生物控制論：第三章 傳遞函數(shù)與方塊圖

1、生物控制論第三章 傳遞函數(shù)與方塊圖第三章 傳遞函數(shù)與方塊圖第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換第二節(jié)：傳遞函數(shù)第三節(jié)：方塊圖第四節(jié)：方塊圖化簡第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足：t0時(shí)，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作 傅氏變換條件：狄氏條件函數(shù)在（， ）絕對可積缺點(diǎn)：物理信號(hào) t0單位脈沖函數(shù)等許多函數(shù)不滿足上述條件第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換拉氏變換基本定理性質(zhì)線性 相似（尺度） 時(shí)延 位移 微分 積分 初值 終值第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換線性定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換位移定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換延遲定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換

2、與反變換終值定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換初值定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換微分定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換積分定理 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換常用拉氏變換 F(s) f(t)1 1(t) t 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換常用拉氏變換 f(t) F(s) 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換常用拉氏變換第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換 f(t) F(s) 常用拉氏變換 f(t) F(s) 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換常用拉氏變換 F(s) f(t)第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換拉氏反變換 F(s)化成下列因式分解形式： 當(dāng)令分母多項(xiàng)式為0時(shí)，得到的方程稱為系統(tǒng)的特征方程(Characteri

3、stic equation)，該方程的根決定系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的特征。特征方程的根稱為極點(diǎn)（poles）B(s)0的根稱為零點(diǎn)（zeros）第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換a.F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為 第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換例：K1,2稱為留數(shù)（residues）K21第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換拉氏變換的應(yīng)用解微分方程傳遞函數(shù)第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換微分方程的拉氏變換解法：象原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)取拉氏逆變換象函數(shù)解代數(shù)方程微分方程取拉氏變換第一

4、節(jié)：拉普拉斯變換與反變換例：已知系統(tǒng)：其中初始條件為y(0)=1,輸入激勵(lì)為t=0時(shí)r(t)=1第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換解：由拉氏變換得：s2Y(s)-sy(0)+4sY(s)-y(0)+3Y(s)=2R(s)由于R(s)=1/s,y(0)=1,故有：展開式為：第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：第一節(jié)：拉普拉斯變換與反變換第二節(jié) 傳遞函數(shù)（Transfer function）是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初使條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化使分析較麻

5、煩。用拉氏變化法求結(jié)微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)。 定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。第二節(jié) 傳遞函數(shù)第二節(jié) 傳遞函數(shù)設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述： 式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai,bi和是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。 第二節(jié) 傳遞函數(shù)設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令c(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為： 第二節(jié) 傳遞函數(shù)于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：式中 性質(zhì)1 傳遞函數(shù)是復(fù)變

6、量s的有理真分式函數(shù)，mn，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。性質(zhì)2 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)。性質(zhì)3 G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的性質(zhì)第二節(jié) 傳遞函數(shù)第二節(jié) 傳遞函數(shù)性質(zhì)4 如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。性質(zhì)5 如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。 第二節(jié) 傳遞函數(shù)性質(zhì)6 傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。性

7、質(zhì)7 傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t) 脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響 為傳遞函數(shù)的零點(diǎn) 為傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 第二節(jié) 傳遞函數(shù)極點(diǎn)是微分方程的特征根，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。第二節(jié) 傳遞函數(shù)零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點(diǎn)重合該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?第二節(jié) 傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：第二節(jié) 傳遞函數(shù)1 比例環(huán)節(jié) 式中 K-

8、增益 特點(diǎn)： 輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。例：魚平衡，B=k1a，a:魚體偏離角度， B:兩側(cè)傳入神經(jīng)興奮的差值yku第二節(jié) 傳遞函數(shù)2 慣性環(huán)節(jié) 式中 T-時(shí)間常數(shù) 特點(diǎn)： 含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò) 第二節(jié) 傳遞函數(shù)第二節(jié) 傳遞函數(shù)3 微分環(huán)節(jié) 理想微分 一階微分 二階微分 特點(diǎn)： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢。第二節(jié) 傳遞函數(shù)4 積分環(huán)節(jié) 特點(diǎn)： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。 實(shí)例： 模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。 第二節(jié) 傳遞函數(shù)5 振蕩環(huán)節(jié) 式中 阻尼比 -自然振蕩角頻率（無阻尼

