初中數(shù)學人教八年級上冊（2023年更新）第十三章 軸對稱《等腰三角形中的分類討論》教案

1、等腰三角形中的分類討論教案永昌中學 王晶一、教學目標：1、讓學生了解“分類討論思想”的意義；理解分類討論的步驟以及分類討論法解題必須遵循總的原則,感受“分類討論思想”在解決特殊三角形問題中的作用。2、通過“情景一感知一概括一運用一反思”的途徑培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、歸納、概括、發(fā)散以及進行合情推理的能力：3、體驗數(shù)學學習活動中的成功與快樂，增強他們的求知欲以及學好數(shù)學的信心。二、教學重難點：重點：讓學生逐步領會等腰三角形中的分類討論思想的應用，建構用分類討論思想解決問題的模型。難點：概括得到用分類討論思想解決問題的步驟，以及提高練習。教學方法與教學手段：通過從等腰三角形的角、邊以及銳角、直

2、角、鈍角三角形等多方面去分類討論，在教學過程中使用多媒體、PPT輔助教學。四、教學過程：(一)、課前熱身1、(2023廣元)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80，則另外兩個角的度數(shù)是 。 2、(2023煙臺)等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么它的底邊長為 。設計說明：用簡單的中考題引出本節(jié)課的課題等腰三角形的分類討論，讓學生能在這些題中初步回憶并感受分類討論思想在數(shù)學問題中的應用。(二)、探索新知思維點撥1（關于角的分類討論）例1、若等腰三角形的一個外角為100，則其頂角為 。變式1、一個等腰三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為 。設計說明：對一個等腰三角形，若條

3、件中并沒有確定頂角或底角時，應注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形內(nèi)角和定理求解.解析：這類題一共分三種情況： 已知內(nèi)角是銳角時，比如，一個內(nèi)角是80角，它既可以是底角，也可以頂角. 已知一個內(nèi)角是直角時，即90，它只能是頂角. 已知一個內(nèi)角是鈍角時，比如，100，它只能是頂角不能是底角.因此，涉及等腰三角形的內(nèi)角或者外角的問題的時候，注意看清題目中這個內(nèi)角是頂角還是底角，這個外角是頂角的補角還是底角的補角，在條件不清或者沒有說明的情況下，注意分類討論.方法歸納：對于等腰三角形，只要已知它的一個內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個內(nèi)角是頂角還是底

4、角，就要分兩種情況來討論在分類時要注意：三角形的內(nèi)角和等于180；等腰三角形中至少有兩個角相等思維點撥2（關于邊的分類討論）如果等腰三角形兩邊長是5和3，那么這個等腰三角形的周長是 ；若等腰三角形的兩邊長分別是2和5，那么它的周長又是 。變式1、若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。解析過程：如圖所示，由題意知中線分周長為兩部分，但并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此應有兩種情形。若設這個等腰三角形的腰長為x cm，底邊長為y cm，于是根據(jù)題意可得， 或 解得 或即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5c

5、m.易錯辨析：雖然已知一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，但是并沒有指明哪一部分是多少，所以在具體求解過程中應分情況討論，另外求出的解還必須滿足三角形的三邊關系。方法歸納：在解答已知等腰三角形邊長的問題時，當題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”時，往往要進行分類討論判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊思維點撥3 (關于銳角、直角、鈍角三角形的分類討論)等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。解析過程：如圖1所示，等腰三角形為銳角三角形，已知：BDAC，ABD=45，A=45，即頂角的度數(shù)為45如圖2所示，等

6、腰三角形為鈍角三角形，已知：BDAC，DBA=45BAD=45， 圖1 圖2BAC=135綜上所述，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為45或135.設計說明：等腰三角形的高線有3條，底邊上的高線把等腰三角形分成全等的兩個直角三角形，涉及了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；如果是腰上的高線，涉及等腰三角形是銳角、直角還是鈍角三角形，因此，會出現(xiàn)內(nèi)高和外高的兩種情況.變式1、在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50,則求出底角B的度數(shù)。解：分ABC中A為銳角或鈍角兩種情況，根據(jù)題意畫出示意圖：當A為銳角時，如圖1所示：AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50A=4

