四算子）復(fù)數(shù)（Complex number）的三種形式：1) ，（）代數(shù)式：;（缺點：無法表示多值函數(shù)的高相位）三角式：;（極坐標(biāo)系下的表示）指數(shù)式：， 其中 . 稱為歐拉公式。2) 一些術(shù)語（terminology）和符號(notation):, 實部（Real part）, ，虛部（Imaginary part）.，模（Modulus）, 稱為幅角（Argument），記作. 而將滿足或的值稱為幅角的主值或主幅角，

2、記為，因此有 . 當(dāng)取時，有關(guān)系3) ，稱為的復(fù)共軛或共軛復(fù)數(shù)(Complex conjugate of )，當(dāng)然，也是的復(fù)共軛。注意：* 復(fù)數(shù)無大小。但它們的模之間可以比較大小。*的充要條件為(單值可以，多值時沒有定義幅角); (可以)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)平面（Complex plane）：通過直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系將平面上的點或與復(fù)數(shù)或做成一一對應(yīng)，此時的平面稱為復(fù)平面, 其自由矢量為（討論：在哪里？）復(fù)數(shù)的運算規(guī)則：設(shè) ，.1) 加法： 滿足交換律和結(jié)合律。減法：.加減法的幾何解釋與向量加減法相似，三角形法則（自由矢量，可以平移）。2) 乘法：（）和多項式乘法一樣, 乘積的模=模的乘積。，乘

3、積的幅角=幅角的和。特別地，.乘法的幾何解釋：在0 x軸上取單位線段0I， 作和相似，那么P點就表示乘積 這是因為 3) 除法：假設(shè), ，.幾何解釋（）：先看(即設(shè))，若，過點作射線Oz的垂線，交單位圓周于T，過T作單位圓周的切線，這條切線與Oz的交點就是，而它關(guān)于軸的對稱點為. 設(shè)點到點的距離為，則圖示三個直角三角形之間存在如下關(guān)系：解得 若，只需先作切線，再作垂線。若，.4) 整數(shù)冪：,De Moivre公式。（X）復(fù)數(shù)運算的一些基本性質(zhì)：（兩個重要不等式）1）， 三角形兩邊之和大于第三邊;， 三角形兩邊之差小于第三邊。證明：利用, 2）.3）. .復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點：考慮一個半徑為R的球面

4、S（），點(0,0,0)稱為南極，與復(fù)平面的原點重合，點(0,0,2R)稱為北極，記為N. 對于C中的任一有限遠(yuǎn)點，它與N連接的直線只與S交于一點反之，球面S上任意一點（N點除外），它與N連接的直線也只與C交于一點. 所以，除N點外，球面S上的點和復(fù)平面C上的點都是一一對應(yīng)的。對于N點，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，因此在復(fù)平面C中引進(jìn)一個理想點，作為與N對應(yīng)的點，稱為無窮遠(yuǎn)點，記為 加上無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面，也叫閉復(fù)平面，記為不包含無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面C稱為有窮復(fù)平面，也叫（開）復(fù)平面。這樣，與S建立起來的一一對應(yīng)，稱為球極射影。S稱為復(fù)球面。注意：* 無窮遠(yuǎn)點只有一個，其模為，而幅角是不確定的。*

5、同樣對于點，其模為0，幅角是不確定的。*：作變換，或復(fù)球面均是就大而言，其中為N與點之間的距離。二、復(fù)變函數(shù)（Functions of complex variable）1. 區(qū)域的概念（復(fù)習(xí)）：點集E：由復(fù)數(shù)點組成的集合。例如，表示以原點為圓心，半徑為1 的圓（單位圓）的內(nèi)部。，表示以為焦點，半長軸為2的橢圓。點的鄰域：對于實數(shù)，滿足條件的點的全體稱為點的鄰域，記為。點的鄰域：滿足條件（R是正實常數(shù)）的所有點z的集合，即以點為圓心，R為半徑的圓的外部，記為。點集E的內(nèi)點：設(shè)平面上給定一點集E，如果及其某鄰域的點全部屬于E，則稱為點集E的內(nèi)點。點集E的外點：設(shè)平面上給定一點集E，如果及其某鄰域

