概率與理論分布課件

1、概率與理論分布概率與理論分布本章主要復(fù)習(xí)現(xiàn)象、事件、概率、頻率等概念 介紹小概率原理 二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等各類理論 分布的概念和性質(zhì) 標(biāo)準正態(tài)分布的概念和性質(zhì) 抽樣和抽樣分布 標(biāo)準誤的概念和作用 與下面統(tǒng)計假設(shè)檢驗有密切關(guān)系的t-分布、 x2-分布和F分布 2書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏本章主要復(fù)習(xí)現(xiàn)象、事件、概率、頻率等概念4書山有路勤為徑數(shù)理統(tǒng)計與經(jīng)典數(shù)學(xué)最大的不同之處在于：經(jīng)典數(shù)學(xué)只要計算結(jié)果，計算結(jié)果就是其目的數(shù)理統(tǒng)計也要計算，但得到計算結(jié)果不是目的，數(shù)理統(tǒng)計的目的是用計算結(jié)果來進行估計、推斷在數(shù)理統(tǒng)計中這種估計有兩樣?xùn)|西是必備的： 樣本 概率即我們必須計

2、算樣本的統(tǒng)計量，在一定的概率保證下，用所得統(tǒng)計量來估計相應(yīng)總體的參數(shù)，即用樣本來推斷總體：用一個試驗的結(jié)果來得出更廣義的、一般意義上的結(jié)論3書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏數(shù)理統(tǒng)計與經(jīng)典數(shù)學(xué)最大的不同之處在于：5書山有路勤為徑例如：收獲季節(jié)到了，我們從一個果園中隨機采摘100 個蘋果，我們很容易就可以知道這 100 個蘋果每個蘋果的平均重量，這是小學(xué)算術(shù)但作為一個果農(nóng)來說，他不僅僅希望知道這 100 個蘋果的平均重量，他更希望通過這 100 個蘋果的平均重量和大小差異（變異）知道整個果園的產(chǎn)量，知道這些蘋果的均勻程度對他的銷售的影響，甚至通過這些差異追溯以往的果園管理情況4書山

3、有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏例如：收獲季節(jié)到了，我們從一個果園中隨機采摘100 個蘋果，這里，100 個蘋果就是樣本，整個果園就是總體；100 個蘋果的平均重量就是樣本平均數(shù)，大小差異就是標(biāo)準差，計算這 100 個蘋果的平均值和標(biāo)準差就是統(tǒng)計；從 100 個蘋果知道整個果園的情況（估產(chǎn)），就是推斷；整個過程就是統(tǒng)計推斷推斷過程中，必須有概率保證，即有多大的把握5書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏這里，100 個蘋果就是樣本，整個果園就是總體；100 個蘋同樣，在畜牧上、獸醫(yī)上、水產(chǎn)上，都有類似的問題：我們作了一個試驗，總希望通過這一試驗得到一個一般性的結(jié)論期間，有

4、以下工作要作：抽樣 試驗 記錄 數(shù)據(jù)整理 統(tǒng)計 推斷 結(jié)論其中，推斷是需要有概率保證的因為我們希望知道，這種推斷是否可靠、可信度有多大、會不會犯錯誤、犯錯的可能性又有多大6書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏同樣，在畜牧上、獸醫(yī)上、水產(chǎn)上，都有類似的問題：我們作了一個因此，可以說，統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)就是概率，沒有概率和概率保證，統(tǒng)計和統(tǒng)計推斷就成了無根之木，無源之水事實上，概率在一般生活中也無處不在7書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏因此，可以說，統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)就是概率，沒有概率和概率保證，統(tǒng)計第一節(jié) 概率論初步8書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏10書山有路勤

5、為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏一、隨機現(xiàn)象和隨機事件（一）現(xiàn)象 必然現(xiàn)象（inevitable phenomenon） 不可能現(xiàn)象（impossible phenomenon） 隨機現(xiàn)象（random phenomenon）9書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏一、隨機現(xiàn)象和隨機事件11書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟（二）隨機試驗（random experiment）對隨機現(xiàn)象進行觀測，就是試驗，滿足以下三個條件的試驗即為隨機試驗（隨機試驗簡稱試驗）：1、允許在相同條件下重復(fù)2、每次試驗其結(jié)果不一定相同3、試驗前并不知道試驗會產(chǎn)生什么樣的結(jié)果10書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟

6、專業(yè)分享，敬請收藏（二）隨機試驗（random experiment）12書山（三）隨機事件（random event）試驗所產(chǎn)生的中間或終了結(jié)果就稱為事件隨機試驗的結(jié)果就是隨機事件（簡稱事件）用大寫的拉丁字母 A、B、C 等來表示事件必然事件用 U 表示；不可能事件用 V 表示11書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏（三）隨機事件（random event）13書山有路勤為徑二、事件間的關(guān)系和事件、積事件互斥事件、對立事件完全事件系、事件的獨立性12書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏二、事件間的關(guān)系14書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)三、隨機事件的概率（proba

7、bility）隨機事件的出現(xiàn)，帶有很大的偶然性；但這種偶然性也有一定的規(guī)律：有些隨機事件出現(xiàn)的可能性大一些，有些則小一些因此需要用一個數(shù)值來表示這種可能性，這一數(shù)值就是概率即隨機事件的概率就是對隨機事件可能性大小的度量對某一試驗進行 n 次重復(fù)，試驗中事件 A 出現(xiàn) a 次，事件 A 出現(xiàn)的頻率（frequency）為：13書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏三、隨機事件的概率（probability）15書山有路勤為當(dāng) n無限增大，f 將趨向于一個定值 p，p 即為隨機事件的概率：事實上，由于 n總是無限大的，因此 p 一般不可能得到，因此在實際工作中，總是將 n 充分大時的 f

8、 值近似地作為 p 值，即 n 足夠大時的頻率就是近似的概率，或用頻率值來估計概率概率也可以是一個理論值14書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏當(dāng) n無限增大，f 將趨向于一個定值 p，p 即為隨機事件的拋一個均質(zhì)硬幣，其落地時，正面朝上和反面朝上具有同等的機會，即同樣的例子還有：15書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏拋一個均質(zhì)硬幣，其落地時，正面朝上和反面朝上具有同等的機會，顯然， 即 ，必然事件的概率為 1，不可能事件的概率為 0 概率與頻率的區(qū)別和聯(lián)系：1、頻率的穩(wěn)定就是概率2、隨機事件發(fā)生的頻率是一個變量，而概率是一個常量，一個定值，或一個理論值3、頻率是概率

9、的隨機表現(xiàn)4、每一次試驗可以得到一個頻率，但希望通過一次試驗就得到概率是不可能的16書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏顯然， 即 5、如果已經(jīng)知道隨機事件A發(fā)生的概率，就可以預(yù)測事件A在將要進行的試驗中出現(xiàn)的可能性6、可以通過一個大樣本的頻率，或多個樣本的頻率來估計或預(yù)測概率17書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏5、如果已經(jīng)知道隨機事件A發(fā)生的概率，就可以預(yù)測事件A在將要小概率原理： 表示隨機事件 A是不可能事件；若 很小，如 或 等等，表示隨機事件 A 在某一次試驗中出現(xiàn)的概率很小，即不可能出現(xiàn)的概率很大，以至于可以這樣認為，在一次試驗中事件 A實際上是不可能事件

10、，即 ，這就是概率論中的小概率事件實際不可能性原理，簡稱為小概率原理小概率原理是統(tǒng)計學(xué)中進行假設(shè)檢驗的基本原理，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會碰到，也經(jīng)常應(yīng)用18書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏小概率原理：20書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享四、隨機變量作一次試驗，試驗的可能結(jié)果可以是多樣的： *有些試驗結(jié)果是幾個確定的結(jié)果，這些確定的結(jié)果可以一一列出 #有些試驗結(jié)果是一個范圍如用 x表示變量，那么 x的取值的表示：或者可用一實數(shù)來表示（*者：x=0 x=1 etc.）或者可用一個范圍來表示（#者：1.5x2.1 etc.）19書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏四、隨