7、0 當A為鈍角時，如2圖所示：AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為501=40BAC=140B=C=綜上所述，底角B的度數(shù)為70或20.方法歸納：根據(jù)等腰三角形頂角的大小可以將其分為銳角、直角和鈍角三角形不同的三角形其高、中線、垂直平分線的交點位置均不同，比如銳角三角形腰上的高在這個三角形的內(nèi)部；直角三角形腰上的高在頂角的頂點上；鈍角三角形腰上的高在這個三角形的外部，因此在解答時需要分類討論歸納總結(jié)：分類討論的定義：當數(shù)學問題中的條件、結(jié)論不確定時，就應分類討論。分類討論思想是指在解決一個問題時，將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解

8、決，這就是分類討論思想。分類討論解題的實質(zhì)：是將整體問題化為部分問題來解決。分類討論的原則：是不重復、不遺溫。討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整?？偨Y(jié)在用分類討論解決數(shù)學問題時，我們需要注意的地方： 注意事項： 1、分類討論法解題必須遵循總的原則； 2、分類討論的原則是不重復、不遺漏； 3、討論的方法是逐類討論，最后必須綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整。 思維拓展：動點引起的分類討論如圖所示，在ABC中，AB=AC=2，B=40，D是線段BC上一動點（不與B、C兩點重合)，且ADE=40.(1)若BDA=115，則CDE= 度，則AED= 度。(2)當DC等于多

9、少時，ABDDCE？試說明理由.(3)在D點運動過程中，能使ADE為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出使ADE是等腰三角形時ADB的度數(shù)；若不能，請說明理由。解析過程：（1）ADE=40，ADB=115CDE=180-ADB-ADE=25B=C=40，AED是CDE的外角AED=CDE+C=65故答案為：CDE= 25 度，則AED= 65 度。（2）DC=2，理由如下：AB=AC=2，B=C=40CDE+CED=180-40=140ADE=40ADB+CDE=180-40=140ADB=DEC當CD=2時，CD=ABABDDCE（AAS）；（3）ADE能成為等腰三角形，理由：ADE=C=40，A

10、EDCADE為等腰三角形時，只能是AD=DE或AE=DE當AD=DE時，DAE=DEA= （180-40）=70EDC=AED-C=70-40=30ADB=180-40-30=110當EA=ED時，ADE=DAE=40AED=180-40-40=100EDC=AED-C=100-40=60ADB=180-40-60=80綜上所述：當ADB的度數(shù)為110或80時，ADE是等腰三角形。（三）、課堂小結(jié)師生一起歸納總結(jié)：在在用分類討論解決數(shù)學問題時，我們需要從三角形的邊、角、以及形狀上去進行分類討論，注意每種情況要一一討論分析，要求不重復、不遺漏，當然在最后，我們的同學們一定要對討論的結(jié)果進行總結(jié)，

11、然后作答。 (四）、趣味小練習如圖，在RtABC中，C=90，以ABC的一邊為邊作等腰三角形，使它的第三個頂點在ABC的其它邊所在直線上，則可以作不同的等腰三角形最多有 個.（請做出你的圖形）設計說明：用趣味小練習激發(fā)學生的學習興趣，鍛煉學生的動手操作能力。這個是課后以小組為單位完成的，然后在下節(jié)課時小組展示成果，亦可以激發(fā)小組之間的競爭意識，鍛煉小組成員間的溝通交流能力，同時在完成數(shù)學目標鞏固的同時也豐富了學生的課件活動。五、課后反思。本節(jié)課是一堂復習專題課，教學目標是讓學生了解“分類討論思想”的意義：理解分類討論的步驟以及分類討論法解題必須遵循總的原則；感受“分類討論思想”在解決特殊三角形問題中的作用，教學重點是讓學生逐步領會等腰三角形中分類討論思想的應用，建構用分類討論思想解決問題的模型，教學難點是概括得到用分類討論思想解決問題的步驟，及提高練習。本節(jié)課選取了中考題為例題作講解，自己誤程安排三條主錢一是關于角的分類，二是關于邊的分類，三是關于銳角、直角、鈍角三角形的分類討論。因為平時接觸到的角的分類都比較簡單，邊的分類則比較復雜，所以重心放在關于邊以及關于銳角、直角、鈍角三角形的分類上面，且把有關的題組是按照由簡單到復雜的順序編排的，這樣便于學生循序漸進地掌握。本節(jié)課后面設計的動點問題，因時間關系并為完成，所以這部分內(nèi)容較難卻沒時間講透，所以自己的課