6、的點全部不屬于E，則稱為點集E的外點。點集E的邊界點：設(shè)平面上給定一點集E，如果的任一鄰域中都含有E和非E的點，則稱為點集E的邊界點。區(qū)域D：滿足下面兩條的點集稱為區(qū)域。D為開集: D中的每一點都是內(nèi)點區(qū)域全由內(nèi)點組成；D是連通集: 對于D中的任意兩點，總可以用某一曲線段連接起來，而這條曲線上的所有點都屬于該點集區(qū)域內(nèi)點連通。閉區(qū)域：由區(qū)域D及其全部邊界點所組成的點集，閉域D通常記為.單連通域：在連通域D中任作閉曲線，若該曲線內(nèi)部的點全部屬于D，則稱D為單連通域。否則稱D為復(fù)連通域?。ㄕ堄懻撝。┯薪缬駾：若存在有限大的圓，使得，則稱D為有界域，否則為無界域 （有界域離散量子數(shù)無界域連續(xù)量子數(shù)

7、）。復(fù)變函數(shù)：復(fù)變函數(shù)定義：若對于復(fù)平面上區(qū)域D中的每一個復(fù)數(shù)，按照一定規(guī)律，都有一個（或幾個）復(fù)數(shù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為的復(fù)變函數(shù) (單值函數(shù)（或多值函數(shù)）)，區(qū)域D稱為定義域。復(fù)變函數(shù)有兩種表示形式：, （）, 均為實變量的二元實函數(shù)。例如： （1） 平移變換 （2） 旋轉(zhuǎn)變換 （3） 縮放變換 （4） 設(shè)，三步：1/旋轉(zhuǎn)；2/縮放；3/平移.（5） （廣義）反演變換。如果,則 就是的復(fù)共軛；如果與是相同的量綱（例如長度），則亦具有相同的量綱。(2) 復(fù)變函數(shù)的極限：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，如果對，都，（隱含，和）使得對于任意滿足條件的復(fù)數(shù)，都有，那么復(fù)數(shù)（有限）稱為函數(shù)當(dāng)趨于時的極限

8、，記為. 如果復(fù)數(shù)無限，則稱函數(shù)在處發(fā)散（divergence）。設(shè)，則.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)：，當(dāng)，恒有，那么稱函數(shù)在點連續(xù)（在點鄰域連續(xù)） 等價定義：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，那么稱函數(shù)在點連續(xù)，如果函數(shù)在區(qū)域D上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域D上是連續(xù)的。注：在處連續(xù)均在處連續(xù)。， ，對任何，只要，且，恒有，那么稱函數(shù)在上一致連續(xù)等價定義：如果， ，只要，恒有，那么稱函數(shù)在上一致連續(xù)。注：* 函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)，一定在D上連續(xù)。*連續(xù)定義中的不僅與有關(guān)，還與點有關(guān)。一致連續(xù)定義中的只與有關(guān)，與點無關(guān)。例如，在區(qū)域上連續(xù)，但不一致連續(xù)。例：求函數(shù) 在的極限，并判斷在該點的連續(xù)性。解：

9、因為， ，因此，又所以，在的極限存在，并連續(xù)。例：求函數(shù) 在的極限，并判斷在該點的連續(xù)性。解：設(shè)，則，顯然，在點的極限存在并連續(xù)， 然而，不存在，事實上，令，有，對于不同值，極限不同，故知在點的極限不存在。所以，在的極限不存在。（4） 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，當(dāng)z在的鄰域內(nèi)沿一切方向、按任何方式趨于點時，即當(dāng)時，若極限具有同一有限值，則稱函數(shù)在點可導(dǎo)，稱此極限值為在的導(dǎo)數(shù)，記為或.注意:* 與的方式無關(guān);*求導(dǎo)最多有兩個方向，而可有多個方向。 *是偏導(dǎo)，是全導(dǎo)。復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件Cauchy-Riemann(C-R)條件：設(shè)在點可導(dǎo)，則,在處必定滿足.證明： 在點可導(dǎo),根