9、振蕩角頻率） 第二節(jié) 傳遞函數(shù)特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。 第二節(jié) 傳遞函數(shù)6 純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié) 特點(diǎn)： 輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例： 口服藥物吸收第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 控制系統(tǒng)的方塊圖（Block Diagram）是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。1 方塊圖元素（1）方塊（Block ）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 （2

10、）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）Summing Point 注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量剛。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測量點(diǎn)）Branch Point表示信號(hào)測量或引出的位置注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 幾個(gè)基本概念及術(shù)語 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (1) 前向通路傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。在圖中等價(jià)于C(s)與誤差之比E(s)。打開反饋后，輸出量拉氏與輸入量拉氏之比。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (2) 反饋回路傳遞函數(shù) Feedfo

11、rward Transfer Function假設(shè)N(s)=0 主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (3) 開環(huán)傳遞函數(shù) Open-loop Transfer Function 假設(shè)N(s)=0 主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (4) 閉環(huán)傳遞函數(shù) Closed-loop Transfer Function 假設(shè)N(s)=0輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 推導(dǎo)：因?yàn)?第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 (5) 誤差傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。將 代入上式消去G

12、(s)第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 （6）輸出對擾動(dòng)的傳遞函數(shù) 假設(shè)R(s)=0 輸出對擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 （7）誤差對擾動(dòng)的傳遞函數(shù) 假設(shè)R(s)=0 誤差對擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入R(s)與擾動(dòng)N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為： 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 注意：由于N(s)極性的隨機(jī)性，因而在求E(s)時(shí)，不能認(rèn)為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 方塊圖的繪制 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)

13、線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 例 畫出下列RC電路的方塊圖。第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 解：利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得： 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 由（1）和（2）分別得到圖（b）和(c)。 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的方塊圖 第四節(jié) 方塊圖的簡化等效變換 為了由系統(tǒng)的方塊圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對方塊圖進(jìn)行等效變換。方塊圖的等效變換必須遵守一個(gè)原則，即變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。三種基本形式的等效法則一定

14、要掌握。 （1）串聯(lián)連接 在控制系統(tǒng)中，常見幾個(gè)環(huán)節(jié)按照信號(hào)的流向相互串聯(lián)連接。特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。 第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。式中，n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)。 （2）并聯(lián)連接 第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡特點(diǎn)：各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)是相同的，均為R(s)，輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和，即:第四節(jié) 方塊圖化簡結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。即： 式中，n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當(dāng)然還有“-”的情況。 （3）反饋連接 第四節(jié) 方塊圖化簡（4）比較點(diǎn)和分支

15、點(diǎn)（引出點(diǎn)）的移動(dòng) 有關(guān)移動(dòng)中，“前”、“后”的定義：按信號(hào)流向定義，也即信號(hào)從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。 第四節(jié) 方塊圖化簡比較點(diǎn)前移第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡比較點(diǎn)后移第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡分支點(diǎn)前移第四節(jié) 方塊圖化簡分支點(diǎn)后移第四節(jié) 方塊圖化簡例： 用方塊圖的等效法則，求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 第四節(jié) 方塊圖化簡這是一個(gè)具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)，如果不對它作適當(dāng)?shù)淖儞Q，就難以應(yīng)用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換公式進(jìn)行化簡。本題的求解方法是把圖中的點(diǎn)A先前移至B點(diǎn)，化簡后，再后移至C點(diǎn)，然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡，其簡化過程如下圖。

16、 第四節(jié) 方塊圖化簡G2G5G2G5H1G2H1G2后移串聯(lián)和并聯(lián) 反饋公式 反饋公式 第四節(jié) 方塊圖化簡第四節(jié) 方塊圖化簡例 將下面的系統(tǒng)方塊圖簡化。第四節(jié) 方塊圖化簡 分支點(diǎn)A后移（放大-縮?。容^點(diǎn)B前移（放大-縮?。１容^點(diǎn)1和2交換。 第四節(jié) 方塊圖化簡補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真函數(shù)：roots，series，parallel，feedback，cloop，poly，conv，polyval，printsys，minreal，pzmap，stepzpk,tf,ss,ss2tf, tf2zp, tf2zpk, zp2ss補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 g = zpk(,1,1) Ze

17、ro/pole/gain: 1-(s-1)補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 h = tf(2 1,1 0) Transfer function:2 s + 1- s補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 g*h Zero/pole/gain:2 (s+0.5)- s (s-1)補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 1+g*h Zero/pole/gain:(s2 + s + 1)- s (s-1) 補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 inv(1+g*h) Zero/pole/gain: s (s-1)-(s2 + s + 1)補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 cloop = inv(1+g*h) * g Zero/pole/

