初中數(shù)學北師大九年級下冊（2023年新編） 圓垂徑定理教學設(shè)計

1、第三章 圓垂徑定理邛崍市寶林鎮(zhèn)初級中學校 劉蓉一、教材分析本章是同學們在學習了直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)和證明的基礎(chǔ)上，來探索一種特殊的曲線型圖形圓的有關(guān)性質(zhì)。要求學生經(jīng)歷探索圓的有關(guān)結(jié)論的過程，進一步認識和理解研究圖形性質(zhì)的各種方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力。本節(jié)課的垂徑定理屬選學內(nèi)容，我查了近5年成都中考題，對這個知識考查的內(nèi)容不多，2023年第20題第（1）小問運用垂徑定理解決是很簡單的，但我看給出的參考答案都回避了運用垂徑定理的證法，而是利用平行線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和關(guān)系定理來證明。但我個人認為這節(jié)內(nèi)容還是比較重要的，這將有利于學生更好地理解圓的軸對稱性及有關(guān)復合圖形的軸對稱性。另外垂徑定

2、理與勾股定理結(jié)合進行有關(guān)弦長、半徑、弦心距、弓形高的計算可以很容易解決一些生活中的實際問題，如教材中的有關(guān)趙州石拱橋的計算問題。二、學情分析學生的知識基礎(chǔ): 上節(jié)課同學們已用旋轉(zhuǎn)的方法探索圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理，并利用全等的知識證明了在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。學生已具備了一定推理能力和說理能力.學生的經(jīng)驗基礎(chǔ): 在前面同學們已經(jīng)通過合情推理與演繹推理的方式認識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的圖形與幾何方面的活動經(jīng)驗，比如：觀察、猜想、軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及推理證明等多種手段和方法。學生的認知不足:對添加助線解決幾何問題仍感覺有點困難。根據(jù)以上兩點確定本

3、節(jié)課的教學目標及重難點如下：教學目標：1、理解圓的軸對稱性、垂徑定理及其逆定理，并會運用其解決有關(guān)問題2、通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，培養(yǎng)類比分析、猜想探索的能力3、在學習過程中讓學生感受幾何圖形的對稱美進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法教學重點：探索垂徑定理及其逆定理教學難點：運用垂徑定理及其逆定理解決有關(guān)問題教法：探索歸納法學法：觀察、猜想、證明的自主探索式和小組合作交流的方式展開學習三、教學過程設(shè)計主要包含下面四個環(huán)節(jié)：知識回顧、探究新知、課堂檢測、反思小結(jié)一、知識回顧1、請同學們回顧一下等腰三角形有哪些性質(zhì)？兩底角相等 “三線合一” 、軸對稱圖形2、如圖在OAB中， OA=O

4、B，若OMAB，則 3、如果以O(shè)為圓心，腰長OA為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？【設(shè)計意圖】從同學們非常熟悉的等腰三角形的性質(zhì)入手，創(chuàng)設(shè)一個組合圖形，結(jié)合等腰三角形與圓的對稱性，學生可判斷該組合圖形也是軸對稱圖形，為本課探索垂徑定理作好鋪墊。二、探究新知(一)探索垂徑定理：1如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M(1)該圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？(2)你能圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由【設(shè)計意圖】第（1）小問學生很容易回答，第（2）小問先讓學生獨立思考，再小組內(nèi)討論交流，然后找學生回答學生可能利用折疊操作或上節(jié)課所學的圓的對稱性得出結(jié)論，但最后需

5、引導學生進行推理證明。2.請用文字語言表述這一結(jié)論.垂徑定理： 。符號語言：CD是直徑, CDABAM=BM, .【設(shè)計意圖】引導學生自己歸納出垂徑定理，并注意三種語言的轉(zhuǎn)化。同時要給學生強調(diào)：條件中的“弦”可以是直徑；結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧。辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？【設(shè)計意圖】讓學生充分理解運用垂徑定理的兩個條件：過圓心（直徑或半徑），垂直于弦。通過說一說，讓學生掌握垂徑定理應用的條件，提高學生的學習興趣，體驗成功的喜悅?！纠?】在O中，弦AB長為8厘米，O到AB的距離為3厘米，求O的半徑?！炯磿r練習】在O中，半徑OCAB交AB于D，O的半徑為5cm，OD=

6、3cm，弦AB=_【設(shè)計意圖】讓學生及時鞏固垂徑定理，并明白運用垂徑定理時常常需要作弦心距或連半徑構(gòu)造直角三角形，為運用垂徑定理創(chuàng)造條件。(二)探索垂徑定理的逆定理如圖，AB是O 的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M.(1)此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.逆定理的內(nèi)容： 。【設(shè)計意圖】先讓學生獨立思考，然后小組內(nèi)討論交流，教師巡視個別指導，最后找學生回答；在學生回答的基礎(chǔ)上引導學生提煉并總結(jié)出垂徑定理的逆定理平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。讓學生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，找兩名學生板演

7、，其余學生在練習本上獨立完成，教師再規(guī)范(三)知識應用【例2】如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中 eq空格o(sup1(),sdo5(CD) eq空格o(sup1(),sdo5(CD) ,點0是所在圓的圓心)，其中CD=600m，E為上的一點，且OECD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑解：【設(shè)計意圖】學生有了剛才例1的經(jīng)驗之后，先放手讓學生獨立思考后在小組內(nèi)進行交流，發(fā)現(xiàn)的問題討論解決，教師可關(guān)注有問題沖突小組的討論過程，并適時予以指導和點撥，并注意對學困生的幫扶，引導他們學會運用代數(shù)方法解決幾何問題然后，抽生上臺分析，板書解題過程1題三、課堂檢測1.如圖，AB為O的直徑，CD

8、為O的一條弦，CDAB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則O的半徑為_2.如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C、D，2題AC與BD相等嗎？為什么？【設(shè)計意圖】及時鞏固本節(jié)課內(nèi)容，學生獨立完成（教者巡視指導有困難的學生），學生完成后，利用投影展示學生的作業(yè)，并根據(jù)情況進行必要的點撥。四、反思小結(jié)本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學知識？掌握了哪些數(shù)學思想方法？【設(shè)計意圖】1.引導學生從知識和解決問題用到的思想方法進行總結(jié),使知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡化，優(yōu)化學生知識結(jié)構(gòu)；2.關(guān)注學生存在的疑惑【課后作業(yè)】年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋是圓弧形，它的跨度為37.4m(弧所對的弦長)，拱高(弧的中點到弦的距離，也叫弓形高)為7.2m(1)用尺規(guī)作圖找出弧AB所在的