10、據(jù)定義， 存在，并且與的路徑無關(guān)。 下面選擇兩個特殊路徑：首先沿平行于實軸的直線（即為常數(shù)），,然后沿平行于虛軸的直線（即為常數(shù)），,既然在點可導(dǎo),那么上面兩個極限應(yīng)相等,于是簡記為.Cauchy-Riemann條件不充分，例如： 在 附近，我們有 顯然的定義多余。雖然 這不是固定點的導(dǎo)數(shù)，而是嚴(yán)格意義下的 而因此，附近不可導(dǎo)！ (6) 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：在點可導(dǎo)的充要條件是:a),在處具有一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R條件必要條件;b),在處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R條件充分條件.證明：假設(shè), 在處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此, 在處可微，即 其中是數(shù)量級比更高階的無窮小量，即. (由假設(shè)知)

11、 存在可導(dǎo)。反之，要存在，則需要存在并且連續(xù)（有極限且鄰域可導(dǎo)），同理（反用CRCs）存在并且連續(xù)充分條件。(7)求導(dǎo)法則：與實函數(shù)的求導(dǎo)法則、公式相同。例:判斷何處可導(dǎo)。解：，,，,由C-R條件，得，.解得，表明w除點外處處不可導(dǎo)，其次，四個偏導(dǎo)數(shù)在點存在且連續(xù)，故在點可導(dǎo)。三、解析函數(shù)（Analytic functions） 1定義:在及其某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，稱在點解析。 在區(qū)域D內(nèi)處處解析稱為在區(qū)域D內(nèi)解析。 * 在區(qū)域D內(nèi)解析在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)。* 奇點（sinqularity）: 函數(shù)的不可導(dǎo)點稱為該函數(shù)的奇點。如是的奇點，亦是的奇點。2函數(shù)解析的充要條件：如果, 在區(qū)域D內(nèi)具有一階連

12、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（此條件可放寬為：在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)），且滿足C-R條件，則在D內(nèi)解析。3. 解析可導(dǎo)的必要條件：存在且滿足CRCs；充分條件：存在和連續(xù)且滿足CRCs.例：研究函數(shù) 的可導(dǎo)性、解析性。解：，.因為 ，且于全平面連續(xù)，故于全平面（當(dāng)然不包括，此函數(shù)在無定義）處處可導(dǎo)，處處解析。又，其導(dǎo)數(shù)為其本身。注：.3解析函數(shù)的簡單性質(zhì)：同一區(qū)域D上的兩個解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為解析函數(shù)。解析函數(shù)的實部等值線與虛部等值線（為實常數(shù)）相互正交。Grade in 3D real space ():.For examples, see below.若在區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)有， ,即它的實部

13、和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方程：,且稱, 為共軛調(diào)和函數(shù)。4已知實部 或虛部 求解析函數(shù)： C-R條件使得解析函數(shù)的實部和虛部相互關(guān)聯(lián)。 例：已知某一個解析函數(shù)的實部，且, 求此解析函數(shù)。解法一：，因此，由C-R條件，把作為參數(shù)，積分($)得 為待定函數(shù).再由，得 ，積分($)得（為待定常數(shù)）.所以 .令，即，得，.于是，滿足所給條件的解析函數(shù)為.* 當(dāng), 為有理函數(shù)時，令，就可以把解析函數(shù)化成的形式。 這是因為有理函數(shù)總可以寫成泰勒級數(shù)：反過來用一次二項式展開有， 其中與之間存在二項式展開系數(shù)的關(guān)系。故 并且 當(dāng)區(qū)域時此定理仍然成立。解法二：Math：有