11、機變量21書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享1、當(dāng)隨機變量 x 的取值是一個確定的實數(shù)，且每一實數(shù)發(fā)生的概率也是確定的，這種類型的變量就稱為 離散型隨機變量（discrete random variable）如：設(shè)生男孩為 ，生女孩為 ，則其含義是：生男孩的概率為 0.52，生女孩的概率為0.48又如： 為豬丹毒治愈， 為未治愈，則20書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏1、當(dāng)隨機變量 x 的取值是一個確定的實數(shù)，且每一實數(shù)發(fā)生的 設(shè)一個布袋里裝有1個白球、2個紅球、3個黑球、4個黃球，充分混勻， 為取得白球， 為取得紅球， 為取得黑球， 為取得黃球，則將隨機變量 x 所有可能

12、取值及其對應(yīng)的概率一一列出，可形成離散型隨機變量的概率分布列：變量 x： x1 x2 x3 xn概率 p1 p2 p3 pn21書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏 設(shè)一個布袋里裝有1個白球、2個紅球、3個黑球、4個黃球，充上例中： 從布袋中取得各色球x： 0 1 2 3概 率 0.1 0.2 0.3 0.422書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏上例中： 24書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，2、當(dāng)變量 x的取值是一個范圍，且x在這一范圍內(nèi)的概率是確定的，這種類型的變量就稱為連續(xù)型隨機變量（continuous random variable）對于連續(xù)型隨機變量

13、，研究其取某一定值的概率是沒有意義的對于隨機變量 x，若存在非負可積函數(shù)f（x），（-x+）對于任意a、b（a5 及 nq5 時接近正態(tài)分布，當(dāng) n 時，服從正態(tài)分布即正態(tài)分布是二項分布的極限41書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏而服從二項分布的隨機變量 x 的平均數(shù)為 例1：用某一常規(guī)藥物治療豬瘟病，其正常治愈率為 0.7，對 20頭罹患豬瘟的種豬用該種藥物進行常規(guī)性治療，問其中 16 頭病豬被治愈的概率是多少？此例中，p = 0.7，n = 20，m = 16該例中， 200.7 14， 2 200.70.3 4.2 2.05例2：某藥物對體外寄生蟲的正常殺滅率為 0.9，人

14、工培養(yǎng)該種寄生蟲 50 頭，用該藥物進行常規(guī)性殺滅試驗，問希望一次殺滅 48 頭的概率？此例中，p = 0.9，n = 50，m = 48該例中， 500.9 45， 2 500.90.1 4.5 2.1242書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏例1：用某一常規(guī)藥物治療豬瘟病，其正常治愈率為 0.7，對 二、泊松分布（poisson distribution）當(dāng)二項分布中的 n 、而 p 0時，二項分布將成為另一種新的分布：泊松分布（普哇松分布）即試驗（或稱觀察）次數(shù)很大、而某事件出現(xiàn)的概率很小，則離散型隨機變量 x 服從于泊松分布若隨機變量 x 的分布列為： 0 1 2 m p0

15、 p1 p2 pm 43書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏二、泊松分布（poisson distribution）45其中： （0,且np，m=0,1,2, ）而泊松分布只有一個參數(shù)：，np既是泊松分布的平均值，又是其方差標(biāo)準差為 即44書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏其中： （0,且當(dāng)隨機變量 x服從于參數(shù)為 的泊松分布時記為泊松分布的圖形決定于，1時，P(x=0)為最大，12時，P(x=1)為最大， 27 0 0 0.0071 0.639 90 245 1.00 90.0048書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏實例：在某地作破傷風(fēng)桿菌調(diào)查，取樣并

16、進行培養(yǎng)后記錄了 90 首先計算每一視野內(nèi)的破傷風(fēng)桿菌平均值，并將其暫作為值：將值代入中各式，得各個 P(x)，見上表的第四列，將各個 P(x)與總頻數(shù)相乘，即得理論頻數(shù)，即上表的最后一列如依此類推每個視野中破傷風(fēng)桿菌數(shù)大于7個的也應(yīng)計算理論頻數(shù)，即上表中的最后一行鏡檢視野內(nèi)破傷風(fēng)桿菌的分布圖見下一頁49書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏首先計算每一視野內(nèi)的破傷風(fēng)桿菌平均值，并將其暫作為值：51 頻 數(shù) 破傷風(fēng)桿菌數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 750書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏52書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏三、正態(tài)分布（normal d