18、gain: s (s-1)-(s-1) (s2 + s + 1)補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 cloop = minreal(cloop) Zero/pole/gain: s-(s2 + s + 1)1.質(zhì)量彈簧阻尼器系統(tǒng)系統(tǒng)模型：零輸入動(dòng)態(tài)響應(yīng)：補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真其中, 系統(tǒng)初始位移為y(0)。當(dāng) 1時(shí)，系統(tǒng)的瞬態(tài)時(shí)間響應(yīng)是過阻尼；當(dāng) 1時(shí)，系統(tǒng)的瞬態(tài)時(shí)間響應(yīng)是臨界阻尼；補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真情形1： 情形2： 命令窗口輸入 y0=0.15;wn=sqrt(2); zeta1=3/(2*sqrt(2);zeta2=1/(2*sqrt(2); t=0

19、:0.1:10;unforced補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真Unforced.mt1=acos(zeta1)*ones(1,length(t);t2=acos(zeta2)*ones(1,length(t);c1=(y0/sqrt(1-zeta12);c2=(y0/sqrt(1-zeta22);y1=c1*exp(-zeta1*wn*t).*sin(wn*sqrt(1-zeta12)*t+t1);y2=c2*exp(-zeta2*wn*t).*sin(wn*sqrt(1-zeta22)*t+t2);bu=c2*exp(-zeta2*wn*t);bl=-bu;補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真plot

20、(t,y1,-,t,y2,-,t,bu,-,t,bl,-),gridxlabel(Timesec),ylabel(y(t)Displacementm)text(0.2,0.85,overdamped zeta1=num2str(zeta1),sc)text(0.2,0.80,underdamped zeta2=num2str(zeta2),sc)補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真輸出圖形2.多項(xiàng)式輸入： p=1 3 0 4;補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真求p(s)=0的根： r=roots(p)r = -3.3553 0.1777 + 1.0773i 0.1777 - 1.0773i補(bǔ)充：MATLAB

21、系統(tǒng) 仿真由根重建多項(xiàng)式： p=poly(r)p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真多項(xiàng)式相乘： p=3 2 1;q=1 4; n=conv(p,q)n = 3 14 9 4補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真多項(xiàng)式的值：求s5時(shí)n的值 value=polyval(n,-5)value = -66補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真3.零極點(diǎn)分布圖設(shè)傳遞函數(shù)為：P,Z=pzmap(num,den)P為極點(diǎn)位置列向量Z為零點(diǎn)位置列向量補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真例： numg=6 0 1;deng=1 3 3 1; z=roots(numg)z = 0 + 0

22、.4082i 0 - 0.4082i補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真極點(diǎn)： p=roots(deng)p = -1.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真顯示系統(tǒng) printsys(numg,deng) num/den = 6 s2 + 1 - s3 + 3 s2 + 3 s + 1補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真零極點(diǎn)分布圖 pzmap(numg,deng) title(Pole-Zero Map) 4.串聯(lián)函數(shù)：series調(diào)用格式：num,den= series(num1,den1,num2,den

23、2)例： numg=1;deng=500 0 0; numh=1 1;denh=1 2; num,den= series(numg,deng,numh,denh)；補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 printsys(num,den) num/den = s + 1 - 500 s3 + 1000 s24.并聯(lián)函數(shù)：parallel調(diào)用格式：num,den= parallel(num1,den1,num2,den2)例： numg=1;deng=500 0 0; numh=1 1;denh=1 2; num,den= parallel(numg,deng,numh,den

24、h)；補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真 printsys(num,den) num/den = 500 s3 + 500 s2 + s + 2 - 500 s3 + 1000 s25.單位反饋函數(shù)cloopR(s)G(s)Y(s)num,den=cloop(num1,den1,sign)Sign=+1為正反饋Sign=1為負(fù)反饋（缺省值）調(diào)用格式：補(bǔ)充：MATLAB系統(tǒng) 仿真根據(jù)下列命令畫出方塊圖 numg=1;deng=500 0 0; numc=1 1;denc=1 2; num1,den1= series(numg,deng,numc,denc); num,den=cloop(num1,den1,-1); printsys(num,den) num/den = s + 1 - 5