14、全微分形式；Phys：要求是態(tài)函數(shù)。 配成全微分了，故有 .($):，積分與路徑無關(guān) 這是因為解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，因此, 有任意階偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)；在此基礎(chǔ)上此曲線積分滿足與路徑無關(guān)的條件：(See Adv. Math. Or Chapt 2 Cauchy Theorem，)；這是因為，所以此條件在這里成立.5解析函數(shù)的物理解釋空間無源、無旋的平面標(biāo)量場： 標(biāo)量場(梯度); 矢量場(旋度); (散度). Maxwells Eqs.: 線性各向同性介質(zhì)： 物理問題：無源、無旋平面標(biāo)量場。例如，靜電場、溫度場和流場等，它的勢滿足Laplace 方程（see part II），. 如果它與三維空間的某

15、一方向（如方向）無關(guān)，那么，這種場稱為平面場。此時滿足二維Laplace方程，. 梯度、散度和旋度的定義see chapter 12. 解析函數(shù)的實部（或虛部）可以解釋為某無源平面靜電場的勢。解析函數(shù)的實部和虛部之梯度是相互正交的，而我們知道平面靜電場的等勢線簇和電力線簇是相互正交的， 因此，如果我們將解析函數(shù)的實部或虛部 解釋為某平面靜電場的勢，則其虛部 或?qū)嵅繉⒚枋鏊碾娏€。這些等勢線族和電力線族是無旋的射線族，磁力線族才是有旋的同心圓族。 例1：考慮解析函數(shù)（其中）所對應(yīng)的平面靜電場，即問它是什么樣平面靜電場的復(fù)勢？解： , 1） 如果將它的實部看作靜電場的勢，那么其虛部則表示電力線簇

16、（），這是以原點為端點的一組射線（如圖中的虛線所示）。等勢線簇為，即，它是以原點為圓心的一組同心圓（如圖中的實線所示）。物理意義：這是與軸重合的無窮長均勻帶電直導(dǎo)線周圍的靜電場。由高斯定理和容易求得線電荷密度為 2）如果將它的虛部看作靜電場 的勢，那么其實部，即則表示電力線簇，（如圖中的虛線所示），等勢線簇為，（如圖中的實線所示）。這是以正實軸為割線，上岸電勢為0，而下岸電勢為時的平面靜電場。（Home Work）例2：已知一平面靜電場的電力線簇C是拋物線簇 ，求等勢線簇，并求此電場的復(fù)勢。（見習(xí)題1.11）解：從電力線方程解出參數(shù)，（，因此取“+”）。不可以直接令，這是因為不是調(diào)和函數(shù)，即它

17、不滿足Laplace方程，而解析函數(shù)要求是調(diào)和函數(shù)。那么，如何尋找呢？做法如下：令，取而是的函數(shù)，是參數(shù)，是參數(shù)方程的解；正因為如此，如果滿足（即等值線簇），那么一定有（另外一個等值線簇），此正好是題意給定的電力線簇一種新方法。這樣,.同理，,于是，即 ，或 .解之得，. 因此.下面求，改用極坐標(biāo)系，又極坐標(biāo)下的C-R條件（Home Work），. 于是，所以 ，即 . 由此解得等勢線族: ;電力線族: . 復(fù)勢為.三、初等函數(shù)（Elementary functions）整數(shù)冪函數(shù)： （）.當(dāng)時，在除了點外處處解析;當(dāng)時，為常數(shù)，在閉平面全解析（在閉平面解析的函數(shù)一定為常數(shù), ，并且一般函數(shù)總

18、是可以展開成級數(shù)的，只能為常數(shù)）; 當(dāng)時，在全平面解析，奇點：在不可導(dǎo)，不定）。2. 指數(shù)函數(shù)：，在全平面解析，奇點：.和實函數(shù)形式一樣，其導(dǎo)數(shù)為，它是周期為的周期函數(shù)，即 .三角函數(shù)：，.（并非之線性組合）因為在全平面解析，所以，和也在全平面解析，是它們唯一的奇點。和實三角函數(shù)一樣，和都是周期為的周期函數(shù)。和實三角函數(shù)不同，和的?？梢源笥?:其他三角函數(shù)，可以用和定義，形式和實數(shù)時一樣。如 等等。實三角函數(shù)中的各種恒等式對于復(fù)三角函數(shù)仍成立，如 4. 雙曲函數(shù)：，全平面解析，奇點：.雙曲函數(shù)和三角函數(shù)之間可互化,如，,它們的導(dǎo)數(shù)為：，四、多值函數(shù)(Multi-value functions)