17、istribution）連續(xù)型隨機變量是日常工作中最多見的一種變量，這一類變量為可加、或呈線性時，一般服從正態(tài)分布將這一類資料整理成直方圖或折線圖時，其圖形總呈中間多、兩邊少的鐘型（bell-shape）分布特征假設(shè)將樣本容量n無限擴大，分組更細，即n 組距 0，則每一組的頻數(shù)將趨向于一個定值，即一概率值，此時，呈現(xiàn)在我們面前的將是一條中間高、向兩邊均勻?qū)ΨQ下降的光滑曲線；這一類資料的概率分布就稱為正態(tài)分布51書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏三、正態(tài)分布（normal distribution）53書和正態(tài)分布相對應(yīng)的曲線稱為正態(tài)分布密度曲線用來描述這條曲線的函數(shù)稱為正態(tài)分布密

18、度函數(shù)正態(tài)分布是數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一種理論分布呈正態(tài)分布的隨機變量 x其密度函數(shù) f（x）為：上式中，為隨機變量 x 的平均值， 2 為方差， 為標(biāo)準差，任何一個正態(tài)分布均由參數(shù) 和 2 所決定52書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏和正態(tài)分布相對應(yīng)的曲線稱為正態(tài)分布密度曲線54書山有路勤為徑一個隨機變量 x 服從平均值為、方差2為的正態(tài)分布時，記為正態(tài)分布的特點是：1、正態(tài)分布曲線以直線 x為對稱，且在該處達到頂峰，x時 為最大值2、曲線有兩個拐點：在這兩個拐點處，曲線改變方向3、正態(tài)分布曲線在 x 軸上的的位置由決定，而曲線高矮、胖瘦的形狀由決定4、正態(tài)分布密度曲線向+、-無限

19、延伸53書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏一個隨機變量 x 服從平均值為、方差2為的正態(tài)分布時，記54書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏56書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏正態(tài)分布密度曲線與 x 軸所包圍的面積恒為1，即服從正態(tài)分布的隨機變量 x 在（+，-）間內(nèi)取值的概率為1而隨機變量 x 在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率也可以看成是一塊面積，這塊面積由x=a、x=b、y=0及曲線所圍成的曲邊梯形所組成即求隨機變量 x 在某一區(qū)段內(nèi)的概率就轉(zhuǎn)化成了求由該區(qū)段與相應(yīng)曲線所圍成的曲邊梯形面積的定積分：55書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏正態(tài)

20、分布密度曲線與 x 軸所包圍的面積恒為1，即服從正態(tài)分布而在討論標(biāo)準差的性質(zhì)時，曾提到隨機變量 x的分布狀況與標(biāo)準差的關(guān)系，這里我們可以用面積來表示之：56書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏而在討論標(biāo)準差的性質(zhì)時，曾提到隨機變量 x的分布狀況與標(biāo)準差而其兩邊的概率（即面積）則相應(yīng)分別為（括弧內(nèi)的為一邊面積）：0.3173（0.1584）0.0455（0.02258）0.0027（0.0014）0.05（0.025）0.01（0.005）57書山有路勤為徑學(xué)海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏而其兩邊的概率（即面積）則相應(yīng)分別為（括弧內(nèi)的為一邊面積）：標(biāo)準正態(tài)分布不同的值和值，決定了不同的正態(tài)分布密度曲線，這在實際使用中很不方便因此可將不同正態(tài)分布中的隨機變量 x 作一變換：令這一變換過程稱為隨機變量的標(biāo)準化過程 （這也是稱為標(biāo)準差的由來）x 是隨機變量，因此 u 也是隨機變量，變換后的正態(tài)分布密度函數(shù)為 稱為標(biāo)準正態(tài)分布密度函數(shù)58書山有路勤為徑學(xué)海無涯