19、：1根式函數(shù)正整數(shù)冪函數(shù)的反函數(shù)（實數(shù)，復(fù)數(shù)）.多值函數(shù),對任意（除外），有個與之對應(yīng)。為了更清楚地看出多值函數(shù)的性質(zhì)，現(xiàn)在仔細(xì)分析一下函數(shù).如果記，根據(jù)定義有，所以，因此，對于給定的一個值，有兩個值與之對應(yīng)： （相當(dāng)于上面的）; （相當(dāng)于上面的）.這里，函數(shù)的多值性來源于幅角的多值性，準(zhǔn)確地說，來源于宗量（而不是自變量）幅角的多值性。多值性的表現(xiàn)則是的幅角。為明確起見，可以把表示為：，.為了更進(jìn)一步說明多值函數(shù)的性質(zhì)，現(xiàn)在不妨規(guī)定好平面上某一點的值，而后研究沿一定曲線連續(xù)變化時，相應(yīng)的值的連續(xù)變化。當(dāng)沿一定簡單閉曲線運行一周回到原處時，我們發(fā)現(xiàn)，可能出現(xiàn)兩種情形。一種是閉曲線內(nèi)不包含點，當(dāng)運

20、行一周回到原處時，也還原，因此對應(yīng)的值不變；另一種情形是閉曲線內(nèi)包含點，當(dāng)運行一周回到原處時，增加，而在平面上，值并不還原?，F(xiàn)象1：從上面的分析可以看出，點在多值函數(shù)中具有特殊的地位：當(dāng)繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，對應(yīng)的函數(shù)值不還原；而當(dāng)不繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，函數(shù)值還原。因此我們把點稱為多值函數(shù)的支點(這里是一階支點，因為繞兩圈后還原)?，F(xiàn)象2：同樣可以看出，也是多值函數(shù)的支點。這是因為，如果作一個足夠大的閉曲線，當(dāng)沿這個閉曲線變化一周回到原處時，值一定不還原（只要這個閉曲線足夠大，就一定會把點包含在內(nèi)）。而這樣的閉曲線，又可以看成是繞點轉(zhuǎn)一圈。也就是說，當(dāng)繞點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，函數(shù)值也不還原。因

21、此點也是的支點。解決辦法：這樣看來，為了完全確定多值函數(shù)的函數(shù)值與自變量值之間的對應(yīng)關(guān)系，我們可以采用規(guī)定宗量的幅角變化范圍。當(dāng)宗量的幅角限制在某個周期內(nèi)時，的幅角也就唯一地確定，因而值也就唯一的確定了。例如，規(guī)定或，等等。作為一個例子，設(shè)，規(guī)定，求，和.解：. 因為，所以 . . . .顯然，在規(guī)定幅角下，的幅角一定限制在，即被限制在平面的上半平面。在這樣的限制下，的值與自變量值之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。如果規(guī)定，則，將限制在下半平面，值與自變量值之間又有新的一一對應(yīng)關(guān)系。在，或，的規(guī)定下，還會重復(fù)出現(xiàn)這些結(jié)果。由于它們并不給出新結(jié)果，所以就不必討論了。這樣看來，只要適當(dāng)規(guī)定宗量的幅角變化范圍，

22、就可以將多值函數(shù)單值化。幅角變化的各個周期，給出多值函數(shù)的各個單值分支。每個單值分支都是單值函數(shù)，整個多值函數(shù)就是它的各個單值分支的總和。在上面的討論中，多值函數(shù)有兩個單值分支，分別是的上半平面和下半平面：給出單值分支I：，給出單值分支II：.將多值函數(shù)劃分為若干個（甚至無窮個）單值分支，其實質(zhì)就是限制的變化方式，在上面的例子中，就是限制不得繞點或點轉(zhuǎn)圈。這種規(guī)定可以用幾何方法形象化地表現(xiàn)出來（Riemann面）：在平面上平行于實軸從點向右作一條割線，一直延續(xù)到點。如果規(guī)定在割線的上岸（接近這個實軸），就給出單值分支I；如果規(guī)定在割線的下岸，就給出單值分支II。這兩個單值分支合起來，就得到一個

23、完整的平面，即整個多值函數(shù)。割線的作用就是限制的變化方式。由于割線連接了多值函數(shù)的兩個支點，和，因此，不再能夠繞一個支點轉(zhuǎn)圈了（這時，繞兩個支點轉(zhuǎn)一圈還是允許的）。更進(jìn)一步地，我們可以將兩個割開的平面粘接起來，第一個面的割線下岸（）和第二個面的割線上岸（）相連，第一個面的割線上岸（）和第二個面的割線下岸（）相連。這就構(gòu)成了二葉Riemann面。對于函數(shù)來說，二葉Riemann面上的點和平面上的點是一一對應(yīng)的。這種做法的好處是，的變化路線不受限制，可以從一個單值分支運動到另一個單值分支。因此，只要規(guī)定了在某一點的值，并明確說明的連續(xù)變化路線，我們就可以得到唯一確定的值。注意： * 單值分支的劃分

24、不是唯一的，或者說，宗量幅角變化范圍的規(guī)定不是唯一的。例如，也可以規(guī)定：和，（即相當(dāng)于從點沿負(fù)實軸方向到點作割線），或和，（即相當(dāng)于從點沿虛軸正方向到點作割線）。*割線的做法多種多樣，甚至不必是直線。在一般情況下，割線可能不止一條，也不一定需要用一條割線把全部支點都連接起來。* 支點必為奇點。這是因為在支點的鄰域內(nèi)無法把各單值分支分開，支點對各單值分支來說是共有的，這點的導(dǎo)數(shù)無法定義。*奇點不見得是支點。例如是奇點但不是支點。多值復(fù)變函數(shù)不能象實分析中那樣分解為多個獨立的單值函數(shù)，而是通過Riemann曲面單值化。關(guān)于Riemann曲面，可以用“時鐘面”來幫助理解。即問當(dāng)長針指在“1-12”圈

25、的“3”時短針指在“0-12”的何處？這一關(guān)系可理解為多值（12個值）函數(shù)。為指出短針的確切位置，可如此分析：長針走12圈，短針走一圈。假定長針從“12”開始走完第一圈進(jìn)入第二圈時不是原來的平面，而是第二個平面。再第三、第四圈亦如此，直至十二個平面。長針走第13圈時才進(jìn)入第一個平面，這時短針也回到原來的位置。雖然實際上長針?biāo)叩倪@十二個平面是重疊的，但不是孤立的，而成螺旋狀，中心點（以及點）為這十二個面所共有。同時想象第十二平面的終了與第一平面的開始連接起來，這樣一個幾何實體（從正面看是一個平面，從側(cè)面看有十二葉）就是一個Riemann曲面。中心點（與點）稱為支點，且為階支點，在Riemann

26、曲面上函數(shù)單值。例如，長針指在第5葉的“3”上，則短針必然在“4”與“5”間的某處。2對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)對給定的z，滿足方程的稱為對數(shù)函數(shù)，記為.令，就得到.所以，（）.多值函數(shù)，有時也稱為其主值。其多值性的來源是宗量幅角的多值性，多值性的表現(xiàn)則是函數(shù)值的虛部。對應(yīng)每一個值，有無窮多個值，它們的實部相同，虛部相差的整數(shù)倍。的支點是和.作割線連接和，并規(guī)定割線一側(cè)的值，即可得到的單值分支。有無窮多個單值分支，相應(yīng)地，的Riemann面是無窮多葉的。每個單值分支內(nèi)，都有.雙曲函數(shù)還有，奇點：，以及，奇點：. 3一般冪函數(shù)：（任意復(fù)常數(shù)），多值函數(shù)，支點：.4反三角函數(shù)：;（雙多值函數(shù)，只能取一個）.（單多值函數(shù)）例1判斷函數(shù)的支點，其中是不同的復(fù)常數(shù)。解：分